1、2016-2017学年辽宁省师大附中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1已知集合A=1，a，B=x|x25x+40，xZ，若AB，则a等于（）A2B3C2或4D2或32下列函数中，在区间（1，1）上为减函数的是（）Ay=ln（x+1）By=2xCy=Dy=cosx3等差数列an中，公差d0，若lga1，lga2，lga4也成等差数列，a5=10，则an的前5项和S5=（）A40B35C30D254“b”是“函数f（x）=是在R上的单调函数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也
2、不必要条件e5已知x，y满足，且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，则a的值是（）ABCD46若函数f（x）=，若f（a）f（a），则实数a的取值范围是（）A（1，0）（0，1）B（，1）（1，+）C（1，0）（1，+）D（，1）（0，1）7一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A32B18C16D108已知x=2是函数f（x）=x33ax+2的极小值点，那么函数f（x）的极大值为（）A15B16C17D189过点M（2，0）的直线m与椭圆+y2=1交于P1、P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1（k0），直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为（）A2B2CD10若
3、函数f（x）=x312x在区间（k1，k+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围（）Ak3或1k1或k3B不存在这样的实数kC2k2D3k1或1k311如图，F1，F2是双曲线C：=1（a0，b0）的左、右两个焦点若直线y=x与双曲线C交于P、Q两点，且四边形PF1QF2为矩形，则双曲线的离心率为（）A2+B2+CD12若存在两个正实数x，y，使得等式3x+a（2y4ex）（lnylnx）=0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是（）A（，0）BCD二、填空题：本大题共4小题每小题5分，共20分.13若存在正数x，使2x（xa）1成立，则a的取值范围是14如图，在三棱柱ABCA1B
4、1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4，AA1=6，若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，且BE=B1E，C1F=CC1，则异面直线A1E与AF所成角的余弦值为15已知数列1，a1，a2，4成等差数列，数列1，b1，b2，b3，4成等比数列，则a2b2的值是16如果对定义在R上的函数f（x），对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）x1f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）为“H函数”给出下列函数：y=ex+x；y=x2；y=3xsinx；f（x）=以上函数是“H函数”的所有序号为三、解答题：本大题共6小题，共70分解答写出文字说明、证明或验算步骤1
5、7（10分）设p：实数a满足不等式3a9，q：函数f（x）=x3+x2+9x无极值点（1）若“pq”为假命题，“pq”为真命题，求实数a的取值范围；（2）已知“pq”为真命题，并记为r，且t：a2（2m+）a+m（m+）0，若r是t的必要不充分条件，求正整数m的值18（12分）已知函数f（x）=x2+2ax+1（aR），f（x）是f（x）的导函数（1）若x2，1，不等式f（x）f（x）恒成立，求a的取值范围；（2）解关于x的方程f（x）=|f（x）|19（12分）各项均为正数的数列an的前n次和Sn，已知S1=2，a7=20，且2（a+b）Sn=（an+a）（an+b），nN+，ba（1）求a
6、和b的值；（2）bn=，记数列bn的前n项和为Tn，求Tn20（12分）如图1在RtABC中，ABC=90，D、E分别为线段AB、AC的中点，AB=4，BC=2以DE为折痕，将RtADE折起到图2的位置，使平面ADE平面DBCE，连接AC，AB，设F是线段AC上的动点，满足=（）证明：平面FBE平面ADC；（）若二面角FBEC的大小为45，求的值21（12分）设函数f（x）=x2mlnx，h（x）=x2x+a（）当a=0时，f（x）h（x）在（1，+）上恒成立，求实数m的取值范围；（）当m=2时，若函数g（x）=f（x）h（x）在1，3上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围22（12分）已知椭
