1、2016年重庆市第一中学高三下学期模拟考试数学（理）试卷一、单选题（共12小题）1已知集合，集合（为自然对数的底数），则（ ）ABCD考点：集合的运算答案：A试题解析：，故答案为：A2若复数是纯虚数，则的值为（ ）ABCD考点：同角三角函数的基本关系式复数概念和向量表示答案：C试题解析：故答案为：C3设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点：点线面的位置关系充分条件与必要条件答案：A试题解析：平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且，是大前提，故答案为：A4若为偶函数，且当时，则
2、不等式的解集为（ ）ABCD考点：函数的奇偶性答案：A试题解析：因为为偶函数，图像关于y轴对称，关于x=1对称，所以的解集也关于x=1对称，只有A符合。故答案为：A5九章算术商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺，容纳米2000斛（1丈=10尺，斛为容积单位，1斛1.62立方尺，），则圆柱底面周长约为（ ）A1丈3尺B5丈4尺C9丈2尺D48丈6尺考点：空间几何体的表面积与体积答案：B试题解析：故答案为：B6设点是边长为1的正的中心（如图所示），则（ ）ABCD考点：数量积的应用答案：C试题解析：,故答案为：C7现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机
3、抽取一张，直到3张中奖票被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为（ ）ABCD考点：古典概型答案：C试题解析：故答案为：C8设实数满足约束条件，已知的最大值是7，最小值是-26，则实数的值为（ ）A6B-6C-1D1考点：线性规划答案：D试题解析：可行域为取得最大值，。故答案为：D9把周长为1的圆的圆心放在轴，顶点，一动点从开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长，直线与轴交于点，则函数的大致图像为（ ）ABCD考点：函数图象答案：D试题解析：由题意知t的值先负后正，应为增函数，且开始和两头增长的比较快，故选D故答案为：D10一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（ ）ABCD
4、考点：空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图答案：A试题解析：该几何体如图，故答案为：A11已知是双曲线的右焦点，是双曲线的中心，直线是双曲线的一条渐近线，以线段为边作正三角形，若点在双曲线上，则的值为（ ）ABCD考点：双曲线答案：A试题解析：由题意知 故答案为：A12设函数有两个极值点，若点为坐标原点，点在圆上运动时，则函数图象的切线斜率的最大值为（ ）ABCD考点：圆的标准方程与一般方程导数的综合运用答案：D试题解析：故答案为：D二、填空题（共4小题）13.已知函数是奇函数，则_考点：函数的奇偶性答案：1试题解析：因为函数是奇函数，所以过原点，即故答案为：114.在二项式的展
5、开式中，前3项的二项式系数之和等于79，则展开式中的系数为_考点：二项式定理与性质答案：试题解析：故答案为：15.已知直线和直线分别与圆相交于和，则四边形的内切圆的面积为_考点：直线与圆的位置关系两条直线的位置关系答案：试题解析：直线和直线互相垂直且均过圆心，外接圆的半径为4，内切圆的半径为故答案为：16.在平面四边形中，则的最大值为_考点：余弦定理正弦定理答案：8试题解析：由题意知D在以AC为直径的圆上，设AC中点E，余弦定理得BE=5，当B、E、D共线时，BD最长为3+5=8.故答案为：8三、解答题（共8小题）17.已知数列中，其前项和为，且当时，（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项
6、公式;（2）令，记数列的前项和为，求考点：数列综合应用答案：见解析试题解析：（1）当时，又由，可推知对一切正整数均有，则数列是等比数列，当时，（2）当时，有则当时，则，综上：18.某班级举办知识竞赛活动，现将初赛答卷成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表：（1）填充频率分布表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）;（2）决赛规则如下：为每位参加决赛的选手准备4道判断题，选手对其依次口答，答对两道就终止答题，并获得一等奖，若题目答完仍然只答对1道，则获得二等奖某同学进入决赛，每道题答对的概率的值恰好与频率分布表中不少于80分的频率的值相同（1）求该同学恰好答满4
