1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业 五十四直线与椭圆的综合问题(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2017延安模拟)已知焦点在x轴上的椭圆C:+y2=1(a0),过右焦点作垂直于x轴的直线交椭圆于A,B两点,且|AB|=1,则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.【解析】选A.因为椭圆+y2=1(a0)的焦点在x轴上,所以c=,又过右焦点且垂直于x轴的直线为x=c,将其代入椭圆方程中,得+y2=1,则y=,又|AB|=1,所以2=1,得=,所以该椭圆的离心率e=.2.(20
2、17许昌模拟)设F1(-c,0),F2(c,0)分别是椭圆+=1(ab0)的左、右焦点,若在直线x=上存在点P,使线段PF1的中垂线过点F2,则椭圆离心率的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选D.由题意可设P,因为PF1的中垂线过点F2,所以|F1F2|=|F2P|,即2c=,整理得y2=3c2+2a2-.因为y20,所以3c2+2a2-0,即3e2-+20,解得e.所以e的取值范围是.【一题多解】本题还可以采用以下方法:选D.设直线x=与x轴交于M点,则|F1F2|=|F2P|MF2|,即2c-c,整理得e2,又0e1,所以e0时,不妨设A,B两点的坐标分别为(-1,y1),(1,y2)
3、,代入椭圆方程得解得:k=;同理可得当kb0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于_.世纪金榜导学号99972772【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2)则+=1,+=1,两式相减并整理得=-.把已知条件代入上式得,-=-,所以=,故椭圆的离心率e=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2017唐山模拟)已知椭圆E的两焦点分别为(-1,0),(1,0),且经过点.世纪金榜导学号99972773(1)求椭圆E的方程.(2)过P(-2,0)的直线l交E于A,B两点,且=3,设A,B两点关于x轴的对称点分别是C,D,求四边形ACDB的外接圆的方程.【解析】(
4、1)设椭圆E的标准方程为+=1(ab0).由题意知c=1,2a=+,所以a=,b=1,故椭圆E的方程为+y2=1.(2)设l:x=my-2,代入椭圆方程得(m2+2)y2-4my+2=0,由=8m2-160得m22.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=.由=3,得y2=3y1.由解得m2=4,符合m22.不妨取m=2,则线段AB的垂直平分线的方程为y=-2x-,则所求圆的圆心为.又B(0,1),所以圆的半径r=.所以圆的方程为+y2=.10.(2017南昌模拟)如图,椭圆C:+=1(ab0)的短轴长为2,点M(2,1)在C上,平行于OM的直线l交椭圆C于不同的两点A
5、,B.世纪金榜导学号99972773(1)求椭圆C的方程.(2)证明:直线MA,MB与x轴总围成等腰三角形.【解析】(1)依题意2b=2,所以b=,所以椭圆C的方程为+=1,将M(2,1)代入,得+=1,解得a2=8,所以椭圆C的方程为+=1.(2)设直线MA,MB的斜率分别为k1,k2,A(x1,y1),B(x2,y2),l:y=x+m,则k1=,k2=,所以k1+k2=+=,(*)由得x2+2mx+2m2-4=0,所以x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4,代入(*)式,得k1+k2=0.所以直线MA,MB与x轴总围成等腰三角形.(20分钟40分)1.(5分)(2017宜宾模拟)已知直线
6、l:y=kx与椭圆C:+=1(ab0)交于A,B两点,F为椭圆C的左焦点,且=0.若ABF,则椭圆C的离心率的取值范围为()A.B.C.D.【解析】选D.设椭圆C的右焦点为F,连接AF,BF,因为=0,所以AFBF,又直线l:y=kx过原点O,所以根据椭圆的对称性知点A,B关于原点对称,所以四边形AFBF是矩形,所以|AB|=|FF|=2c(其中c=),所以在直角三角形AFB中,|AF|=|AB|sinABF=2csinABF,|BF|=|AB|cosABF=2ccosABF,又根据椭圆的定义知|AF|+|AF|=2a,所以2csinABF+2ccosABF=2a,所以离心率e=,又ABF,所
7、以ABF+,所以b0)过点P(2,1),且离心率e=.世纪金榜导学号99972776(1)求椭圆C的方程.(2)直线l的斜率为,直线l与椭圆C交于A,B两点.求PAB面积的最大值.【解析】(1)因为e2=,所以a2=4b2.又椭圆C:+=1(ab0)过点P(2,1),所以+=1.所以a2=8,b2=2.故所求椭圆方程为+=1.(2)设l的方程为y=x+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),联立整理,得x2+2mx+2m2-4=0.因为=4m2-8m2+160,解得|m|b0)的离心率为,且点在椭圆C上.世纪金榜导学号99972777(1)求椭圆C的方程.(2)设椭圆E:+=1,P为椭圆C上
8、任意一点,过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.求的值.求ABQ面积的最大值.【解析】(1)由题意知+=1,又=,解得a2=4,b2=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)由(1)知椭圆E的方程为+=1.设P(x0,y0),=,由题意知Q(-x0,-y0).因为+=1.又+=1.即=1.所以=2,即=2.设A(x1,y1),B(x2,y2).将y=kx+m代入椭圆E的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0.由0,可得m24+16k2.()则有x1+x2=-,x1x2=.所以|x1-x2|=.因为直线y=kx+m与y轴交点的坐标为(0,m).所以OAB的面积S=|m|x1-x2|=2.设=t.将y=kx+m代入椭圆C的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.由0,可得m21+4k2.()由()()可知0t1,因此S=2=2.故S2,当且仅当t=1,即m2=1+4k2时取得最大值2.由知,ABQ面积为3S,所以ABQ面积的最大值为6.关闭Word文档返回原板块
