1、第5节三角恒等变换1两角和与差的三角函数公式sin()sin_cos_cos_sin_；(S)sin()sin_cos_cos_sin_.(S)cos()cos_cos_sin_sin_；(C)cos()cos_cos_sin_sin_；(C)tan()；(T)tan().(T)2二倍角公式sin 22sin_cos_；(S2)cos 2cos2sin22cos2112sin2；(C2)tan 2.(T2)3公式的变形与应用(1)两角和与差的正切公式的变形tan tan tan()(1tan_tan_)；tan tan tan()(1tan_tan_).(2)升幂公式1cos 2cos2；1c
2、os 2sin2.(3)降幂公式sin2；cos2.4辅助角公式asin bcos sin()，其中cos ，sin .5角的拆分与组合(1)已知角表示未知角例如，2()()，2()()，()()，.(2)互余与互补关系例如，.(3)非特殊角转化为特殊角例如，154530，754530.sin2；cos 2；1sin 2；tan.思考辨析判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“”，错误的打“”(1)存在实数，使等式sin()sin sin 成立( )(2)公式tan()可以变形为tan tan tan()(1tan tan )，且对任意角，都成立( )(3)存在实数，使tan 22ta
3、n .( )(4)当是第一象限角时，sin .( )(5)公式asin xbcos xsin(x)中的取值与a，b的值无关( )答案：(1)(2)(3)(4)(5)小题查验1(2019全国卷)tan 255()A2B2C2 D2解析：Dtan 255tan(18075)tan 75tan(3045)2.2(2018全国卷)若sin ，则cos 2( )A.B.C D解析：Bcos 212sin21.3已知sin cos ，则sin2( )A. B.C. D.解析：B由sin cos 两边平方得1sin 2，解得sin 2，所以sin2，故选B.4(教材改编)已知sin ，是第四象限角，则cos
4、_.答案：5函数f(x)2sin x(sin xcos x)的单调增区间为_.解析：f(x)2sin2x2sin xcos x2sin 2xsin 2xcos 2x1sin(2x)1，由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.所以所求区间为(kZ)答案：(kZ)考点一三角函数式的化简(自主练透)题组集训1化简：_.解析：原式2cos .答案：2cos 2化简：_.解析：原式.答案：3计算的值为_.解析：.答案：三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使
5、用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等考点二三角函数式的求值(多维探究)数学运算三角函数求值中的核心素养数学运算就是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养三角函数求值中的数学运算根据的是三角函数公式进行给角求值、给值求值和给值求角，力在培养学生的准确、快速的运算能力命题角度1给角求值1(2019贵阳市监测考试)sin 15cos 15的值为()A.BC. D解析：Asin 15cos 15sin 60.故选A.2sin415cos415()A.B C. D解析：Dsin415cos415(sin2
6、15cos215)(sin215cos215)sin215cos215cos 30.故选D.命题角度2给值求值3(2019全国卷)已知，2sin 2cos 21，则sin ()A.B. C.D.解析：B，由2sin 2cos 21得：4sin cos 2cos2 ，2sin cos ，又2sin ，5sin2 1，sin2 ，sin .4(2018全国卷)已知tan ，则tan _.解析：tan ，解方程得tan .答案：命题角度3给值求角5已知sin ，sin()，均为锐角，则角等于( )A.B.C. D.解析：C、均为锐角，0，00，02，tan(2)1.tan 0，20，2.三角函数求值
7、有三类(1)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系(2)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角考点三三角变换的简单应用(师生共研)典例(2020潍坊市模拟)已知函数f(x)2sin cos x(02)，且f(x)的图象过点.(1)求的值及函数f(x)的最小正周期；(2)将yf(x)的图象向
8、右平移个单位，得到函数yg(x)的图象，已知g，求cos 的值破题关键点利用三角恒等变换将函数f(x)的解析式化为yAsin(x) k的形式就可以利用f(x)的图象过点求出的值及函数f(x)的最小正周期，通过平移变换求出函数yg(x)的解析式，再由g和倍角公式求出cos 的值解(1)函数f(x)2sin cos xcos x sin 2xsin .f(x)的图象过点，sin ，2k，kZ，即.再结合02，可得1，f(x)sin ，故它的最小正周期为.(2)将yf(x)sin 的图象向右平移个单位，得到函数yg(x)sin的图象已知gsin ，sin ，cos 12sin2.解三角函数问题的基本
9、思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的，变换的基本方向有两种，一种是变换函数的名称，一种是变换角的形式变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等；变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等跟踪训练(2019安徽皖中名校联考)已知函数f(x)sin cos xcos2x.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调区间；(2)求函数f(x)在上的值域解：f(x)cos xcos2xsin xcos xcos2xsin 2xsin .(1)T，递增区间满足2k2x2k(kZ)，据此可得，单调递增区间为，kZ，递减区间满足2k2x2k(kZ)，据此可得，单
10、调递减区间为，kZ.(2)x，2x，sin ，sin ，f(x)的值域为.1(2017全国卷)已知sin cos ，则sin 2( )ABC. D.解析：Asin 22sin cos .故选A.2已知，都是锐角，若sin ，sin ， 则等于()A. B.C.和 D和解析：A由于，都为锐角，所以cos ，cos .所以cos ()cos cos sin sin ，所以.3(2020新乡市三模)已知且sin ，则cos 等于( )A. B.C. D.解析：D0，可得0.所以正数的最大值为，故选B.5若锐角满足sin cos ，则函数f(x)cos2(x)的单调增区间为( )A.，(kZ)B.，(
11、kZ)C.，(kZ)D.，(kZ)解析：D锐角满足sin cos ，12sin cos ，sin 2；又sin ，2，解得；函数f(x)cos2(x)cos ，2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ；f(x)的单调增区间为(kZ)，即，kZ.6已知是第四象限角，且sin，则tan_.解析：是第四象限角，2k2k，则2k2k，kZ.又sin，cos ，cos sin ，sincos ，tan tan .答案：7(2020贵阳市一模)已知tan()2，则cos 2sin 2_.解析：tan ()tan 2，sin 2cos 2.答案：8._.解析：原式4.答案：49(2020泉州市模拟)已知角的顶点
12、在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(3，)(1)求sin 2tan 的值；(2)若函数f(x)cos(x)cos sin(x)sin ，求函数g(x)f2f 2(x)在区间上的值域解：(1)角的终边经过点P(3，)，sin ，cos ，tan .sin 2tan 2sin cos tan .(2)f(x)cos(x)cos sin(x)sin cos x，xR，g(x)cos2cos2xsin 2x1cos 2x2sin1，0x，2x.sin1，22sin11，故函数g(x)f2f2(x)在区间上的值域是2,110(2020南京市模拟)在平面直角坐标系xOy中，锐角，的顶点为坐标原点O，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q.已知点P的横坐标为，点Q的纵坐标为.(1)求cos 2的值；(2)求2的值解：(1)因为点P的横坐标为，P在单位圆上，为锐角，所以cos ，所以cos 22cos21.(2)因为点Q的纵坐标为，所以sin .又因为为锐角，所以cos .因为cos ，且为锐角，所以sin ，因此sin 22sin cos ，所以sin (2).因为为锐角，所以02.又cos 20，所以02，又为锐角，所以2，所以2.
