1、第二章 圆锥曲线与方程24 抛物线24.1 抛物线及其标准方程目标 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.会求简单的抛物线的方程重点 抛物线的定义及其标准方程的应用难点 抛物线标准方程的四种形式课时作业要点整合夯基础典例讲练破题型课堂达标练经典知识点一 抛物线的定义填一填平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离_的点的轨迹叫做抛物线_叫做抛物线的焦点，_叫做抛物线的准线相等点 F直线 l答一答1在抛物线定义中，若去掉条件“l 不经点 F”，点的轨迹还是抛物线吗？提示：不一定是抛物线，当直线 l 经过点 F 时，点的轨迹是过定点 F，且垂直于定直线 l 的一条直线；l
2、 不经过点 F 时，点的轨迹是抛物线2抛物线定义中有“一个动”及“三个定”，分别指什么？提示：一个动点，设为 M；一个定点 F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(点 M 到点 F 的距离与它到定直线的距离之比等于 1)，定值实现了距离间的转化，为解题带来了方便知识点二 抛物线的标准方程填一填答一答3抛物线标准方程中的参数 p 有什么作用？提示：参数 p 称为焦准距或焦参数，可根据 p 求出抛物线的焦点坐标和准线方程；求抛物线的标准方程时，也只需确定参数p.4如何记忆抛物线的四种标准方程？提示：(1)方程特点：焦点在 x 轴上，x 是一次项，y 是平方项；焦点在 y 轴上，y
3、 是一次项，x 是平方项(2)一次项表明焦点所在轴，它的符号表明开口方向，有如下口诀：焦点轴一次项，符号确定开口向；若 y 是一次项，负时向下正向上；若 x 是一次项，负时向左正向右5抛物线的标准方程 y22px(p0)与二次函数 yax2(a0)有什么区别？提示：y22px(p0)与 yax2(a0)对应的图形都是抛物线形，但开口方向和对称轴都不一样y22px(p0)：焦点(p2，0)，对称轴为 x 轴；yax2(a0)，即 x21ay，焦点(0，14a)，对称轴为 y 轴1对抛物线定义的理解(1)定义条件：直线 l 不经过定点 F.(2)一动三定：“一动”，即动点 P；“三定”，即定点 F
4、，定直线 l 和定值，也就是 P 到定点F 与到定直线的距离的比值是定值 1.2抛物线标准方程的特点(1)方程特点：抛物线的标准方程是关于 x，y 的二元二次方程，等号的左边是其中一个变量的平方，另一边是另一个变量的一次项(2)参数 p：在抛物线的方程中只有一个参数 p，它的几何意义是焦点到准线的距离，因此 p0，p 越大，抛物线开口越开阔，反之越扁狭(3)四种标准方程的位置的相同点：原点在抛物线上；焦点在坐标轴上；准线与焦点在原点两侧，且准线与其中一条坐标轴垂直.类型一 求抛物线的焦点及准线【例 1】指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程并说明抛物线开口方向(1)y14x2；(2)xay2(a0
5、)【分析】首先根据抛物线的方程确定抛物线是哪一种类型，求出 p.再写出焦点坐标和准线方程【解】(1)抛物线 y14x2 的标准形式为 x24y，p2，焦点坐标是(0,1)，准线方程是 y1.抛物线开口向上(2)抛物线方程的标准形式为 y21ax，2p 1|a|.当 a0 时，p2 14a，抛物线开口向右，焦点坐标是14a，0，准线方程是 x 14a；当 a0 时，开口向右；a0)，将点(3,2)代入方程得 2p43或 2p92，故抛物线方程为 y243x 或 x292y.(2)令 x0，由方程 x2y40 得 y2，抛物线的焦点坐标为(0，2)设抛物线方程为 x22py(p0)，则由p22，得
6、 2p8，所求抛物线的方程为 x28y.令 y0，由 x2y40 得 x4，抛物线的焦点坐标为(4,0)设抛物线方程为 y22px(p0)，由p24 得 2p16，所求抛物线的方程为 y216x.(3)由题意可得 p52，则所求抛物线方程为 y25x 或 y25x 或 x25y 或 x25y.求抛物线的标准方程的关键与方法1关键：确定焦点在哪条坐标轴上，进而求方程的有关参数.2方法：直接法，建立恰当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程；直接根据定义求 p，最后写标准方程；利用待定系数法设标准方程，找有关的方程组求系数.根据下列条件求抛物线的标准方程，并求其准线方程
