1、2016-2017学年四川省成都市新都一中高二（上）10月月考数学试卷（理科）一、选择题1直线x+y1=0的倾斜角是（）A30B60C120D1502空间直角坐标系中，点A（3，4，0）与B（2，1，6）间的距离是（）AB9CD3设z=xy，式中变量x和y满足条件，则z的最小值为（）A3BCD4设C1：（x5）2+（y3）2=9，C2：x2+y24x+2y9=0，则它们公切线的条数是（）A1B2C3D45关于两平面垂直有下列命题，其中错误的是（）A如果平面平面，平面平面，=l，那么lB如果平面与平面不垂直也不重合，那么平面内一定存在直线平行于平面C如果平面平面，那么平面内一定存在直线不垂直于平
2、面D如果平面平面，那么平面内的所有直线都垂直于平面6若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆，则a的值为（）Aa=1或a=2Ba=2或a=1Ca=1Da=27圆x2+y22x5=0与圆x2+y2+2x4y4=0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是（）Ax+y1=0B2xy+1=0Cx2y+1=0Dxy+1=08已知直线l1，l2的夹角平分线所在直线方程为y=x，如果l1的方程是ax+by+c=0（ab0），那么l2的方程是（）Abx+ay+c=0Baxby+c=0Cbx+ayc=0Dbxay+c=09如图，正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，M是EF的中点，现
3、在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，则在四面体APEF中必有（）APMAEF所在平面BAMPEF所在平面CPFAEF所在平面DAPPEF所在平面10已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）ABCD11方程=kx+4有两个不相等的实根，则k的取值范围是（）AB2，+）CD12如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（）A6B4C6D4二、填空题13如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，上底面中心
4、为O，则异面直线AO与DC1所成角的余弦值为14已知圆M：x2+（y1）2=1和点A（1，3），则过点A与圆M相切的直线方程是15已知直线l：xy+6=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点则|CD|=16如图，透明塑料制成的长方体容器ABCDABCD内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面五个命题：（1）有水的部分始终呈棱柱形；（2）没有水的部分始终呈棱柱形；（3）水面EFGH所在四边形的面积为定值；（4）棱AD始终与水面所在平面平行；（5）当容器倾斜如图（3）所示时，BEBF是定值其中所有正确命题的序号三、
5、解答题17已知两条直线l1：2xy=0和l2：x+y+2=0（1）过点P（1，1）的直线l与l1垂直，求直线l的方程；（2）若圆M的圆心在直线l1上，与y轴相切，且被直线l2截得的弦长为，求圆M的方程18如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D点为棱AB的中点（1）求证：AC1平面B1CD；（2）若AB=AC=2，BC=BB1=2，求二面角B1CDB的余弦值；（3）若AC1，BA1，CB1两两垂直，求证：此三棱柱为正三棱柱19已知关于x的实系数方程x2+2ax+b=0在区间（0，1）和（1，2）内各有一根，求：（1）a2+b2的取值范围；（2）求|a+b2|的取值范围20已知两定点M（0，
6、1），N（1，2），平面内一动点P到M的距离与P到N的距离之比为，直线y=kx1与点P的轨迹交于A，B两点（1）求点P的轨迹方程，并指出是什么图形；（2）求实数k的取值范围；（3）是否存在k使得=11（O为坐标原点），若存在求出k的值，若不存在，请说明理由21已知圆M：（x1）2+（y1）2=2，直线l：x+y+2=0上有一动点P，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点（1）求当APB最大时，PAB的面积；（2）试探究直线AB是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由22在边长为a的正方形ABCD中，M，N分别为DA、BC上的点，且MNAB，连结AC交MN于点P，现沿MN将正方形ABC
