1、绝密启用前2020-2021学年度（上）高三第二次模拟考试数学试卷（满分150分时间120分钟）一、单项选择题：每小题5分，共40分.1已知集合，则（ ）A B C D2已知向量，若，则实数的值为（ ）AB3CD或23已知，则下列不等式不成立的是ABCD4俗语云：天王盖地虎，宝塔镇河妖.萍乡塔多，皆因旧时萍城多水患，民不聊生.迷信使然，建塔以辟邪镇邪.坐落在萍城小西门汪公潭境内的宝塔岭上就有这么一座“如愿塔”.此塔始建于唐代，后该塔曾因久失修倒塌，在清道光年间重建.某兴趣小组为了测量塔的高度，如图所示，在地面上一点处测得塔顶的仰角为，在塔底处测得处的俯角为.已知山岭高为米，则塔高为（ ）A 米
2、B米C米D米5已知三个函数y=x3，y=3x，则( )A定义域都为R B值域都为R C在其定义域上都是增函数D都是奇函数6在直角梯形中，则（ ）ABCD7已知函数为偶函数，且时，则关于的不等式的解集为（ ）A B C或D8已知函数，其中为函数的导数，则（ ）A2B2019C2018D0二、多选题:每小题5分，共20分.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9已知复数满足为虚数单位，复数的共轭复数为，则（ ）ABC复数的实部为D复数对应复平面上的点在第二象限10已知定义在上的奇函数图象连续不断，且满足，则以下结论成立的是（ ）A函数的周期 BC点是函数图象的一个对称中心 D在上有4个零
3、点11已知函数，下列说法正确的是（ ）A的最小正周期为B的最大值为C在区间上为减函数D为的一个零点12下列选项中说法正确的是（ ）A函数的单调减区间为B幂函数过点，则C函数的定义域为，则函数的定义域为D若函数的值域为，则实数的取值范围是三、填空题:每小题5分，共20分.13若命题“xR，使得x2+(a -1)x+10”是真命题，则实数a的取值范围是_.14已知，则的值为_.15已知数列满足，（），则数列的通项公式为_ .16已知为等腰直角三角形，OC为斜边的高（1）若P为线段OC的中点，则_（2）若P为线段OC上的动点，则的取值范围为_四、解答题:共6小题，共70分.17已知为等差数列的前项和
4、，且满足，（1）求的通项公式；（2）求的最大值18请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.；的面积为.已知的内角，的对边分别为，且_.（1）求；（2）若为中点，且，求，.19已知函数当时，求的单调增区间；若在上是增函数，求得取值范围20已知数列的各项均为正数，其前项和为，满足.（1）证明：数列为等差数列；（2）求满足的最小正整数.21“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说除了我”麦田里的守望者中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田
5、，他将连接，设中边所对的角为，中边所对的角为，经测量已知，.（1）霍尔顿发现无论多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；（2）霍尔顿发现麦田的生长于土地面积的平方呈正相关，记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值.22设函数.（1）当（为自然对数的底数）时，求的最小值；（2）讨论函数零点的个数；（3）若对任意恒成立，求的取值范围.一、单选题:每小题5分，共40分.1已知集合，则（ ）A B C D【答案】D【详解】由得或所以，故选：D.2已知向量，若，则实数的值为（ ）AB3CD或2【答案】A【详解】因为向量，所以，又因为，所以，所以.故选：A3已知，
6、则下列不等式不成立的是ABCD【答案】B【详解】依题意，由于为定义域上的减函数，故，故A选项不等式成立.由于为定义域上的增函数，故，则，所以B选项不等式不成立，D选项不等式成立.由于，故，所以C选项不等式成立.综上所述，本小题选B.4俗语云：天王盖地虎，宝塔镇河妖.萍乡塔多，皆因旧时萍城多水患，民不聊生.迷信使然，建塔以辟邪镇邪.坐落在萍城小西门汪公潭境内的宝塔岭上就有这么一座“如愿塔”.此塔始建于唐代，后该塔曾因久失修倒塌，在清道光年间重建.某兴趣小组为了测量塔的高度，如图所示，在地面上一点处测得塔顶的仰角为，在塔底处测得处的俯角为.已知山岭高为米，则塔高为（ ）A 米B米C米D米【答案】B
7、【详解】由题意可知：因为在塔底处测得处的俯角为，则,在中，有；同理可得：，,米，米.故选：B.5已知三个函数y=x3，y=3x，则( )A定义域都为R B值域都为R C在其定义域上都是增函数D都是奇函数【答案】C【详解】函数的定义域为（0，+），即A错误；函数y=3x的值域是（0，+），即B错误；函数y=3x和是非奇非偶函数，即D错误，三个函数在定义域内都是增函数，只有C正确故选：C.6在直角梯形中，则（ ）ABCD【答案】C【详解】由题意可求得，所以，又，则.故选：C.7已知函数为偶函数，且时，则关于的不等式的解集为（ ）A B C或D【答案】C【详解】根据题意，当时，其导数，则函数在，上为
8、增函数，又由函数为偶函数，则，解可得：或，即不等式的解集为或；故选：C8已知函数，其中为函数的导数，则（ ）A2B2019C2018D0【答案】A【详解】令，则有因为的定义域是R， 所以是奇函数，所以是偶函数所以，所以故选：A二、多选题:每小题5分，共20分.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9已知复数满足为虚数单位，复数的共轭复数为，则（ ）ABC复数的实部为D复数对应复平面上的点在第二象限【答案】BD【详解】因为复数满足，所以所以，故A错误； ，故B正确；复数的实部为 ，故C错误；复数对应复平面上的点在第二象限，故D正确.故选：BD10已知定义在上的奇函数图象连续不断，且满足
