1、高考资源网（） 您身边的高考专家2015-2016学年辽宁省沈阳二中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是（）A（，+）B（，1）C（，）D（，）2已知角的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y=2x上，则tan2=（）ABCD3在ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，则+的值为（）ABCD14已知a0，函数f（x）=x3ax在1，+）上是单调增函数，则a的最大值是（）A0B1C2D35若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（）AB2C
2、2D46已知数列an，bn满足a1=1，且an，an+1是函数f（x）=x2bnx+2n的两个零点，则b10等于（）A24B32C48D647函数y=的图象是（）ABCD8一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD=（） mABC100D9已知（0，），则y=的最小值为（）A6B10C12D1610在斜三角形ABC中，sinA=cosBcosC且tanBtanC=1，则A的值为 （）ABCD11设函数f（x）=x，对任意x1，+），f（ax）+af（x）0恒成立，则
3、实数a的取值范围是（）A（，1）B（1，0）C（1，1）D（0，1）12已知函数f（x）=3ln2x2x，它的两个极值点为x1，x2（x1x2），给出以下结论：1x13x2；1x1x23；f（x1）3；f（x1）则上述结论中所有正确的序号是（）ABCD二填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13设变量x，y满足，则z=|x3y|的最大值为_14函数f（x）=的图象与直线x=1及x轴所围成的封闭图形的面积为_15已知ABC的外接圆圆心为O，满足=m且4m+3n=2，|=4，|=6，则=_16已知函数f（x）=，若f（x）kx有三个零点，则k的取值范围为_三、解答题：（本大题共6小题，满
4、分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17设f（x）=6cos2x2sinxcosx（）求f（x）的最小正周期；（）求单调递增区间18已知函数f（x）=ax的图象过点（1，），且点（n1，）（nN*）在函数f（x）=ax的图象上（1）求数列an的通项公式；（2）令bn=an+1an，若数列bn的前n项和为Sn，求证：Sn519已知函数f（x）=xalnx（aR）（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1）处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值20如图，梯形ABCD中，ABCD，BC=6，tanABC=2（I）若ACD=，求AC的长；（）若BD=9，求BCD的面积21
5、已知函数f（x）=log2，过定点A（）的直线与函数f（x）的图象交于两点B、C，且=（1）求a的值；（2）若Sn=f（）+f（）+f（），nN*，且n2，求Sn（3）已知数列an满足：a1=， =（Sn+1）（Sn+1+1），其中nN*Tn为数列an的前n项和，若Tn（Sn+1+1）对一切nN*都成立，试求的取值范围22设函数f（x）=（1ax）ln（1+x）x，其中a是实数；（1）当0x1时，关于x的不等式f（x）0恒成立，求实数a的取值范围；（2）求证：e（）1000.42015-2016学年辽宁省沈阳二中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小
6、题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是（）A（，+）B（，1）C（，）D（，）【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法【分析】依题意可知要使函数有意义需要1x0且3x+10，进而可求得x的范围【解答】解：要使函数有意义需，解得x1故选B2已知角的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y=2x上，则tan2=（）ABCD【考点】任意角的三角函数的定义【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得tan的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2的值【解答】解：由于直线y=2x经过第一、第三象限，故角的终边在第一
