1、16函数的极值与最值1(2014课标全国改编)函数f(x)在xx0处导数存在若p：f(x0)0；q：xx0是f(x)的极值点，则p是q的_条件答案必要不充分解析当f(x0)0时，xx0不一定是f(x)的极值点，比如，yx3在x0时，f(0)0，但在x0的左右两侧f(x)的符号相同，因而x0不是yx3的极值点由极值的定义知，xx0是f(x)的极值点必有f(x0)0.综上知，p是q的必要条件，但不是充分条件2(2013辽宁改编)设函数f(x)满足x2f(x)2xf(x)，f(2)，则x0时，f(x)极值情况为_答案无极大值也无极小值解析由x2f(x)2xf(x)，得f(x)，令g(x)ex2x2f
2、(x)，x0，则g(x)ex2x2f(x)4xf(x)ex2.令g(x)0，得x2.当x2时，g(x)0；当0x2时，g(x)0，g(x)在x2时有最小值g(2)e28f(2)0，从而当x0时，f(x)0，则f(x)在(0，)上是增函数，函数f(x)无极大值，也无极小值3已知x3是函数f(x)aln xx210x的一个极值点，则实数a_.答案12解析f(x)2x10，由f(3)6100，得a12，经检验满足4设变量a，b满足约束条件z|a3b|的最大值为m，则函数f(x)x3x22x2的极小值为_答案解析据线性规划可得(a3b)min8，(a3b)max2，故2|a3b|8，即m8，此时f(x
3、)x2x2(x2)(x1)，可得当x1时f(x)0，当1x2时f(x)0，故当x2时函数取得极小值，即f(x)极小值f(2).5已知函数f(x)x32bx2cx1有两个极值点x1，x2，且x12，1，x21,2，则f(1)的取值范围是_答案3,12解析方法一由于f(x)3x24bxc，据题意方程3x24bxc0有两个根x1，x2，且x12，1，x21,2，令g(x)3x24bxc，结合二次函数图象可得只需此即为关于点(b，c)的线性约束条件，作出其对应平面区域，f(1)2bc，问题转化为在上述线性约束条件下确定目标函数f(1)2bc的最值问题，由线性规划易知3f(1)12.方法二方程3x24b
4、xc0有两个根x1，x2，且x12，1，x21,2的条件也可以通过二分法处理，即只需g(2)g(1)0，g(2)g(1)0即可，利用同样的方法也可解答6已知函数f(x)的导数为f(x)x2x，则当x_时，函数f(x)取得极大值答案0解析当x1时，f(x)0；当0x1时，f(x)0.所以当x0时，函数f(x)取得极大值7函数f(x)x33axa在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是_答案0a1解析y3x23a，令y0，可得ax2.又x(0,1)，0a2或a0，解得a2或a1.9若函数f(x)x24x3ln x在t，t1上不单调，则t的取值范围是_答案0t1或2t3解析对f(x)求导，得f(x)
5、x4.由f(x)0得函数f(x)的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t1)内，函数f(x)在区间t，t1上就不单调，所以t1t1或t3t1，解得0t1或2t0时，(xk)f(x)x10，求k的最大值解(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)exa.若a0，则f(x)0，所以f(x)在(，)上单调递增若a0，则当x(，ln a)时，f(x)0.所以，f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增(2)由于a1时，(xk)f(x)x1(xk)(ex1)x1.故当x0时，(xk)f(x)x10等价于k0)令g(x)x，则g(x)1.由(1)知，函数h(x)exx
6、2在(0，)上单调递增，又h(1)e30.所以h(x)在(0，)上存在唯一零点故g(x)在(0，)上存在唯一零点设此零点为，则(1,2)当x(0，)时，g(x)0，所以g(x)在(0，)上的最小值为g()又由g()0，得e2，所以g()1(2,3)由于式等价于k0)，xR.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)若对于任意的x1(2，)，都存在x2(1，)，使得f(x1)f(x2)1，求a的取值范围解(1)由已知，有f(x)2x2ax2(a0)令f(x)0，解得x0或x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0，)(，)f(x)00f(x)0所以f(x)的单调递增区间是
7、(0，)；单调递减区间是(，0)，(，)当x0时，f(x)有极小值，且极小值f(0)0；当x时，f(x)有极大值，且极大值f().(2)由f(0)f()0及(1)知，当x(0，)时，f(x)0；当x(，)时，f(x)2，即0a时，由f()0可知，0A，而0B，所以A不是B的子集当12，即a时，有f(2)0，且此时f(x)在(2，)上单调递减，故A(，f(2)，因而A(，0)；由f(1)0，有f(x)在(1，)上的取值范围包含(，0)，则(，0)B.所以AB.当时，有f(1)0，所以当x(0,2)时，f(x)0，函数yf(x)单调递增所以f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，)(2)由(1)知，k0时，函数f(x)在(0,2)内单调递减，故f(x)在(0,2)内不存在极值点；当k0时，设函数g(x)exkx，x0，)因为g(x)exkexeln k，当00，yg(x)单调递增故f(x)在(0,2)内不存在两个极值点当k1时，得x(0，ln k)时，g(x)0，函数yg(x)单调递增所以函数yg(x)的最小值为g(ln k)k(1ln k)函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，当且仅当解得ek.综上所述，函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点时，k的取值范围为(e，)