9、，则以下结论成立的是（ ）A函数的周期 BC点是函数图象的一个对称中心 D在上有4个零点【答案】ABC【详解】定义在上的奇函数图象连续不断，且满足，所以函数的周期为2，所以正确；，即（1）（1），所以（1），所以（1），所以正确；图象关于对称，所以正确；在，上有（1）（2），有5个零点，所以不正确；故选：11已知函数，下列说法正确的是（ ）A的最小正周期为B的最大值为C在区间上为减函数D为的一个零点【答案】ACD对选项A，的最小正周期为，故A正确；对选项B，当时，的最大值为，故B错误；对选项C，因为，所以在区间上为减函数，故C正确；对选项D，所以为的一个零点，故D正确.故选：ACD12下列选项
10、中说法正确的是（ ）A函数的单调减区间为B幂函数过点，则C函数的定义域为，则函数的定义域为D若函数的值域为，则实数的取值范围是【答案】BD【详解】对于A选项：由得或，所以中函数的定义域为，又函数在上单调递减，函数在上单调递增，所以函数的单调减区间为，故A不正确；对于B选项：因为幂函数过点，所以，且，解得，所以，故B正确；对于 C选项：因为函数的定义域为，所以，解得，所以函数的定义域为，故C不正确；对于 D选项：因为函数的值域为，所以当时，满足其值域为，当时，需且，解得，所以实数的取值范围是，故D正确.三、填空题:每小题5分，共20分.13若命题“xR，使得x2+(a -1)x+10”是真命题，
11、则实数a的取值范围是_.【答案】【详解】令知：开口向上xR使得x2+(a -1)x+10，即使即，解得或故答案为：14已知，则的值为_.【答案】【详解】因为，所以，解得，所以，故答案为：15已知数列满足，（），则数列的通项公式为_ .【答案】.【详解】，上述等式累加可得，又，满足上式，所以.16已知为等腰直角三角形，OC为斜边的高（1）若P为线段OC的中点，则_（2）若P为线段OC上的动点，则的取值范围为_【答案】 【详解】为等腰直角三角形，为斜边的高,则为边的中线，所以,.(1) 当为线段OC的中点时，在中,为边上的中线,则 所以(2)当P为线段OC上的动点时，设 ,. 所以的取值范围为四、
12、解答题:共6小题，共70分.17已知为等差数列的前项和，且满足，（1）求的通项公式；（2）求的最大值【详解】（1）数列为等差数列，设公差为，由，可得，解得（2）由二次函数的知识可得当时，最大，最大值为18请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.；的面积为.已知的内角，的对边分别为，且_.（1）求；（2）若为中点，且，求，.【详解】（1）方案一：选条件，由正弦定理可得，即，由余弦定理可得：.方案二：选条件（1），根据正弦定理可得，.，.方案三：选条件（1）由题意知，由正弦定理可得，由余弦定理可得，.（2）由题意知，在中，即.在中，即，.由（1）知，由，解得.19已知函数当时，求的
13、单调增区间；若在上是增函数，求得取值范围【详解】（1）当时，所以，由得，或，故所求的单调递增区间为.（2）由，在上是增函数，所以在上恒成立，即恒成立，（当且仅当时取等号），所以，即.20已知数列的各项均为正数，其前项和为，满足.（1）证明：数列为等差数列；（2）求满足的最小正整数.【详解】（1）当时，当时，由得，化简得.所以数列是以4为首项，4为公差的等差数列.（2）由（1）知，所以.所以，当时，.令，即，两边平方整理得，所以，因为，所以的最小值为5.【点睛】本题考查与的关系，等差数列的证明，通项公式的求法，数列不等式等问题，考查运算能力，是中档题.21“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一
14、群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说除了我”麦田里的守望者中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将连接，设中边所对的角为，中边所对的角为，经测量已知，.（1）霍尔顿发现无论多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；（2）霍尔顿发现麦田的生长于土地面积的平方呈正相关，记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值.【详解】（1）在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，则，；（2），则，由（1）知：，代入上式得：，配方得：，当时，取到最大值.22设函
15、数.（1）当（为自然对数的底数）时，求的最小值；（2）讨论函数零点的个数；（3）若对任意恒成立，求的取值范围.【解析】（1）由题设，当时，易得函数的定义域为当时，此时在上单调递减；当时，此时在上单调递增；当时，取得极小值的极小值为2（2）函数令，得设当时，此时在上单调递增；当时，此时在上单调递减；所以是的唯一极值点，且是极大值点，因此x=1也是的最大值点，的最大值为又，结合y=的图像（如图），可知当时，函数无零点；当时，函数有且仅有一个零点；当时，函数有两个零点；时，函数有且只有一个零点；综上所述，当时，函数无零点；当或时，函数有且仅有一个零点；当时，函数有两个零点.（3）对任意恒成立，等价于恒成立设，在上单调递减在恒成立恒成立（对，仅在时成立），的取值范围是