7、、或第三象限，若角的终边在第一象限，在角的终边y=2x上任意取一点（1，2），则由任意角的三角函数的定义，可得tan=2，故tan2=角的终边在第三象限，在角的终边y=2x上任意取一点（1，2），则由任意角的三角函数的定义，可得tan=2，故tan2=故选：A3在ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，则+的值为（）ABCD1【考点】向量的共线定理【分析】设，将向量用向量、表示出来，即可找到和的关系，最终得到答案【解答】解：设则=（）故选A4已知a0，函数f（x）=x3ax在1，+）上是单调增函数，则a的最大值是（）A0B1C2D3【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】由题意a0，函数
8、f（x）=x3ax，首先求出函数的导数，然后根据导数与函数单调性的关系进行判断【解答】解：由题意得f（x）=3x2a，函数f（x）=x3ax在1，+）上是单调增函数，在1，+）上，f（x）0恒成立，即a3x2在1，+）上恒成立，a3，故选：D5若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（）AB2C2D4【考点】基本不等式【分析】由+=，可判断a0，b0，然后利用基础不等式即可求解ab的最小值【解答】解： +=，a0，b0，（当且仅当b=2a时取等号），解可得，ab，即ab的最小值为2，故选：C6已知数列an，bn满足a1=1，且an，an+1是函数f（x）=x2bnx+2n的两个零点，则b10等于
9、（）A24B32C48D64【考点】数列与函数的综合；函数的零点【分析】由韦达定理，得出，所以，两式相除得=2，数列an中奇数项成等比数列，偶数项也成等比数列求出a10，a11后，先将即为b10【解答】解：由已知，所以，两式相除得=2所以a1，a3，a5，成等比数列，a2，a4，a6，成等比数列而a1=1，a2=2，所以a10=224=32a11=125=32，又an+an+1=bn，所以b10=a10+a11=64故选D7函数y=的图象是（）ABCD【考点】函数的图象【分析】根据函数的奇偶性和特殊值法，即可判断【解答】解：y=为偶函数，图象关于y轴对称，排除A，C，当x=时，y=0，排除D，
10、故选：B8一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD=（） mABC100D【考点】解三角形的实际应用【分析】设此山高h（m），在BCD中，利用仰角的正切表示出BC，进而在ABC中利用正弦定理求得h【解答】解：设此山高h（m），则BC=h，在ABC中，BAC=30，CBA=105，BCA=45，AB=600根据正弦定理得=，解得h=100（m）故选：B9已知（0，），则y=的最小值为（）A6B10C12D16【考点】三角函数的最值【分析】利用同角三角函数的基本关系化
11、简函数y的解析式，再利用基本不等式求得它的最小值【解答】解：（0，），y=+=1+9+9tan210+2=16，当且仅当=9tan2，即tan=时，等号成立，故选：D10在斜三角形ABC中，sinA=cosBcosC且tanBtanC=1，则A的值为 （）ABCD【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【分析】由条件可得 sinBcosC+cosBsinC=cosBcosC，两边同除cosBcosC可得 tanB+tanC的值，再利用两角和的正切公式求得tan（B+C）的值，可得B+C的值，从而得到A的值【解答】解：在斜三角形ABC中，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC
12、=cosBcosC，两边同除cosBcosC可得 tanB+tanC=又tanBtanC=1，所以tan（B+C）=1，B+C=，A=故选A11设函数f（x）=x，对任意x1，+），f（ax）+af（x）0恒成立，则实数a的取值范围是（）A（，1）B（1，0）C（1，1）D（0，1）【考点】函数恒成立问题【分析】根据题意和分离变量法化简f（ax）+af（x）0，分a0与a0两种情况进行讨论，根据二次函数的性质和恒成立即可得出答案【解答】解：由f（ax）+af（x）0得，ax+ax0对任意x1，+）恒成立，所以化简得：2ax（）对任意x1，+）恒成立，即2ax2对任意x1，+）恒成立，当a0时，
13、2x2，因为y=2x2在x1，+）上无最大值，此时不合题意；当a0时，2x2，因为y=2x2在x1，+）上的最小值为2，所以2，则a21，解得a1或a1（舍去），综合可得：a1故选：A12已知函数f（x）=3ln2x2x，它的两个极值点为x1，x2（x1x2），给出以下结论：1x13x2；1x1x23；f（x1）3；f（x1）则上述结论中所有正确的序号是（）ABCD【考点】利用导数研究函数的极值【分析】依题意，f（x）=0在（0，+）上有二异根，作出f（x）=2的图象，对四个选项逐一分析即可确定答案【解答】解：f（x）=3ln2x2x，f（x）=2，f（x）=3ln2x2x有两个极值点x1，x