7、圆的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，bc为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于（1）求椭圆的离心率e的取值范围；（2）设椭圆的短半轴长为1，圆F2与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k0）的直线l与椭圆相交于A，B两点，若OAOB，求直线l被圆F2截得的弦长的最大值2016-2017学年辽宁省师大附中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1已知集合A=1，a，B=x|x25x+40，xZ，若AB，则a等于（）A2B3C2或4D2或3
8、【考点】交集及其运算【专题】计算题；集合思想；定义法；集合【分析】解不等式求出集合B，进而根据AB，可得b值【解答】解：B=x|x25x+40，xZ=2，3，集合A=1，a，若AB，则a=2或a=3，故选：D【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题2下列函数中，在区间（1，1）上为减函数的是（）Ay=ln（x+1）By=2xCy=Dy=cosx【考点】函数单调性的性质【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用【分析】逐一判断各个选项中函数在区间（1，1）上的单调性，从而得出结论【解答】解：由于y=ln（x+1）在区间（1，1）上为增函数，故排除A；由于函数y=2x =
9、在区间（1，1）上为减函数，故满足条件；由于函数y=在区间（1，1）上为增函数，故排除C；由于函数y=cosx在区间（1，1）上没有单调性，例如cos（）=cos，故排除D，故选：B【点评】本题主要考查函数的单调性的判断，属于基础题3等差数列an中，公差d0，若lga1，lga2，lga4也成等差数列，a5=10，则an的前5项和S5=（）A40B35C30D25【考点】数列的求和；等差数列的通项公式【专题】方程思想；转化思想；函数的性质及应用；等差数列与等比数列【分析】由lga1，lga2，lga4也成等差数列，可得2lga2=lga1+lga4，因此=a1a4，又a5=10=a1+4d，联
10、立可得a1，d，z再利用求和公式即可得出【解答】解：lga1，lga2，lga4也成等差数列，2lga2=lga1+lga4，=a1a4，即=a1（a1+3d），d0，d=a1又a5=10=a1+4d，联立解得a1=d=2则an的前5项和S5=2=30，故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4“b”是“函数f（x）=是在R上的单调函数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件e【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】计算题；转化思想；定义法；简易逻辑【分析】先根据定积分的计算法则求出b
11、的范围，再根据分段函数的单调性得到b的范围，根据充分必要条件的定义即可求出，【解答】解：bdx=lnx|=1+1=2，函数f（x）=是在R上的单调函数，0+230+b，解得b1，bdx”是“函数f（x）=是在R上的单调函数”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题以充分必要条件的判断为载体，主要考查了分段函数的单调性的判断，解题 中要注意分段函数的端点处的函数值的处理5已知x，y满足，且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，则a的值是（）ABCD4【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍，建立
12、方程关系，即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当直线y=2x+z经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，由，解得即A（1，1），此时z=21+1=3，当直线y=2x+z经过点B时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，即B（a，a），此时z=2a+a=3a，目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍，3=43a，即a=故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键6（若函数f（x）=，若f（a）f（a），则实数a的取值范围是（）A（1，0）（0，1）B（，1）（1，+）C（1，0）（1，
