1、第二章 圆锥曲线与方程2.3 双曲线23.1 双曲线及其标准方程目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题重点 双曲线的定义及标准方程难点 双曲线标准方程的推导课时作业要点整合夯基础典例讲练破题型课堂达标练经典知识点一 双曲线的定义填一填把平面内与两个定点 F1，F2 的距离的_等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线这_叫做双曲线的焦点，_叫做双曲线的焦距差的绝对值两个定点两焦点间的距离答一答1在双曲线的定义中，若去掉“绝对值”，其轨迹还是双曲线吗？提示：不是，其轨迹是双曲线的一支2在双曲
2、线的定义中，常数为什么要小于|F1F2|?提示：如果定义中常数改为等于|F1F2|，此时动点的轨迹是以 F1、F2 为端点的两条射线(包括端点)如果定义中常数为 0，此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线如果定义中常数改为大于|F1F2|，此时动点轨迹不存在3平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹是不是双曲线？提示：不是，是双曲线的某一支在双曲线的定义中，P 为动点，F1，F2 分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|PF2|2a，曲线只表示双曲线的右支|PF1|PF2|2a，曲线只表示双曲线的左支知识点二 双曲线的标准方程填一填答一答4双曲线的标
3、准方程x2a2y2b21(a0，b0)和y2a2x2b21(a0，b0)有何异同点？提示：相同点：它们的形状、大小都相同，都有 a0，b0和 c2a2b2.不同点：它们的位置不同，焦点坐标不同5a，b，c 的关系在双曲线方程x2a2y2b21(a0，b0)，与椭圆方程x2a2y2b21(ab0)中有什么不同？提示：在椭圆方程x2a2y2b21 中，a2b2c2；在双曲线方程x2a2y2b21 中，c2a2b2.1对双曲线定义的两点说明(1)距离的差要加绝对值符号，否则只为双曲线的一支若F1，F2 表示双曲线的左、右焦点，且点 P 满足|PF1|PF2|2a，则点 P 在右支上；若点 P 满足|
4、PF2|PF1|2a，则点 P 在左支上(2)在双曲线定义中，规定 2a|F1F2|，若把|F1F2|用 2c 表示，则当 2a2c 时，动点 P 的轨迹不存在2对双曲线标准方程的四点认识(1)只有当双曲线的两焦点 F1，F2 在坐标轴上，并且线段 F1F2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程(2)标准方程中的两个参数 a 和 b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里 b2c2a2，与椭圆中 b2a2c2 相区别，且椭圆中 ab0，而双曲线中 a，b 大小则不确定(3)焦点 F1，F2 的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型“焦点跟着正项走”，
5、若 x2 项的系数为正，则焦点在 x 轴上，若 y2 项的系数为正，则焦点在 y 轴上(4)双曲线的标准方程都可化为一个统一的形式，即 Ax2By21(AB0)过点(15，63)，点 P 在双曲线 C 上，若|PF1|3，则|PF2|()A3B6C9D12CC【解析】(1)到两个定点距离之差的绝对值等于常数，并且这个常数小于这两个定点的距离，根据双曲线的定义可知：动点的轨迹为双曲线故选 C.(2)左、右焦点分别为 F1，F2 的双曲线 C：x2a2y21(a0)过点(15，63)，可得：15a2691，解得 a3，b1，c 10，ac3，点 P 在双曲线 C 上，若|PF1|3，可得 p 在双
6、曲线的左支上，则|PF2|2a|PF1|639.故选 C.与焦点有关的问题应考虑利用定义，一些小巧的题目，其考查点就是双曲线的定义，合理利用定义往往是优化解题的关键.已知双曲线的方程是x216y28 1，点 P 在双曲线上，且到其中一个焦点 F1 的距离为 10，点 N 是 PF1 的中点，求|ON|的大小(O 为坐标原点)解：连接 ON，ON 是三角形 PF1F2 的中位线，所以|ON|12|PF2|，因为|PF1|PF2|8，|PF1|10，所以|PF2|2 或 18，|ON|12|PF2|1 或 9.类型二 双曲线标准方程的识别【例 2】已知曲线 C：x2t2 y2t211(t0，t1)
7、(1)求 t 为何值时，曲线 C 分别为椭圆、双曲线；(2)求证：不论 t 为何值，曲线 C 有相同的焦点【分析】方程 Ax2By21 表示的轨迹是由参数 A，B 的值及符号确定，因此要确定轨迹，需对 A，B 进行讨论【解】(1)当|t|1，即 t1 或 t0，t210，且t2t21，曲线 C 为椭圆；当|t|1，即1t0，t211 时，曲线 C 是椭圆，且 t2t21，因此 c2a2b2t2(t21)1，焦点为 F1(1,0)，F2(1,0)当|t|1，则关于 x，y 的方程(1k)x2y2k21 所表示的曲线是()A焦点在 x 轴上的椭圆B焦点在 y 轴上的椭圆C焦点在 y 轴上的双曲线