14、2（x1x2），f（x）=0在（0，+）上有二异根，作出f（x）=2的图象，如图所示，则1x13x2成立；1x1x23，不成立；f（x1）=0，6lnx1=2x1，lnx1=x1，f（x1）=x122x1=（x13）23，1x123f（x1），成立故选：D二填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13设变量x，y满足，则z=|x3y|的最大值为8【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，设t=x3y，利用目标函数的几何意义，利用数形结合求出t的取值范围，即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，设t=x3y，则y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点A（2
15、，2）时，截距最大，此时t最小，此时t=26=8，经过点B（2，2）时，截距最小，此时z最大，此时t=2+6=4，8t4，即0|z|8，即z=|x3y|的最大值为8，故答案为：814函数f（x）=的图象与直线x=1及x轴所围成的封闭图形的面积为e【考点】定积分在求面积中的应用；分段函数的应用【分析】利用定积分表示区域面积，最后转化成等价形式，即可得出结论【解答】解：由题意，1x0时，图象与x轴所围成的封闭图形的面积为，0x1时，f（x）=的图象与直线x=1及x轴所围成的封闭图形的面积为=e1，函数f（x）=的图象与直线x=1及x轴所围成的封闭图形的面积为+e1=e，故答案为：e15已知ABC的
16、外接圆圆心为O，满足=m且4m+3n=2，|=4，|=6，则=36【考点】平面向量数量积的运算【分析】在两边分别乘以便能够得到，根据4m+3n=2，+便可得到18= ，而3+4可得， ，所以由得，带入即可求出【解答】解：如图，取AC中点D，连接OD，则ODAC；=24；同理，；+得，42=12（4m+3n）+（m+n）； ；3+4得，72（m+n）+ ；联立可解得故答案为：3616已知函数f（x）=，若f（x）kx有三个零点，则k的取值范围为【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】由题意画出图象，利用导数对x分x=0、x0、x0三种情况各有一个零点时的k的取值范围求出来，再求交集即可【解答】解
17、：由题意画出图象：（1）当x=0时，f（0）=ln1=0，k0=0，0是函数f（x）kx的一个零点；（2）由函数的图象和单调性可以看出，当x0和x0时，分别有一个零点当x0时，由，化为0，解得；当x0时，只考虑即可，令g（x）=ln（x+1）kx，则，A当k1时，则g（x）0，即g（x）在（0，+）上单调递减，g（x）g（0）=0，g（x）无零点，应舍去；B当时，g（x）=，令g（x）=0，解得，列表如下：由表格可知：当时，g（x）取得极大值，也是最大值，当且仅当时，g（x）才有零点，=klnk1下面证明h（k）=klnk10，=，h（k）在上单调递减， =h（k）h（1）=1ln11=0，因
18、此0在时成立综上可知：当且仅当时，函数f（x）kx有三个零点三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17设f（x）=6cos2x2sinxcosx（）求f（x）的最小正周期；（）求单调递增区间【考点】三角函数中的恒等变换应用【分析】（1）使用二倍角公式及和角公式化简f（x），利用周期公式得出f（x）的周期；（2）根据余弦函数的单调性列出不等式解出即可【解答】解：（）f（x）=3（1+cos2x）sin2x=2（cos2xsin2x）+3=2cos（2x+）+3f（x）的最小正周期为T=（II）令+2k2x+2k，解得+kx+k，kZf（x）的单调递增
19、区间为+k， +k，kZ18已知函数f（x）=ax的图象过点（1，），且点（n1，）（nN*）在函数f（x）=ax的图象上（1）求数列an的通项公式；（2）令bn=an+1an，若数列bn的前n项和为Sn，求证：Sn5【考点】数列与不等式的综合【分析】（1）由函数f（x）=ax的图象过点（1，），知a=，f（x）=（）x由点（n1，）（nN*）在函数f（x）=ax的图象上，能求出an（2）由an=，bn=an+1an，知bn=（2n+1）（）n，从而得到Sn=，由此利用错位相减法能够证明Sn5【解答】（本题12分）解：（1）函数f（x）=ax的图象过点（1，），a=，f（x）=（）x又点（n1
20、，）（nN*）在函数f（x）=ax的图象上，从而（）n1=，即an=（2）证明：由an=，bn=an+1an，得bn=（2n+1）（）n，Sn=，则Sn=，两式相减得： Sn=+2（），Sn=5，Sn519已知函数f（x）=xalnx（aR）（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1）处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值【分析】（1）把a=2代入原函数解析式中，求出函数在x=1时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；（2）求出函数的导函数，由导函数可知，当a0时，f（x）0，函数在定义域（0，+）上单调递增，