7、(1)已知抛物线的焦点是 F(3,0)；(2)已知抛物线的焦点在 y 轴的正半轴上，焦点到准线的距离为 3.解：(1)由题意，设抛物线方程为 y22px(p0)p23，p6.故抛物线的标准方程为 y212x，其准线方程为 x3.(2)由题意，设抛物线方程为 x22py(p0)p3，故抛物线的标准方程为 x26y，其准线方程为 y32.类型三 抛物线定义的应用【例 3】O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y24 2x 的焦点，P 为 C 上一点，若|PF|4 2，则POF 的面积为()A2B2 2C2 3D4【分析】由条件及抛物线的定义求出点 P 的横、纵坐标，则POF 的面积易得C【解析】由题意
8、知抛物线的焦点 F(2，0)，如图，由抛物线的定义知|PF|PM|，又|PF|4 2，所以 xP3 2，代入抛物线方程求得 yP2 6，所以 SPOF12|OF|yP2 3.抛物线中经常把点到焦点的距离转化为点到准线的距离，或者把点到准线的距离转化为点到焦点的距离，然后根据平面几何的有关知识求解.若抛物线 y22px(p0)上有一点M.其横坐标为9.它到焦点的距离为 10，求抛物线方程和 M 点的坐标解：由抛物线定义，焦点为 F(p2，0)，准线为 xp2，由题意设 M 到准线的距离为|MN|，则|MN|MF|10，即p2(9)10，p2.故抛物线方程为 y24x，将 M(9，y)，代入 y2
9、4x，解得 y6，M(9,6)或 M(9，6)类型四 素养提升抛物线方程的实际应用【例 4】某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶 5米时，水面宽 8 米，一木船宽 4 米，高 2 米，载货的木船露在水面上的部分为 0.75 米，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？【思路分析】先建立平面直角坐标系，确定抛物线的方程，由对称性知，木船的轴线与 y 轴重合，问题转化为求出 x2 时的 y 值【精解详析】以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为y 轴，建立直角坐标系(如图)设抛物线的方程是 x22py(p0)，由题意知点 A(4，5)在抛物线上，故 162p(5)p85，则抛物线的方程是
10、 x2165 y(4x4)，设水面上涨，木船面两侧与抛物线形拱桥接触于点 B、B时，木船开始不能通航，设 B(2，y)则 22165 yy54.故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距 2 米时，木船开始不能通航【解后反思】本题以应用问题描述为载体，利用待定系数法求抛物线方程，解题中利用点与坐标、曲线与方程的对应关系，融进参数的讨论，富有新意解决实际问题时，建立适当的平面直角坐标系是解决问题的关键，坐标系的选择直接关系到解题的繁简程度如下图是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米，水位下降 1 米后，水面宽_米 2 6解析：设水面与桥的一个交点为 A，如图建立平面直角坐标
11、系，则 A 的坐标为(2，2)设抛物线方程为 x22py(p0)，则 222p(2)，得 p1，故抛物线方程为 x22y.设水位下降 1 米后水面与桥的交点坐标为(x0，3)，则 x206，x0 6，所以水面宽为 2 6米1焦点是 F(0,5)的抛物线的标准方程是()Ay220 xBx220yCy2 120 xDx2 120y解析：由 5p2得 p10，且焦点在 y 轴正半轴上，故方程形式为 x22py，所以 x220y.B2以直线 3x4y120 与 x 轴的交点为焦点的抛物线的方程为()Ay216xBy216xCy212xDy212x解析：因为焦点为直线 3x4y120 与 x 轴的交点，
12、所以令 y0，得 x4，则焦点为(4,0)，故所求抛物线的方程为 y216x.A3若双曲线x2my231 的右焦点与抛物线 y212x 的焦点重合，则 m_.解析：抛物线焦点为(3,0)，m33 且 m0，则 m6.64抛物线 y216x 上一点 P 到 x 轴的距离为 12，则点 P 与焦点 F 的距离|PF|_.解析：由于点 P 到 x 轴的距离为 12，可知点 P 的纵坐标为12，点 P 的横坐标 x y2161212169.由抛物线的定义知|PF|xp29413.135求抛物线 x2y 上到直线 2xy40 的距离最小时的点 P 的坐标解：设点 P(x，y)，则 x2y.P 到直线 2xy40 的距离为d|2xy4|5 55|2xx24|55|x22x4|55(x1)23当 x1 时，d 最小，此时 y1，P(1,1)为所求温示提馨请 做：课时作业 17PPT文稿（点击进入）