7、D折成直二面角（1）求证：无论MN怎样平行移动（保持MNAB），APC的大小不变并求出此定值；（2）当MN在怎样的位置时，M点到面ACD的距离最大？2016-2017学年四川省成都市新都一中高二（上）10月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1直线x+y1=0的倾斜角是（）A30B60C120D150【考点】直线的倾斜角【分析】求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可【解答】解：因为直线x+y1=0的斜率为：，直线的倾斜角为：所以tan=，=120故选C2空间直角坐标系中，点A（3，4，0）与B（2，1，6）间的距离是（）AB9CD【考点】空间两点间的距离公式【分析】利用空间中两点
8、间的距离公式直接求解【解答】解：空间直角坐标中，点A（3，4，0）与B（2，1，6）间的距离：|AB|=故选：A3设z=xy，式中变量x和y满足条件，则z的最小值为（）A3BCD【考点】简单线性规划【分析】先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数2xy的最小值【解答】解：由约束条件得如图所示的三角形区域，令z=xy，即显然当平行直线2xy=z过点A （1，3）时z取得最小值为：；故选：B4设C1：（x5）2+（y3）2=9，C2：x2+y24x+2y9=0，则它们公切线的条数是（）A1B2C3D4【考点】圆与圆的位置关系及其判定【分
9、析】先求两圆的圆心和半径，判定两圆的位置关系，即可判定公切线的条数【解答】解：C1：（x5）2+（y3）2=9，圆心（5，3），半径为3；C2：x2+y24x+2y9=0，圆心（2，1），半径为；两圆圆心距离： =，所以两个圆相交，所以两个圆的公切线有2条，故选：B5关于两平面垂直有下列命题，其中错误的是（）A如果平面平面，平面平面，=l，那么lB如果平面与平面不垂直也不重合，那么平面内一定存在直线平行于平面C如果平面平面，那么平面内一定存在直线不垂直于平面D如果平面平面，那么平面内的所有直线都垂直于平面【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】根据有关定理中的诸多条件，对每一个命题逐一分
10、析、判定，将由条件可能推出的结论进行逐一列举说明即可【解答】解：如果平面平面，平面平面，=l，因为，则与必相交，设a是与的交线，又，则与必相交，设其交线ba属于，b属于，则a、b在同一个平面内，a与b不平行就相交；假设ab，因为直线a和直线b分别属于和平面，则这与已知=l相矛盾，所以a和b必相交，同理可以证明三条直线a、b、l相交，其交点O同属于、和，O点必在l上因为，则al，bl，所以l，故A正确；平面平面，不妨设=a，作直线ba，且b，则b，命题B，C正确；命题如果平面平面，过内任意一点作交线的垂线，此垂线必垂直于，错误如果点取在交线上则没有垂线，故D错误故选D6若方程a2x2+（a+2）
11、y2+2ax+a=0表示圆，则a的值为（）Aa=1或a=2Ba=2或a=1Ca=1Da=2【考点】二元二次方程表示圆的条件【分析】由二次项额系数相等不等于0，且化为一般式后满足D2+E24F0联立求解a的取值范围【解答】解：若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆，则，解得a=1故选C7圆x2+y22x5=0与圆x2+y2+2x4y4=0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是（）Ax+y1=0B2xy+1=0Cx2y+1=0Dxy+1=0【考点】圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定【分析】求出圆的圆心坐标，利用两个圆的方程公共弦的性质，求出满足题意的直线方
12、程即可【解答】解：因为两圆的圆心坐标分别为（1，0），（1，2），那么过两圆圆心的直线为：，即：x+y1=0，与公共弦垂直且平分故选：A8已知直线l1，l2的夹角平分线所在直线方程为y=x，如果l1的方程是ax+by+c=0（ab0），那么l2的方程是（）Abx+ay+c=0Baxby+c=0Cbx+ayc=0Dbxay+c=0【考点】两直线的夹角与到角问题【分析】因为由题意知，直线l1和l2关于直线y=x对称，故把l1的方程中的x 和y交换位置即得直线l2的方程【解答】解：由题意可得直线l1 与直线l2 关于直线y=x对称，由于直线l1上的任意一点M（x，y）关于直线y=x的对称点为N（y，
13、x），而l1的方程是ax+by+c=0（ab0），故l2的方程是ay+bx+c=0，即 bx+ay+c=0，故选A9如图，正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，M是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，则在四面体APEF中必有（）APMAEF所在平面BAMPEF所在平面CPFAEF所在平面DAPPEF所在平面【考点】棱锥的结构特征【分析】本题为折叠问题，分析折叠前与折叠后位置关系、几何量的变与不变，可得PA、PE、PF三者相互垂直，根据线面垂直的判定定理，可判断AP与平面PEF的垂直，从而得出结论【解答】解：在折叠过程中