21、函数无极值，当a0时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用原函数的单调性得到函数的极值【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+），（1）当a=2时，f（x）=x2lnx，因而f（1）=1，f（1）=1，所以曲线y=f（x）在点A（1，f（1）处的切线方程为y1=（x1），即x+y2=0（2）由，x0知：当a0时，f（x）0，函数f（x）为（0，+）上的增函数，函数f（x）无极值；当a0时，由f（x）=0，解得x=a又当x（0，a）时，f（x）0，当x（a，+）时，f（x）0从而函数f（x）在x=a处取得极小值，且极小值为f（a）=aalna，无极大值综上，当a0时，函数f（x）
22、无极值；当a0时，函数f（x）在x=a处取得极小值aalna，无极大值20如图，梯形ABCD中，ABCD，BC=6，tanABC=2（I）若ACD=，求AC的长；（）若BD=9，求BCD的面积【考点】解三角形【分析】（）由同角的三角函数的关系求出sinABC=，由正弦定理即可求出AC，（）分别利用正弦定理和余弦定理和三角形的面积公式即可求出【解答】解：（）：ABCD，ACD=，BAC=ACD=，tanABC=2，sinABC=2cosABC，sin2ABC+cos2ABC=1，sinABC=，由正弦定理可得=，=，AC=8，（）ABCD，BCD=ABC，sinBCD=sin（ABC）=sinA
23、BC=，cosBCD=，由余弦定理可得BD2=BC2+CD22BCCDcosBCD，即81=36+CD226CD，解得CD=2+SBCD=CDBCsinBCD=6（2+）=6+321已知函数f（x）=log2，过定点A（）的直线与函数f（x）的图象交于两点B、C，且=（1）求a的值；（2）若Sn=f（）+f（）+f（），nN*，且n2，求Sn（3）已知数列an满足：a1=， =（Sn+1）（Sn+1+1），其中nN*Tn为数列an的前n项和，若Tn（Sn+1+1）对一切nN*都成立，试求的取值范围【考点】数列递推式【分析】（1）由，可得A是BC的中点设A（x，y），B（x1，y1），C（x2，
24、y2），利用向量坐标运算、对数函数的运算性质可得：x1+x2=1可得log2=0， =1，化简即可解出（2）由（1）可知：x1+x2=1，可得f（x1）+f（x2）=y1+y2=1，由Sn=f（）+f（）+f（），利用“倒序相加”即可得出（3）由a1=， =（Sn+1）（Sn+1+1），可得an=4利用“裂项求和”即可得出TnTn（Sn+1+1）化为：，再利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：（1），A是BC的中点设A（x，y），B（x1，y1），C（x2，y2），由（x1+x2）=，得x1+x2=1，则x1=1x2或x2=1x1 而=（y1+y2）= f （x1）+f（x2）=（ log2
25、）=（1+log2），log2=0，=1，化为a2a（x1+x2）=0，解得a=1，或0（舍去）（2）由（1）可知：x1+x2=1，f（x1）+f（x2）=y1+y2=1，Sn=f（）+f（）+f（），Sn=f（）+f（）+，2Sn=n1，可得Sn=，nN*，且n2（3）a1=， =（Sn+1）（Sn+1+1），an=4Tn=4+=Tn（Sn+1+1）化为：，=，=，Tn（Sn+1+1）对一切nN*都成立，因此，即的取值范围是（，+）22设函数f（x）=（1ax）ln（1+x）x，其中a是实数；（1）当0x1时，关于x的不等式f（x）0恒成立，求实数a的取值范围；（2）求证：e（）1000.4
26、【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）f（x）=aln（1+x）+1，可得f（x）=，对分类讨论：当a时，当a0时，当a0时，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出（2）对要证明的不等式等价变形如下：对于任意的正整数n，不等式e恒成立，等价变形0，相当于（2）中a=，m=的情形，利用其单调性即可得出【解答】（1）解：f（x）=aln（1+x）+1，f（x）=，当a时，f（x）=0，f（x）递增，f（x）f（0）=0，故成立；当a0时，x0，1，f（x）0，f（x）递减，f（x）f（0）=0，不符合；当a0时，令m=min，当x0，m时，f（x）0，于是在x0，m时函数f（x）单调递减，f（x）f（0）=0，不符合综上可得：a的取值范围为（2）证明：对要证明的不等式等价变形如下：对于任意的正整数n，不等式e恒成立，等价变形0，相当于（2）中a=，m=的情形，f（x）在x上单调递减，即f（x）f（0）=0而且仅有f（0）=0；取x=，得：对于任意正整数n都有0成立；令n=1000得证2016年10月3日高考资源网版权所有，侵权必究！
