1、高三年级摸底考试 数学（理科） 第I卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 是虚数单位，复数等于( ) 2.设全集，集合，那么是（ ） 3.一个单位有职工人，其中具有高级职称的人，具有中级职称的人，具有初级职称的人，其余人员人.为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是( )12,24,15,9 9,12,12,7 8,15,12,5 8,16,10,64.已知某几何体的三视图如图，则它的体积是（ ） 5.“”是“设函数的图象关于直线x1对称”的
2、（ ）， 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件6.设动点满足，则的最大值是( ) 7.执行如图的程序框图，则输出的( ) 8.二项式的展开式中，的系数为( )A. B. C. D.源9. 函数的部分图象如图示，则将的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为( ) 10.已知偶函数时，=（ ） 11.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为( ) 12.已知函数，则的大致图象是（ ） 数 学2013.2第卷（非选择题，共90分）注意事项：第卷共6页，用钢笔或中性笔直接答在试题卷中，答卷前将密封线内的项目填写好.题号二三总分复核人1
3、71819202122得分二、填空题13.曲线和曲线围成的图形的面积是 .14.如图，正方体的棱线长为，线段上有两个动点，且，则三棱锥的体积为 .15. 设圆的一条切线与轴、轴分别交于 点，则的最小值为 .16.如图放置的正方形,分别在轴的正半轴上（含坐标原点）且，则的值是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分）在中，角所对的边分别是，.（）求角的大小；（）若，求的面积.18.(本小题满分12分)如图，为矩形，为梯形，,，.()若为中点，求证：平面；()求平面与所成锐二面角的余弦19.(本小题满分12分)已知满足： ，.()
4、求的通项公式；() 若数列满足，试求数列前项的和.20.(本小题满分12分)英语老师要求学生从星期一到星期四每天学习3个英语单词；每周五对一周内所学单词随机抽取若干个进行检测（一周所学的单词每个被抽到的可能性相同）（）英语老师随机抽了4个单词进行检测，求至少有3个是后两天学习过的单词的概率；（）某学生对后两天所学过的单词每个能默写对的概率为，对前两天所学过的单词每个能默写对的概率为若老师从后三天所学单词中各抽取一个进行检测，求该学生能默写对的单词的个数的分布列和期望21.(本小题满分13分)设椭圆：的一个顶点与抛物线 的焦点重合， 分别是椭圆的左右焦点，离心率 ，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两
5、点（I）求椭圆的方程；（II）是否存在直线，使得 ，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由；（III）若是椭圆经过原点的弦，且，求证：为定值22. (本小题满分13分)已知函数（I）当时，求函数的极大值和极小值；（II）当时，试比较与的大小；（III）求证：（）高三数学（理工农医类）参考答案一、选择题：（每题5分）ABDAC DDDDC DB 二、填空题：（每题4分） 13. 14. 15.4 16.三、解答题（满分74分）17解：（1）由题意，2分即，4分所以.6分（2） ，8分由正弦定理，解得.10分所以的面积12分18（1）证明：连结交于，中，分别为两腰的中点，2分因为，所以.4分(
6、2) 设平面与所成的锐二面角的大小为，以为空间直角坐标系的原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，5分则，6分设平面的单位法向量为，则可设，7分设面的法向量为，则所以，10分，所以平面与所成锐二面角的余弦值为12分19.解：（1）当时， ，2分 得，4分 又当，5分 所以.6分(2) 由，所以，8分 , ,10分 ,得.12分20解：（）设英语老师抽到的4个单词中，至少含有3个后两天学过的事件为A，则由题意可得 5分 （）由题意可得可取0，1，2，3，则有P(=0) 6分P(=1)，P(=2) ，9分P(=3) 10分 所以的分布列为: 11分 故E=0+1+2+3=12分21. 解：（I
7、）椭圆的顶点为，即， 1分 ，解得， 2分 椭圆的标准方程为 3分（II）由题可知，直线与椭圆必相交当直线斜率不存在时，经检验不合题意设存在直线为，且，.由得， 所以， 5分 = 6分所以，故直线的方程为或 8分（III）设,由（II）可得： |MN|= = 10分由消去y，并整理得： ，|AB|=， 12分为定值 13分22解：（1）当时，定义域是， 令，得或 2分当或时，当时， 函数在、上单调递增，在上单调递减 4分 所以的极大值是，极小值是 5分 （2）当时，定义域为 令， ， 在上是增函数 7分当时，即；当时，即；当时，即 9分（3）（法一）根据（2）的结论，当时，即令，则有，11分 以上各式相加，得 13分 (法二)当时，即时命题成立 10分设当时，命题成立，即 时，根据（2）的结论，当时，即令，则有，则有，即时命题也成立12分因此，由数学归纳法可知不等式成立 13分
