1、9.3.2 向量坐标表示与运算第1课时 向量坐标表示及线性运算坐标表示课程标准1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的坐标表示2.会用坐标表示平面向量的线性运算基础认知自主学习【概念认知】1平面向量的坐标表示 建系选底在平面直角坐标系中，设与x轴，y轴方向相同的两个_分别为i，j作为基底线性表示对于平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数x，y，使得a_单位向量xiyj定义坐标有序数对(x，y)叫作向量a的坐标，记作_，其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫作a在y轴上的坐标叫作向量a的坐标表示特例i_，j_，0_a(x，y)1，0 0，1 (0，0)2.向量线性运算的坐标表示条件a(x1，y1)，b
2、(x2，y2)结论ab_；ab_；a(x1，y1)(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)3.向量坐标与点的坐标的联系(1)条件：O(0，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，(2)结论：OA _，OB _，AB _(3)语言表述：以原点为起点的向量的坐标等于其终点坐标；一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的_的坐标减去_的坐标(x1，y1)(x2，y2)(x2x1，y2y1)终点起点【自我小测】1设点A(1，2)，B(3，5)，将向量AB 按向量a(1，1)平移后得到AB 为()A(1，2)B(2，3)C(3，4)D(4，7)【解析】选B.因为A(1，2)，B(3，5)，所以AB(
3、2，3)，将向量AB 按向量a(1，1)平移得到AB，知AB 与AB 的方向相同，大小也相等，只是位置不同，于是AB AB(2，3).2在平面直角坐标系内，设与x轴，y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，若a2ij，则此向量用坐标表示a_.【解析】由于i，j是两个互相垂直的单位向量，所以a(2，1).答案：(2，1)3(2021潍坊高一检测)在平面直角坐标系中，点A(2，3)，B(3，4)，如图所示，x轴，y轴正方向上的两个单位向量分别为i和j，则下列说法正确的是_(只填序号).OA 2i3j；OB 3i4j；AB 5ij；BA 5ij.【解析】i，j互相垂直，故可作为基底，由平面向量基本定
4、理，有OA 2i3j，OB 3i4j，AB OB OA 5ij，BA OA OB 5ij，故正确答案：4在下列各题中，已知向量a，b的坐标，分别求ba，ba的坐标：(1)a(3，5)，b(2，1)；(2)a(1，6)，b(6，5).【解析】(1)ba(2，1)(3，5)(23，15)(1，6).ba(2，1)(3，5)(23，15)(5，4).(2)ba(6，5)(1，6)(61，56)(5,1).ba(6，5)(1，6)(61，5(6)(7，11).学情诊断课时测评【基础全面练】一、单选题1已知ab(2，8)，ab(8，16)，则a()A(3，4)B(5，12)C(1，4)D(4，8)【解析
5、】选A.联立ab（2，8），ab（8，16）.得2a(2，8)(8，16)(6，8)，所以a(3，4).2已知A(1，1)，B(2，2)，O是坐标原点，则OA AB()A(1，3)B(3，1)C(1，1)D(2，2)【解析】选D.因为B(2，2)，O是坐标原点；所以OA AB OB(2，2).3在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，AB(2，4)，AC(1，3)，则DA()A(2，4)B(3，5)C(1，1)D(1，1)【解析】选C.DA AD BC(AC AB)(1，1).二、填空题4如图，正方形ABCD中，O为中心，且OA(1，1)，试用基底向量i，j表示下列向量：OB _，OC _，
6、AB _，AC _【解析】如题图所示，OA(1，1)ij，所以OE i，EA j.所以OF OE i，FB EA j，FC FB j.所以OB OF FB ij；OC OF FC ij；AB OB OA ij(ij)2i.同理，BC OC OB ij(ij)2j，AC AB BC 2i(2j)2i2j.答案：ij ij 2i 2i2j5在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边ABDC，ADBC.已知点A(2，0)，B(6，8)，C(8，6)，则D点的坐标为_【解析】方法一：由题意知，四边形ABCD是平行四边形，所以AB DC，设D(x，y)，则(6，8)(2，0)(8，6)(x，y)，所以