13、+）D（，1）（0，1）【考点】对数值大小的比较【专题】函数的性质及应用【分析】由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类讨论【解答】解：由题意故选C【点评】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属于中等题分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大于0，也要注意底数在（0，1）上时，不等号的方向不要写错7一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A32B18C16D10【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】结合直观图可得几何体是正方体的一半，根据正方体的棱长为4，计算几何体的体积【解答】解：由三视图知：
14、几何体是正方体的一半，如图：已知正方体的棱长为2，几何体的体积V=43=32故选：A【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是根据三视图判断几何体的结构特征及数据所对应的几何量8已知x=2是函数f（x）=x33ax+2的极小值点，那么函数f（x）的极大值为（）A15B16C17D18【考点】利用导数研究函数的极值【专题】计算题；导数的综合应用【分析】求出导数，由题意得，f（2）=0，解出a，再由单调性，判断极大值点，求出即可【解答】解：函数f（x）=x33ax+2的导数f（x）=3x23a，由题意得，f（2）=0，即123a=0，a=4f（x）=x312x+2，f（x）=3x212
15、=3（x2）（x+2），f（x）0，得x2或x2；f（x）0，得2x2，故x=2取极小值，x=2取极大值，且为8+24+2=18故选D【点评】本题考查导数的应用：求极值，同时考查运算能力，属于基础题9过点M（2，0）的直线m与椭圆+y2=1交于P1、P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1（k0），直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为（）A2B2CD【考点】椭圆的应用；直线与圆锥曲线的综合问题【分析】点斜式写出直线m的方程，代入椭圆的方程化简，利用根与系数的关系及中点公式求出P的横坐标，再代入直线m的方程求出P的纵坐标，进而求出直线OP的斜率k2，计算 k1k2的值【解答】解：
16、过点M（2，0）的直线m的方程为 y0=k1（x+2 ），代入椭圆的方程化简得（2k12+1）x2+8k12x+8k122=0，x1+x2=，P的横坐标为 ， P的纵坐标为k1（x1+2 ）=，即点P（，），直线OP的斜率k2=，k1k2=故选D【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，线段中点公式的应用，根据题意，求出点P的坐标是解题的关键和难点10若函数f（x）=x312x在区间（k1，k+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围（）Ak3或1k1或k3B不存在这样的实数kC2k2D3k1或1k3【考点】函数单调性的判断与证明【专题】综合题；转化思想；演绎法；函数的性质及应用【分析】由题意
17、得，区间（k1，k+1）内必须含有导函数的零点2或2，即k12k+1或k12k+1，解之即可求出实数k的取值范围【解答】解：由题意可得f（x）=3x212 在区间（k1，k+1）上至少有一个零点，而f（x）=3x212的零点为2，区间（k1，k+1）的长度为2，故区间（k1，k+1）内必须含有2或2k12k+1或k12k+1，1k3 或3k1，故选D【点评】本题考查函数的单调性与导数的关系，把函数在区间上不是单调函数转化为导函数在区间上有零点是解决问题的关键，属中档题11如图，F1，F2是双曲线C：=1（a0，b0）的左、右两个焦点若直线y=x与双曲线C交于P、Q两点，且四边形PF1QF2为矩
18、形，则双曲线的离心率为（）A2+B2+CD【考点】双曲线的简单性质【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由题意，矩形的对角线长相等，由此建立方程，找出a，c的关系，即可求出双曲线的离心率【解答】解：由题意，矩形的对角线长相等，y=x代入=1，可得x=，=c，2a2b2=（b2a2）c2，2a2（c2a2）=（c22a2）c2，2（e21）=e42e2，e44e2+2=0，e1，e2=2+，e=故选：C【点评】本题考查双曲线的离心率，考查矩形的性质，确定a，c的关系是关键12若存在两个正实数x，y，使得等式3x+a（2y4ex）（lnylnx）=0成立，其中e为自然
19、对数的底数，则实数a的取值范围是（）A（，0）BCD【考点】函数恒成立问题【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用【分析】根据函数与方程的关系将方程进行转化，利用换元法转化为方程有解，构造函数求函数的导数，利用函数极值和单调性的关系进行求解即可【解答】解：由3x+a（2y4ex）（lnylnx）=0得3x+2a（y2ex）ln=0，即3+2a（2e）ln=0，即设t=，则t0，则条件等价为3+2a（t2e）lnt=0，即（t2e）lnt=有解，设g（t）=（t2e）lnt，g（t）=lnt+1为增函数，g（e）=lne+1=1+12=0，当te时，g（t）0，当0te时，g（t）0，即当t=
