1、黑龙江省大庆市2021届高三数学第一次教学质量检测（一模）试题 理注意事项:1. 答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上2. 回答选择题时，选出每道小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效 第I卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知集合,，则A. B. C. D.2.已知是虚数单位，复数满足，则A. B. C. D. 3.在二项式的展开式中，含的项的系数是A. B. C. D.4.已知
2、，且，则与的夹角为A. B. C. D.5.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，分钟后物体的温度可由公式求得. 把温度是的物体，放在的空气中冷却分钟后，物体的温度是，则约为（）A. B. C. D.6.已知的内角的对边分别为，且，则 A. B. C. D.7.设是定义域为的偶函数，若，都有，则,的大小关系为A. B. C. D.8.常用的打印纸的长宽比例是，从纸中剪去一个最大的正方形后，剩下的矩形长与宽之比称为“白银比例”.白银比例具有很好的美感，在设计和建筑领域有着广泛的应用.已知某高塔自下而上依次建有第一观景台和第二观景台，塔顶到塔底的高度与第二观景台到塔底的高度之
3、比，第二观景台到塔底的高度与第一观景台到塔底的高度之比，都等于白银比例，若两观景台之间高度差为米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是A.米 B.米 C.米 D.米9.已知四棱锥，底面为矩形，点在平面上的射影为的中点.若,则四棱锥的表面积等于A. B. C. D.10.由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线轴的光线，经过抛物面的反射集中于它的焦点用一过抛物线轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在直角坐标系中，对称轴与轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线过点，平行于对称轴的光线经过点反射后，反射光线交抛物线于点，则线段的
4、中点到准线的距离为A. B. C. D. 11.已知，函数在上单调递增，则的取值范围是A. B. C. D.12.已知函数，则函数零点的个数是A. B. C. D.第卷（非选择题 共90分） 本卷包括必考题和选考题两部分第13题21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.为了研究某班学生的脚长(单位：厘米)和身高(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为已知这组数据的样本中心点为,，若该班某学生的脚长为厘米，据此估计其身高为_厘米14
5、.若双曲线的右顶点到其中一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为_15.用总长的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一条边比另一条边长，则该容器容积的最大值为_（不计损耗）16.如图，已知正方体，点分别是的中点， 与平面_（填“平行”或“不平行”）；在正方体的条面对角线中，与平面平行的面对角线有_条三、解答题：共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤17.（本小题满分12分）已知等差数列的前项和为（1）请从下面的三个条件中选择两个作为已知条件，求数列的通项公式； 注：如果采用多种条件组合作答，则按第一个解答计分.（2）在（1）的条件下，令，求数列的前项和18.（本小题满分1
6、2分）年月，习近平总书记对制止餐饮浪费行为作出重要指示，要求进一步加强宣传教育，切实培养节约习惯，在全社会营造浪费可耻、节约光荣的氛围为贯彻总书记指示，大庆市某学校食堂从学生中招募志愿者，协助食堂宣传节约粮食的相关活动现已有高一人，高二人，高三人报名参加志愿活动根据活动安排，拟采用分层抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取名志愿者，参加为期天的第一期志愿活动（1）第一期志愿活动需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人？（2）现在要从第一期志愿者中的高二、高三学生中抽取人去粘贴宣传标语，设这人中含有高二学生人，求随机变量的分布列；（3）食堂每天约有人就餐，其中一组志愿者的任务是记录学生每天倒掉的
7、剩菜剩饭的重量（单位：公斤），以天为单位来衡量宣传节约粮食的效果在一个周期内，这组志愿者记录的数据如下：前天剩菜剩饭的重量为：后天剩菜剩饭的重量为：借助统计中的图、表、数字特征等知识，分析宣传节约粮食活动的效果（选择一种方法进行说明即可）19.（本小题满分12分）如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，分别为的中点,，（1）求证：；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值20.（本小题满分12分）已知焦点在轴上的椭圆：，短轴长为，椭圆左顶点到左焦点的距离为（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，已知点，点是椭圆的右顶点，直线与椭圆交于不同的两点 ，两点都在轴上方，且证明直线过定点，并求出该定点坐标 21.
8、（本小题满分12分）已知函数（1）求证：；（2）若，时，恒成立，求实数的取值范围请考生在第22、23二题中任意选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线与直线交于点（1）求点的直角坐标；（2）若直线与圆：（为参数）交于两点，求的值23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数=（1）当时，求不等式的解集；（2）证明：2大庆市高三年级第一次教学质量检测理科数学答案及评分标准一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，满
9、分60分.题号123456789101112答案ADACBADDABCB二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.； 14. ； 15. ； 16. 不平行，6.三.解答题17.（本小题满分12分）解：（1）选择条件，对应的基本量如下：由，即由，即由，即 2分解得, 4分所以. 6分（2）.因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 9分所以. 12分18.（本小题满分12分）解：（1）报名的学生共有126人，抽取的比例为，所以高一抽取人，高二抽取人，高三抽取人. 3分（2）随机变量X的取值为2，3，4，,，. 7分所以随机变量X的分布列为2349分（3）法一、（数字特征）前1
10、0天的平均值为23.5，后10天的平均值为20.5，因为20.523.5，所以宣传节约粮食活动的效果很好. .12分法二：（茎叶图）画出茎叶图前10天后10天2255 1 2248 6 5 42325 2213 5202 4 6 8193 4183因为前10天的重量集中在23、24附近，而后10天的重量集中在20附近，所以节约宣传后剩饭剩菜明显减少，宣传效果很好. .12分19.（本小题满分12分）解：（1）证明：因为、分别为、的中点，所以.因为平面，所以平面.因为平面，所以. .2分因为为矩形，所以.所以，在中，所以. .4分因为，所以平面，所以. .6分（2）以为坐标原点，分别以，所在直线
11、为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， ，所以， .由（1）知平面，所以平面的一个法向量. 8分设为平面的一个法向量，则，即，可取，10分所以.所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 12分20（本小题满分12分）解：（1）由得， 3分所以椭圆的标准方程为. 4分（2）当直线斜率不存在时，直线与椭圆交于不同的两点分布在轴两侧，不合题意. 5分所以直线斜率存在，设直线的方程为.设、，由得，所以，. 7分因为，所以， 9分即，整理得 10分化简得，所以直线的方程为， 11分所以直线过定点. 12分21.（本小题满分12分）解：（1）证明：令， 2分则.当时，当时，所以在上为减函数，在上
12、为增函数， 4分所以当时，函数有最小值，.所以，即. 6分（2）因为，所以.法一：所以. 8分令，则恒成立.因为恒成立，所以在R上单调递增，所以恒成立，即，即恒成立. 10分由（1）知，所以，解得，所以实数的取值范围为. 12分法二：所以. 8分令，则恒成立.因为时恒成立，所以在上单调递增，所以恒成立，即即恒成立. 10分由（I）知，所以，解得，所以实数的取值范围为. 12分22.（本小题满分10分）解：（1）法一：联立， 1分解得， 2分所以点的极坐标为， 3分所以点的直角坐标为，即. 5分法二：直线的直角坐标方程为 2分直线的直角坐标方程为 4分联立解方程组得，所以点的直角坐标为. 5分（2）直线的直角坐标方程为，倾斜角为120，所以直线的参数方程为（为参数） 7分圆的普通方程为将代入得. 8分设点对应的参数分别为，则. 10分23.（本小题满分10分）解：（1）当时，.当时，解得；当时，无解；当时，解得； 3分综上所述：的解集为或. . 5分（2） 7分， . 9分当且仅当时等号成立，所以2. . 10分