7、道题而获得一等奖的概率;（2）设该同学答题个数为，求的分布列及的数学期望考点：概率综合答案：见解析试题解析：（1）（2）由（1）得（1）（2）该同学答题个数为2，3，4，即，分布列为2340.160.1920.64819.某工厂欲加工一件艺术品，需要用到三棱锥形状的坯材，工人将如图所示的长方体材料切割成三棱锥（1）若点分别是棱的中点，点是上的任意一点，求证：;（2）已知原长方体材料中，根据艺术品加工需要，工程师必须求出该三棱锥的高;甲工程师先求出所在直线与平面所成的角，再根据公式求出三棱锥的高，请你根据甲工程师的思路，求该三棱锥的高;乙工程师设计了一个求三棱锥的高度的程序，其框图如右图所示，则
8、运行该程序时乙工程师应输入的的值是多少？（请直接写出的值，不要求写出演算或推证的过程）考点：立体几何综合答案：见解析试题解析：（1）证法一：，平面平面，平面，同理可证，平面，且，平面平面，又面，面4分证法二：连并延长交于，连接，则，又，平面，顼，面4分（2）如图，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则有设平面的一个法向量，则有，解得，令，则，三棱锥的高为20.已知三点，曲线上任意一点满足：（1）求曲线的方程;（2）动点在曲线上，曲线在点处的切线为，问：是否存在定点，使得与都相交，交点分别为，且与的面积之比为常数？若存在，求及常数的值;若不存在，说明理由考点：抛物线答案：见解析试题解析
9、：解：（1）依题意可得，由已知得，化简得曲线的方程：（2）假设存在点满足条件，则直线的方程是，直线的方程是，曲线在点处的切线的方程为，它与轴的交点为，由于，因此，当时，存在，使得，即与直线平行，故当时不符合题意当时，所以与直线一定相交，分别联立方程组，解得横坐标分别是，则，又，有，又于是对任意，要使与的面积之比是常数，只需满足，解得，此时与的面积之比为2，故存在，使与的面积之比是常数221.已知函数（其中），且函数的图象在点处的切线与函数的图象在点处的切线重合（1）求实数的值;（2）记函数，是否存在最小的正常数，使得当时，对于任意正实数，不等式恒成立？给出你的结论，并说明结论的合理性考点：导数
10、的综合运用答案：见解析试题解析：解：（1），则在点处切线的斜率，切点，则在点处切线方程为，又，则在点处切线的斜率，切点，则在点处切线方程为，由，解得（2），构造函数，则问题就是求恒成立，令，则，显然是减函数，又，所以在上是增函数，在上是减函数，而，所以函数在区间和上各有一个零点，令为和，并且有在区间和上，即;在区间上，即，从而可知函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增，当时，;当时，还有是函数的极大值，也是最大值，题目要找的，理由：当时，对于任意非零正数，而在上单调递减，所以一定恒成立，即题目要求的不等式恒成立;当时，取，显然，题目要求的不等式不恒成立，说明不能比小;综合可知，题目所要求的最
11、小的正常数就是，即存在最小正常数，当时，对于任意正实数，不等式恒成立22.选修4-1：几何证明选讲如图，已知，圆是的外接圆，是圆的直径过点作圆的切线交的延长线于点（1）求证：;（2）若，求的面积.考点：几何选讲答案：见解析试题解析：（1）连接，是直径，又，故，又，（2）是的切线，在和中，设，则根据切割线定理有，23.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且曲线的左焦点在直线上（1）若直线与曲线交于两点，求的值;（2）设曲线的内接矩形的周长为，求的最大值考点：参数方程答案：见解析试题解析：解：（1）直线的参数方程是（为参数）代入椭圆 方程得，所以（2）设椭圆的内接矩形的顶点为，所以椭圆的内接矩形的周长为当时，即时椭圆的内接矩形的周长取得最大值1624.选修4-5：不等式选讲已知函数（1）当时，求不等式的解集;（2）若的解集包含，求的范围考点：绝对值不等式答案：见解析试题解析：解：（1）解集为（2）的解集包含即不等式在内恒成立，即在内恒成立，即在内恒成立，得，则