7、x0，y2，即D(0，2).方法二：由题意知，四边形ABCD为平行四边形，所以AB DC，即OB OA OC OD，所以OD OA OC OB(2，0)(8，6)(6，8)(0，2)，即D点的坐标为(0，2).答案：(0，2)三、解答题6.已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量AB，AC，BC，BD 的坐标【解析】正三角形ABC的边长为2，则顶点A(0，0)，B(2，0)，C(2cos 60，2sin 60)，所以C(1，3)，D12，32，所以AB(2，0)，AC(1，3)，BC(12，3 0)(1，3)，BD 122，32
8、0 32，32.【加固训练】如图，取与x轴、y轴同向的两个单位向量i，j作为基底，分别用i，j表示OA，OB，AB，并求出它们的坐标【解析】由题图可知，OA 6i2j，OB 2i4j，AB 4i2j，它们的坐标表示为OA(6，2)，OB(2，4)，AB(4，2).【综合突破练】一、选择题1已知平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别是(2，1)，(1，3)，(3，4)，则向量BD 的坐标是()A(2，2)B(3，1)C(3，1)D(4，2)【解析】选B.因为平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别是(2，1)，(1，3)，(3，4)，所以BA(2，1)(1，3)(1，2)，AD
9、 BC(3，4)(1，3)(4，1).所以BD BA AD(1，2)(4，1)(3，1).2已知M(2，1)，N(0，5)，且点P在MN的延长线上，|MP|2|PN|，则P点坐标为()A(2，11)B43，3C23，3D(2，12)【解析】选A.因为P在MN的延长线上且|MP|2|PN|，所以MP 2NP，则OP OM 2(OP ON)，所以OP 2ON OM 2(0，5)(2，1)，即OP(2，11).3(多选)已知向量i(1，0)，j(0，1)，对坐标平面内的任意一向量a，下列结论中正确的是()A存在唯一的一对实数x，y，使得a(x，y)B若x1，x2，y1，y2R，a(x1，y1)(x2
10、，y2)，则x1x2，且y1y2C若x，yR，a(x，y)，且a0，则a的起点是原点OD若x，yR，a的起点坐标是(1，1)，且a的终点坐标是(x，y)，则a(x1，y1)【解析】选AD.由平面向量基本定理知A正确；若a(1，0)(1，3)，但11，故B错误；因为向量可以平移，所以a(x，y)与a的起点是不是原点无关，故C错误；根据向量坐标的计算方法可知D正确二、填空题4已知点A(1，1)，B(1，3)，C(x，5)，若对于平面上任意一点O，都有OC OA(1)OB，R，则x_；若D(0，y)，且AB CD，则x，y的值分别为_【解析】取O(0，0)，由OC OA(1)OB 得，(x，5)(1
11、，1)(1)(1，3)，所以x（1），53（1）.解得12，x2.AB(2，4)，CD(x，y5)，因为AB CD，所以2x4y5，所以x2，y9.答案：2 2，95已知与x轴，y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，若AB 4i3j，BC i6j，O为坐标原点，向量OM 与AC 互为相反向量，则点M的坐标为_【解析】因为AB 4i3j，BC i6j，所以AB 4，3，BC 1，6，所以AC AB BC 4，3 1，6 3，3，又因为向量OM 与AC 互为相反向量，所以OM AC 3，3，所以点M的坐标为3，3.答案：3，3三、解答题6在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，(1)若OP AB AC，求点P的坐标；(2)若PA PB PC 0，求OP 的坐标【解析】(1)因为AB(1，2)，AC(2，1)，所以OP(1，2)(2，1)(3，3)，即点P的坐标为(3，3).(2)设点P的坐标为(x，y)，因为PA PB PC 0，又PA PB PC(1x，1y)(2x，3y)(3x，2y)(63x，63y).所以63x0，63y0，解得x2，y2，所以点P的坐标为(2，2)，故OP(2，2).