14、，根据折叠前、后APEP，APPF不变，AP平面EFP，故D满足条件；过点A只有一条直线与平面EFP垂直，B不正确；PM不垂直于AM，AM平面AEF，故PM不垂直于平面AEF，故A不正确；AMEF，EFAP，EF平面HAG，平面HAGAEF，过H作直线垂直于平面AEF，则该垂线一定在平面PAM内，而PF不在平面PAM内，故C不正确，故选：D10已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）ABCD【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可
15、计算出三棱锥的体积【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD平面ABCCO1=，OO1=，高SD=2OO1=，ABC是边长为1的正三角形，SABC=，V=，故选：A11方程=kx+4有两个不相等的实根，则k的取值范围是（）AB2，+）CD【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系【分析】方程有两个不等的实根可以转化为函数和函数y=kx+4的图象由两个不同的交点，在求出临界位置的直线的斜率即可【解答】解：方程有两个不等的实根等价于函数和函数y=kx+4的图象由两个不同的交点，函数的解析式可变形为x2+
16、y2+2x=0，即（x+1）2+y2=1（y0），其图象为圆点在（1，0），半径为1的圆在x轴上方的部分，如图由图可知，当直线PN绕点P顺时针旋转至直线PM（PM为切线）位置时，直线与半圆有两个交点，又，当直线与半圆相切时有：，解得：kPM=，k的取值范围是故选：A12如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（）A6B4C6D4【考点】简单空间图形的三视图；多面体和旋转体表面上的最短距离问题【分析】画出图形，结合三视图的数据求出棱长，推出结果即可【解答】解：几何体的直观图如图：AB=4，BD=4，C到BD的中点的距离为：4，BC=
17、CD=2AC=6，AD=4，显然AC最长长为6故选：C二、填空题13如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，上底面中心为O，则异面直线AO与DC1所成角的余弦值为【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；异面直线及其所成的角【分析】建立空间坐标系，求出两异面直线的方向向量，利用数量积公式求出两向量夹角余弦的绝对值，即所求的异面直线AO与DC1所成角的余弦值【解答】解：建立如图的坐标系，以DA所在直线为横轴，DC所在直线为纵轴，DD1所在直线为竖轴设正方体棱长为2，则A（2，0，0），O（1，1，2），C1（0，2，2），=（1，1，2），=（0，2，2），则异面直线AO与DC1所成角的余弦值为
18、：=，故答案为：14已知圆M：x2+（y1）2=1和点A（1，3），则过点A与圆M相切的直线方程是x=1或3x4y+9=0【考点】点与圆的位置关系【分析】由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径r，显然直线x=1与圆相切；当与圆相切的直线斜率存在时，设直线的斜率为k，由直线过（1，3），写出直线的方程，根据直线与圆相切，得到圆心到直线的距离等于圆的半径，故利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程【解答】解：由圆x2+（y1）2=1，得到圆心坐标为（0，1），半径为1，显然此时直线x=1与圆x2+（y1）2=1相切；当与圆相切的
19、直线斜率存在时，设斜率为k，此时直线的方程为y3=k（x1），即kxy+3k=0，直线与圆相切，圆心到直线的距离d=r=1，整理得：（2k）2=1+k2，解得：k=，此时直线的方程为3x4y+9=0，综上，所求直线的方程为：3x4y+9=0或x=1故答案为x=1或3x4y+9=015已知直线l：xy+6=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点则|CD|=4【考点】直线与圆相交的性质【分析】先求出|AB|，再利用三角函数求出|CD|即可【解答】解：由题意，圆心到直线的距离d=3，|AB|=2=2，直线l：xy+6=0直线l的倾斜角为30，过A，B分别作l