20、e时，函数g（t）取得极小值为：g（e）=（e2e）lne=e，即g（t）g（e）=e，若（t2e）lnt=有解，则e，即e，则a0或a，故选：D【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，根据函数与方程的关系，转化为两个函数相交问题，利用构造法和导数法求出函数的极值和最值是解决本题的关键综合性较强二、填空题：本大题共4小题每小题5分，共20分.13若存在正数x，使2x（xa）1成立，则a的取值范围是a1【考点】函数的最值及其几何意义【专题】函数的性质及应用【分析】由不等式将参数a进行分离，利用函数的单调性进行求解【解答】解：由2x（xa）1，得x2xa2x1，设，则f（x）在0，+）上单调递增，当
21、x0时，f（x）f（0）=1，若存在正数x，使2x（xa）1成立，则a1故答案为：a1【点评】本题主要考查函数的单调性的应用，将参数分离是解决本题的关键，利用函数的单调性是本题的突破点，考查学生的转化能力，综合性较强14如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4，AA1=6，若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，且BE=B1E，C1F=CC1，则异面直线A1E与AF所成角的余弦值为【考点】异面直线及其所成的角【专题】计算题；转化思想；向量法；空间角【分析】以C为原点，CA为x轴，在平面ABC中过作AC的垂线为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求
22、出异面直线A1E与AF所成角的余弦值【解答】解：以C为原点，CA为x轴，在平面ABC中过作AC的垂线为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，在三棱柱ABCA1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4，AA1=6，E，F分别是棱BB1，CC上的点，且BE=B1E，C1F=CC1，A1（4，0，6），E（2，2，3），F（0，0，4），A（4，0，0），=（2，2，3），=（4，0，4），设异面直线A1E与AF所成角所成角为，则cos=|=异面直线A1E与AF所成角的余弦值为；故答案为：【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用15已
23、知数列1，a1，a2，4成等差数列，数列1，b1，b2，b3，4成等比数列，则a2b2的值是6【考点】等差数列与等比数列的综合【专题】转化思想；定义法；等差数列与等比数列【分析】根据等差数列与等比数列的通项公式求得a2及b2，即可得出a2b2的值【解答】解：由题意可知：数列1，a1，a2，4成等差数列，设公差为d，则4=1+3d，解得d=1，a2=1+2d=3数列1，b1，b2，b3，4成等比数列，设公比为q，则4=q4，解得q2=2，b2=q2=2则a2b2=32=6故答案为：6【点评】本题考查了等比数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题16如果对定义在R上的函数f（
24、x），对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）x1f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）为“H函数”给出下列函数：y=ex+x；y=x2；y=3xsinx；f（x）=以上函数是“H函数”的所有序号为【考点】抽象函数及其应用【专题】函数的性质及应用【分析】不等式x1f（x1）+x2f（x2）x1f（x2）+x2f（x1）等价为（x1x2）f（x1）f（x2）0，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论【解答】解：对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，不等式等价为（x1x2）
25、f（x1）f（x2）0恒成立，即函数f（x）是定义在R上的增函数y=ex+x为增函数，满足条件函数y=x2在定义域上不单调不满足条件y=3xsinx，y=3cosx0，函数单调递增，满足条件f（x）=当x0时，函数单调递增，当x0时，函数单调递减，不满足条件综上满足“H函数”的函数为，故答案为：【点评】本题主要考查函数单调性的应用，将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键三、解答题：本大题共6小题，共70分解答写出文字说明、证明或验算步骤17（10分）设p：实数a满足不等式3a9，q：函数f（x）=x3+x2+9x无极值点（1）若“pq”为假命题，“pq”为真命题，求实数a的取值范围；（
