1、空间向量的基本定理【题组一 基底的判断】1（2020山东微山县第二中学高二月考）已知，是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是（）A2，+2B2，+2C，2，D，+，【答案】C【解析】对于A，因为2=（）+（+2），得2、+2三个向量共面，故它们不能构成一个基底，A不正确；对于B，因为2=（）+（+2），得2、+2三个向量共面，故它们不能构成一个基底，B不正确；对于C，因为找不到实数、，使=2+（）成立，故、2、三个向量不共面，它们能构成一个基底，C正确；对于D，因为=（+）（），得、+、三个向量共面，故它们不能构成一个基底，D不正确故选：C2（2018安徽六安一中高二期末（理）已知点
2、为空间不共面的四点，且向量，向量，则与，不能构成空间基底的向量是（ ）ABCD或【答案】C【解析】，即与，共面，与，不能构成空间基底；故选C.3已知是空间向量的一个基底，则与向量+，-可构成空间向量基底的是( )ABC+2D+2【答案】D【解析】由题意，向量都有向量为共面向量，因此A、B、C都不符合题意，只有向量与向量属于不共面向量，所以可以构成一个空间的基底，故选D.4（2020南昌市八一中学高二期末（理）为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是（ ）ABCD【答案】C【解析】对于A，因为，所以共面，不能构成基底，排除A，对于B，因为，所以共面，不能构成基底，排除
3、B，对于D，所以共面，不能构成基底，排除D，对于C，若共面，则，则共面，与为空间向量的一组基底相矛盾，故可以构成空间向量的一组基底，故选：C5（2018江西南昌二中高二期中（理）若为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是（ ）ABCD【答案】C【解析】共面，故不能作为基底，故错误；共面，故不能作为基底，故错误；不共面，故可以作为基底，故正确；共面，故不能作为基底，故错误，故选C.【题组二 基底的运用】1（2020天水市第一中学高二月考（理）如图，平行六面体中，与交于点，设，则 （ ）ABCD【答案】D【解析】，故选D2（2020全国高一课时练习）若是空间的一个基底，
4、则，的值分别为（ ）A，B，C，D，1，【答案】A【解析】，由空间向量基本定理，得，.3（2020山东沂.高二期末）如图所示，分别是四面体的边，的中点，是靠近的三等分点，且，则_【答案】【解析】因为，分别是四面体的边，的中点，是靠近的三等分点，所以，所以，故答案为：4（2019江苏鼓楼.南京师大附中高二期中）在正方体中，点O是的中点，且，则的值为_.【答案】【解析】在正方体中得，又因为所以所以.故答案为：【题组三 基本定理的运用】1已知，三点不共线，对平面外的任一点，若点满足（1）判断，三个向量是否共面；（2）判断点是否在平面内【答案】（1）共面 （2）点在平面内【解析】（1）如图，为的重心）
5、为的三等分点）设中点为，则可知在上，且为的重心故知共面（2）由（1）知共面且过同一点.所以四点共面，从而点在平面内2已知直三棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为_【答案】【解析】如图所示,将直三棱柱补成直四棱柱,连接,则,所以或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角因为,所以, .在中,所以所以故答案为: 3如图所示，在平行四边形中，将它沿对角线折起，使与成角，求点与点之间的距离【答案】或，或，故点与点之间的距离为或4.已知空间四边形OABC中，AOBBOCAOC，且OAOBOC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OGBC【答案】见解析【解析】连接ON，设AOBBOCAOC，又设a，b，c，则|a|b|c|.又()(abc)，cb.(abc)(cb)(acabbcb2c2bc)(|a|2cos |a|2cos |a|2|a|2)0.，即OGBC