20、的垂线与x轴交于C，D两点，|CD|=4故答案为：416如图，透明塑料制成的长方体容器ABCDABCD内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面五个命题：（1）有水的部分始终呈棱柱形；（2）没有水的部分始终呈棱柱形；（3）水面EFGH所在四边形的面积为定值；（4）棱AD始终与水面所在平面平行；（5）当容器倾斜如图（3）所示时，BEBF是定值其中所有正确命题的序号（1）（2）（4）（5）【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】（1）由于BC固定，所以在倾斜的过程中，始终有ADEHFGBC，且平面AEFB平面DHGC，由此分析可得结论正确；（2）结合（1）即可
21、得到结论；（3）水面四边形EFGH的面积是改变的（4）利用直线平行直线，直线平行平面的判断定理，容易推出结论（5）侧棱不变，体积不变，那么底面面积不变，显然结论正确【解答】解：（1）由于BC固定，所以在倾斜的过程中，始终有ADEHFGBC，且平面AEFB平面DHGC，故水的部分始终呈棱柱状（四棱柱或三棱柱、五棱柱），且BC为棱柱的一条侧棱，命题（1）正确（2）由（1）知，有水的部分始终呈棱柱形，则没有水的部分始终呈棱柱形；故（2）正确；（3）当水是四棱柱时，水面面积与上下底面面积相等；当水是三棱柱时，则水面面积可能变大，也可能变小，故（3）错误；（4）因为ADADCB，所以AD水面EFGH正确
22、，故（4）正确；（5）当容器倾斜如图（3）所示时，三棱柱BEFCHG的体积不变，高BC是定值，则底面积BEF为定值，即为定值，则BEEF为定值，故（5）正确故答案为：（1）（2）（4）（5）三、解答题17已知两条直线l1：2xy=0和l2：x+y+2=0（1）过点P（1，1）的直线l与l1垂直，求直线l的方程；（2）若圆M的圆心在直线l1上，与y轴相切，且被直线l2截得的弦长为，求圆M的方程【考点】直线与圆的位置关系；待定系数法求直线方程【分析】（1）求出直线l的斜率，即可求直线l的方程；（2）设圆M的方程为（xa）2+（yb）2=r2（r0），利用圆M的圆心在直线l1上，与y轴相切，且被直线
23、l2截得的弦长为，建立方程，即可求圆M的方程【解答】解：（1）直线l1的斜率k1=2，且ll1直线l的斜率直线l的方程为，即x+2y3=0（2）设圆M的方程为（xa）2+（yb）2=r2（r0），则，解得或圆M的方程为或（x+1）2+（y+2）2=118如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D点为棱AB的中点（1）求证：AC1平面B1CD；（2）若AB=AC=2，BC=BB1=2，求二面角B1CDB的余弦值；（3）若AC1，BA1，CB1两两垂直，求证：此三棱柱为正三棱柱【考点】棱柱的结构特征；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法【分析】（1）连接BC1交B1C于E，连接DE，则DE
24、是BC1A的中位线，所以AC1DE，即可证明AC1平面B1CD；（2）过B作BFCD于F，连接B1F，则CDBB1，CD平面BB1F，可得B1FB为二面角B1CDB的平面角；（3）作A1MB1C1，ANBC，垂足分别为M，N，连接BM，C1N，证明ABC是等边三角形，又三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，即可证明结论【解答】（1）证明：连接BC1交B1C于E，连接DE，则DE是BC1A的中位线，所以AC1DE又 AC1平面B1CD，DE平面B1CDAC1平面B1CD（2）解：过B作BFCD于F，连接B1F，则CDBB1CD平面BB1F，B1FB为二面角B1CDB的平面角，设B1FB=由已知可得
25、ABAC，ACDFBD，即二面角B1CDB的余弦值为（3）证明：作A1MB1C1，ANBC，垂足分别为M，N，连接BM，C1N由已知可得 A1M平面B1C1CB，A1MB1C又 A1BB1C，且A1M，A1B是平面A1BM内的两条相交直线，B1C平面A1BM，B1CBM同理 B1CC1N又 直线B1C，C1N，BM都在平面B1C1CB内，C1NBM，又C1MBN，四边形C1NBM是平行四边形，C1M=BN，C1N=BM又A1C1MANCC1M=CN，CN=BN，AC=BC同理AC=AB，ABC是等边三角形，又三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱三棱柱ABCA1B1C1为正三棱柱19已知关于x的实