26、2）已知“pq”为真命题，并记为r，且t：a2（2m+）a+m（m+）0，若r是t的必要不充分条件，求正整数m的值【考点】命题的真假判断与应用【专题】转化思想；转化法；简易逻辑【分析】分别求出命题p，q为真时，实数a的取值范围；（1）若“pq”为假命题，“pq”为真命题，则p与q只有一个命题是真命题，进而得到答案；（2）求出“pq”为真命题，实数a的取值范围，结合r是t的必要不充分条件，可得满足条件的正整数m的值【解答】解：由3a9，得a2，即p：a2（1分）函数f（x）无极值点，f（x）0恒成立，得=9（3a）2490，解得1a5，即q：1a5（3分）（1）“pq”为假命题，“pq”为真命题
27、，p与q只有一个命题是真命题若p为真命题，q为假命题，则若q为真命题，p为假命题，则（6分）于是，实数a的取值范围为a|a1或2a5（7分）（2）“pq”为真命题，（8分）又，am或，（10分）即t：am或，从而t：r是t的必要不充分条件，即t是r的充分不必要条件，解得，mN*，m=1（12分）【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了充要条件，函数的极值，指数不等式的解法，二次不等式的解法，复合命题，难度中档18（12分）已知函数f（x）=x2+2ax+1（aR），f（x）是f（x）的导函数（1）若x2，1，不等式f（x）f（x）恒成立，求a的取值范围；（2）解关于x的方程f（x）=|
28、f（x）|【考点】函数恒成立问题；导数的运算【专题】分类讨论；分析法；函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】（1）用分离参数法转化为求最值；（2）通过平方去掉绝对值：（x+a）22|x+a|+1a2=0，则|x+a|=1+a或|x+a|=1a求解【解答】解：（1）因为f（x）f（x），所以x22x+12a（1x）又因为2x1，所以a在x2，1时恒成立因为，所以a（2）因为f（x）=|f（x）|，所以x2+2ax+1=2|x+a|，所以（x+a）22|x+a|+1a2=0，则|x+a|=1+a或|x+a|=1a当a1时，|x+a|=1a，所以x=1或x=12a；当1a1时，|x+a|=1a或|
29、x+a|=1+a，所以x=1或x=12a或x=（1+2a）；当a1时，|x+a|=1+a，所以x=1或x=（1+2a）【点评】本题考查了用分离参数法处理恒成立问题、解绝对值不等式，属于中档题19（12分）各项均为正数的数列an的前n次和Sn，已知S1=2，a7=20，且2（a+b）Sn=（an+a）（an+b），nN+，ba（1）求a和b的值；（2）bn=，记数列bn的前n项和为Tn，求Tn【考点】数列递推式【专题】转化思想；分类法；等差数列与等比数列【分析】（1）n=1时，由2（a+b）a1=（a1+a）（a1+b），S1=2，可求得b=2；由2（a+b）Sn=（an+a）（an+b）n2时
30、，2（a+b）Sn1=（an1+a）（an1+b），两式相减，整理得an=2+（n1）（2+a），再利用a7=20，可求得a的值；（2）由（1）知an=3n1，于是bn=，n=+2+3+（n1）+n，利用错位相减法即可求得数列bn的前n项和为Tn【解答】解：（1）n=1时，2（a+b）a1=（a1+a）（a1+b），a1=2，4（a+b）=（a+2）（2+b），即（a2）（b2）=0，ba，b=2；n2时，2（a+b）Sn1=（an1+a）（an1+b），则有=（a+b）（an+an1）（n2），an0，an=an1+（a+b）（n2）an=2+（n1）（2+a），a7=20，a=1（2）由（
31、1）an=2+3（n1）=3n1，bn=Tn=+2+3+（n1）+n，Tn=+2+（n1）+n，Tn=+n=1nTn=2【点评】本题考查数列的求和，考查递推关系的应用，求得a和b的值是关键，突出错位相减法求和的应用，属于难题20（12分）如图1在RtABC中，ABC=90，D、E分别为线段AB、AC的中点，AB=4，BC=2以DE为折痕，将RtADE折起到图2的位置，使平面ADE平面DBCE，连接AC，AB，设F是线段AC上的动点，满足=（）证明：平面FBE平面ADC；（）若二面角FBEC的大小为45，求的值【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定【专题】数形结合；转化思想；空间位置
32、关系与距离；空间角【分析】（）由平面ADE平面DBCE，ADDE，可得ADBE在直角三角形DEB中，tanBED=，tanCDE=可得BED+CDE=90，可得BEDC可得BE平面ADC，即可证明结论（II）以D为坐标原点DB，DE，DA分别为OX，OY，OZ轴建立空间直角坐标系，设平面BEF的法向量为=（x，y，z），利用即可得出取平面BEC的法向量为=（0，0，1），利用向量夹角公式即可得出【解答】解：（）平面ADE平面DBCE，ADDE，AD平面DBCE，ADBED，E分别为中点，DE=BC=，BD=AB=2在直角三角形DEB中，tanBED=，tanCDE=tanBEDtanCDE=1