8、D焦点在 x 轴上的双曲线解析：原方程化为 y2k21 x2k11，k1，k210，k10.方程所表示的曲线为焦点在 y轴上的双曲线C类型三 求双曲线的标准方程【例 3】(1)已知双曲线的焦点在 y 轴上，并且双曲线过点(3，4 2)和(94，5)，求双曲线的标准方程(2)求与双曲线x216y24 1 有公共焦点，且过点(3 2，2)的双曲线方程【分析】可先设出双曲线的标准方程，再构造关于 a，b的方程组，求得 a，b，从而求得双曲线的标准方程注意对平方关系 c2a2b2 的运用【解】(1)由已知可设所求双曲线方程为y2a2x2b21(a0，b0)，则32a2 9b21，25a2 8116b2
9、1，解得a216，b29，双曲线的方程为y216x29 1.(2)解法一：设双曲线方程为x2a2y2b21.由题意易求得 c2 5.又双曲线过点(3 2，2)，3 22a2 4b21.又a2b2(2 5)2，a212，b28.故所求双曲线的方程为x212y28 1.解法二：设双曲线方程为x216k y24k1(4k16)，将点(3 2，2)代入得 k4，所以所求双曲线方程为x212y28 1.求双曲线的标准方程一般采用待定系数法.若明确焦点位置时，可直接设出双曲线方程，若无法判定双曲线的焦点位置，分两种情况讨论，或者将双曲线方程设为 mx2ny21mn0.同时在解题时应注意方法技巧的灵活运用.
10、(1)已知双曲线过 M(1,1)，N(2,5)两点，求双曲线的标准方程；(2)求与双曲线x24 y22 1 有相同的焦点，且过点 P(2,1)的双曲线的方程解：(1)设双曲线的方程为 Ax2By21(AB0)双曲线过 M(1,1)，N(2,5)，AB1，4A25B1，解得A87，B17，双曲线的标准方程为x278y27 1.(2)设所求双曲线的方程为 x24 y221(24)双曲线过(2,1)，44 121，解得 4(舍)或 1，所求方程为x23 y23 1.类型四 素养提升双曲线中的焦点三角形问题【例 4】若 F1，F2 是双曲线x29 y2161 的两个焦点，P 是双曲线上的点，且|PF1
11、|PF2|32，试求F1PF2的面积【思路分析】双曲线方程 双曲线的定义|PF1|PF2|2a平方|PF1|2|PF2|2的值 余弦定理 F1PF290面积公式 SF1PF2【精解详析】由双曲线方程x29 y2161，可知 a3，b4，c a2b25.由双曲线的定义，得|PF1|PF2|2a6，将此式两边平方，得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36，|PF1|2|PF2|2362|PF1|PF2|36232100.如图所示，在F1PF2 中，由余弦定理，得cosF1PF2|PF1|2|PF2|2|F1F2|22|PF1|PF2|1001002|PF1|PF2|0，F1PF290，S
12、F1PF212|PF1|PF2|123216.【解后反思】在解决与焦点三角形有关的问题的时候，首先要注意定义条件|PF1|PF2|2a 的应用其次是要利用余弦定理、勾股定理等知识进行运算在运算过程中要注意整体思想的应用和一些变形技巧的应用双曲线x216y29 1 上有一点 P，F1、F2 是双曲线的焦点，且F1PF23，则PF1F2 面积为_.解析：|PF1|PF2|8|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos3100，|PF1|PF2|36，S12|PF1|PF2|sin39 3.9 31双曲线x216y29 1 上一点 P，到点(5,0)的距离为 15，那么该点到(5,0)的距离为
13、()A7B23C5 或 25D7 或 23解析：双曲线的焦点(5,0)，设 F2，F1 分别为双曲线的左、右焦点，故|PF1|15，由|PF1|PF2|8，解得|PF2|23 或|PF2|7.D2若方程 x2m1y2m243 表示焦点在 y 轴上的双曲线，则 m 的取值范围是()A1m2Cm2D2m0，m10，解得 m0，b0)由PF1 PF2 0，得 PF1PF2.根据勾股定理得|PF1|2|PF2|2(2c)2，即|PF1|2|PF2|220.x24 y21又根据双曲线定义有|PF1|PF2|2a，两边平方并代入|PF1|PF2|2 得 20224a2，解得 a24，从而 b2541，所以双曲线方程为x24 y21.5求以椭圆x216y29 1 短轴的两个端点为焦点，且过点 A(4，5)的双曲线的标准方程解：双曲线的焦点 F1(0，3)，F2(0,3)，设双曲线的方程为y2a2 x29a21(0a29)把点(4，5)代入方程得25a2 169a21，解得 a25，a245(舍去)故所求双曲线的方程为y25 x24 1.温示提馨请 做：课时作业 14PPT文稿（点击进入）