26、系数方程x2+2ax+b=0在区间（0，1）和（1，2）内各有一根，求：（1）a2+b2的取值范围；（2）求|a+b2|的取值范围【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系【分析】（1）根据一元二次方程根的分布与系数的关系求出点（a，b）表示的区域，a2+b2表示点（a，b）到原点的距离的平方，求得它的范围（2）根据表示点（a，b）到直线a+b2=0的距离，求得可行域内的点到直线a+b2=0的距离的最大、最小值，可得，从而求得|a+b2|的取值范围【解答】解：设f（x）=x2+2ax+b，则有，点（a，b）表示的区域为如图阴影部分，点A的坐标为（，2）（1）a2+b2表示点（a，b）到原点的距
27、离的平方，（2）表示点（a，b）到直线a+b2=0的距离，点A到直线a+b2=0的距离最小为=，点（1，0）到直线a+b2=0的距离最大为=，故有，20已知两定点M（0，1），N（1，2），平面内一动点P到M的距离与P到N的距离之比为，直线y=kx1与点P的轨迹交于A，B两点（1）求点P的轨迹方程，并指出是什么图形；（2）求实数k的取值范围；（3）是否存在k使得=11（O为坐标原点），若存在求出k的值，若不存在，请说明理由【考点】轨迹方程；直线与圆的位置关系【分析】（1）利用直接法，可得点P的轨迹方程，并指出是什么图形；（2）利用圆心到此直线的距离小于半径，求实数k的取值范围；（3）由消去y：
28、（1+k2）x24（2k+1）x+16=0，利用韦达定理及向量数量积运算可得结论【解答】解：（1）设动点P的坐标为P（x，y）由已知可得 ，即整理 x2+y24x6y+9=0，即（x2）2+（y3）2=4，其图形是以点（2，3）为圆心，2为半径的圆（2）直线y=kx1，即kxy1=0，圆心到此直线的距离小于半径解得（3）设A（x1，kx11），B（x2，kx21），由可得x1x2+（kx11）（kx21）=11，即（k2+1）x1x2k（x1+x2）10=0又由消去y：（1+k2）x24（2k+1）x+16=0由（2）知，将代入可得，解得k=1，或k=3（不满足）舍去，当k=1时，成立21已知
29、圆M：（x1）2+（y1）2=2，直线l：x+y+2=0上有一动点P，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点（1）求当APB最大时，PAB的面积；（2）试探究直线AB是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由【考点】直线与圆的位置关系【分析】（1）当|PM|最小时sinAPM最大，即APM最大，亦即APB最大，此时MPl（2）在直线l：x+y+2=0上任取一点P（t，t2），以MP为直径的圆的方程为（x1）（xt）+（y1）（y+t+2）=0，即x2+y2（t+1）x+（t+1）y2=0，求出过两圆x2+y2（t+1）x+（t+1）y2=0和x2+y22x2y=0交点的直线AB的方程，
30、即可得出结论【解答】解：（1）如图，在直角三角形MPA中，APM是锐角，由，当|PM|最小时sinAPM最大，即APM最大，亦即APB最大，此时MPl当MPl时，直线MP的方程为 y=x，由得 x=y=1，所以点P的坐标为P（1，1），直线AB通过以PM为直径的圆与圆M的交点以PM为直径的圆的方程为 （x1）（x+1）+（y1）（y+1）=0，即x2+y2=2，过圆x2+y2=2与圆（x1）2+（y1）2=2交点的直线AB的方程为：x+y1=0点M到直线AB的距离为，点P到AB的距离为，所以，PAB的面积为（2）在直线l：x+y+2=0上任取一点P（t，t2），以MP为直径的圆的方程为（x1）
31、（xt）+（y1）（y+t+2）=0，即x2+y2（t+1）x+（t+1）y2=0过两圆x2+y2（t+1）x+（t+1）y2=0和x2+y22x2y=0交点的直线AB的方程为（1t）x+（t+3）y2=0，即（yx）t+x+3y2=0，由得，所以，直线AB通过定点22在边长为a的正方形ABCD中，M，N分别为DA、BC上的点，且MNAB，连结AC交MN于点P，现沿MN将正方形ABCD折成直二面角（1）求证：无论MN怎样平行移动（保持MNAB），APC的大小不变并求出此定值；（2）当MN在怎样的位置时，M点到面ACD的距离最大？【考点】与二面角有关的立体几何综合题【分析】（1）首先根据勾股定理
32、求出相关的线段长，进一步利用余弦定理求得APCD的余弦值为定值（2）利用点到平面的距离，求出ME，进一步利用均值不等式求出结果【解答】（1）证明：在边长为a的正方形ABCD中，M，N分别为DA、BC上的点，且MNAB，连结AC交MN于点P，现沿MN将正方形ABCD折成直二面角设MC=x，（0xa）根据AC平分DAB得到：PN=x，MP=ax，MA=ax，AN=，AP=PC=进一步在APC中利用余弦定理： =所以：无论MN怎样平行移动（保持MNAB），APC的大小不变此定值为（2）由图形可知：MN平面ACD过M作ME平面ACD，设MD=x利用面积相等得：ME=（当且仅当x=时）即：当M在中点时，M点到面ACD的距离最大2016年12月6日