33、BED+CDE=90，可得BEDCBE平面ADC，又BE平面FEB平面FBE平面ADC（II）以D为坐标原点DB，DE，DA分别为OX，OY，OZ轴建立空间直角坐标系，各点坐标分别为D（0，0，0），A（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），E（0，0）（2，2，2），=，=（2，2，2），F，设平面BEF的法向量为=（x，y，z），=，=，取=又平面BEC的法向量为=（0，0，1），cos45=，化为326+2=0，解得=1，又01，=1【点评】本题考查了空间位置关系、空间角、法向量的应用、向量夹角公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21（12分）（2010
34、大祥区校级模拟）设函数f（x）=x2mlnx，h（x）=x2x+a（）当a=0时，f（x）h（x）在（1，+）上恒成立，求实数m的取值范围；（）当m=2时，若函数g（x）=f（x）h（x）在1，3上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；函数的零点【专题】压轴题【分析】（I）由a=0，我们可以由f（x）h（x）在（1，+）上恒成立，得到mlnxx，即在（1，+）上恒成立，构造函数，求出函数的最小值，即可得到实数m的取值范围；（） 当m=2时，我们易求出函数g（x）=f（x）h（x）的解析式，由方程的根与对应函数零点的关系，易转化为x2lnx=a，在1，3上恰有两个相
35、异实根，利用导数分析函数的单调性，然后根据零点存在定理，构造关于a的不等式组，解不等式组即可得到答案【解答】解：（I）由a=0，f（x）h（x）可得mlnxx，即记，则f（x）h（x）在（1，+）上恒成立等价于m（x）min（3分）求得（4分）当x（1，e）时；（x）0；当x（e，+）时，（x）0故（x）在x=e处取得极小值，也是最小值，即（x）min=（e）=e，故me（6分）（II）函数k（x）=f（x）h（x）在1，3上恰有两个不同的零点等价于方程x2lnx=a，在1，3上恰有两个相异实根（7分）令g（x）=x2lnx，则（8分）当x1，2）时，g（x）0，当x（2，3时，g（x）0g（
36、x）在1，2上是单调递减函数，在（2，3上是单调递增函数故g（x）min=g（2）=22ln2（10分）又g（1）=1，g（3）=32ln3g（1）g（3），只需g（2）ag（3），（12分）故a的取值范围是（22ln2，32ln3（13分）【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，函数的零点，其中（I）的关键是构造函数，将问题转化为函数恒成立问题，（II）的关键是利用导数分析函数的单调性后，进而构造关于a的不等式组22（12分）（2010黄冈校级模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，bc为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小
37、于（1）求椭圆的离心率e的取值范围；（2）设椭圆的短半轴长为1，圆F2与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k0）的直线l与椭圆相交于A，B两点，若OAOB，求直线l被圆F2截得的弦长的最大值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线和圆的方程的应用；椭圆的简单性质【专题】计算题；压轴题【分析】（1）可设且显得的长，当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，进而求得|PF2|的最小值，进而判断出，求得e的范围（2）依题意求得Q点坐标，设出直线方程，与椭圆方程联立消去y，设A（x1，y1），B（x2，y2），进而表示出x1+x2和x1x2，代入直线方程求得y1y2的表达式和x1x2+y1y2
38、，进而根据OAOB，判断出=0求得k和a的关系，表示出圆心到直线度的距离，根据（1）中e的范围确定c的范围，进而确定S的范围，则其最大值可求【解答】解：（1）依题意设切线长，当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，而|PF2|min=ac，从而解得，故离心率e的取值范围是；（2）依题意Q点的坐标为（1，0），则直线的方程为y=k（x1），联立方程组，得（a2k2+1）x22a2k2x+a2k2a2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则有，代入直线方程得y1y2=k2x1x2（x1+x2）+1=，又OAOB，x1x2+y1y2=0，k2=a2，k=a，直线的方程为axya=0，圆心F2（c，0）到直线l的距离，由图象可知，所以【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的综合问题，考查了学生数形结合的思想，转化和化归思想的运用
