1、学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司2022 年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）数 学（理科）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
2、题目要求的。1设全集1,2,3,4,5U，集合 M 满足1,3UM，则（）A2MB3MC4MD5M2已知12iz ，且0zazb，其中 a，b 为实数，则（）A1,2ab B1,2ab C1,2abD1,2ab 3已知向量,a b 满足|1,|3,|2|3abab，则 a b（）A 2B 1C1D24嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 nb：1111b，212111b，31231111b，依此类推，其中(1,2,)kkN 则（）A15bbB38bbC62bbD47bb5设 F 为抛物线2:4
3、C yx的焦点，点 A 在 C 上，点(3,0)B，若|AFBF，则|AB（）A2B2 2C3D3 26执行下边的程序框图，输出的n （）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司A3B4C5D67在正方体1111ABCDA B C D中，E，F 分别为,AB BC 的中点，则（）A平面1B EF 平面1BDDB平面1B EF 平面1A BDC平面1B EF平面1A ACD平面1B EF平面11AC D8已知等比数列 na的前 3 项和为 168，2542aa，则6a （）A14B
4、12C6D39已知球 O 的半径为 1，四棱锥的顶点为 O，底面的四个顶点均在球 O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A 13B 12C33D2210某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为123,p pp，且3210ppp记该棋手连胜两盘的概率为p，则（）Ap 与该棋手和甲、乙、丙的此赛次序无关B该棋手在第二盘与甲比赛，p 最大C该棋手在第二盘与乙比赛，p 最大D该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大11双曲线 C 的两个焦点为12,F F，以 C 的实轴为直径的圆记为 D，过1F 作 D 的切线与 C交于 M，N 两点，且
5、123cos5F NF，则 C 的离心率为（）A52B 32C132D17212已知函数(),()f xg x 的定义域均为 R，且()(2)5,()(4)7f xgxg xf x若()yg x的图像关于直线2x 对称，(2)4g，则221()kf k（）A 21B 22C 23D 24学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13从甲、乙等 5 名同学中随机选 3 名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为_14过四点(0
6、,0),(4,0),(1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为_15记函数()cos()(0,0)f xx 的最小正周期为 T，若3()2f T，9x为()f x 的零点，则 的最小值为_16己知1xx和2xx分别是函数2()2exf xax（0a 且1a）的极小值点和极大值点若12xx，则 a 的取值范围是_三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分17（12 分）记ABC的内角,A B C 的对边分别为,a b c，已知sinsin()sinsin()
7、CABBCA（1）证明：2222abc；（2）若255,cos31aA，求ABC的周长18（2 分）如图，四面体 ABCD 中，,ADCD ADCDADBBDC，E 为 AC 的中点（1）证明：平面 BED 平面 ACD；（2）设2,60ABBDACB，点 F 在 BD 上，当AFC的面积最小时，求CF 与平面 ABD 所成的角的正弦值19（12 分）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了 10 棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：2m）和材积量（单位：3m），得到如下数据：学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（
8、北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司样本号 i12345678910总和根部横截面积ix0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量iy0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得10101022iiiii=1i=1i=10.038,1.6158,0.2474xyx y（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到 0.01）；（3）现测量了该林区所有这
9、种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为2186m 已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值附：相关系数i=122=1=1()(),1.8961 7()7().3niinniiiixxyyrxxyy20（12 分）已知椭圆 E 的中心为坐标原点，对称轴为 x 轴、y 轴，且过30,2,12AB 两点（1）求 E 的方程；（2）设过点 1,2P的直线交 E 于 M，N 两点，过 M 且平行于 x 轴的直线与线段 AB 交于点 T，点 H 满足 MTTH证明：直线 HN 过定点21（12 分）已知函数 ln 1e xf xxax
10、.（1）当1a 时，求曲线 yf x在点 0,0f处的切线方程；（2）若 f x 在区间 1,0,0,各恰有一个零点，求 a 的取值范围（二）选考题，共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为3 cos 2,2sinxtyt（t 为参数）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 l 的极坐标方程为sin03m（1）写出 l 的直角坐标方程；学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学
11、科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司（2）若 l 与 C 有公共点，求 m 的取值范围23选修 4-5：不等式选讲（10 分）已知 a，b，c 都是正数，且3332221abc，证明：（1）19abc；（2）12abcbcacababc2022 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）参考答案注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共
12、 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.A2.A3.C.4.D5.B6.B7.A8.D9.C10.D11.A 或 C12.D二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13.31014.222313xy或22215xy或224765339xy或2281691525xy；15.316.1,1e三、解答题：共 0 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司题为必考题
13、，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分17.（1）证明：因为sinsinsinsinCABBCA，所以sinsincossinsincossinsincossinsincosCABCBABCABAC，所以2222222222222acbbcaabcacbcabacbcab，即22222222222acbabcbca，所以2222abc；（2）解：因为255,cos31aA，由（1）得2250bc，由余弦定理可得2222cosabcbcA，则50502531bc，所以312bc，故2222503181bcbcbc，所以9bc，所以 ABC
14、的周长为14abc.18.（1）因为 ADCD，E 为 AC 的中点，所以 ACDE；在ABD和 CBD 中，因为,BACDCDADBDB DBD，所以ABDCBD，所以 ABCB，又因为 E 为 AC 的中点，所以 ACBE；又因为,DE BE 平面 BED，DEBEE，所以 AC 平面 BED，因为 AC 平面 ACD，所以平面 BED 平面 ACD.（2）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司连接 EF，由（1）知，AC 平面 BED，因为 EF 平面 BED，所以 AC
15、EF，所以1=2AFCSAC EF，当 EFBD时，EF 最小，即AFC的面积最小.因为ABDCBD，所以2CBAB，又因为60ACB，所以 ABC 是等边三角形，因为 E 为 AC 的中点，所以1AEEC，3BE，因为 ADCD，所以112DEAC,在 DEB 中，222DEBEBD，所以 BEDE.以 E 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 Exyz，则 1,0,0,0,3,0,0,0,1ABD，所以1,0,1,1,3,0ADAB ，设平面 ABD 的一个法向量为,nx y z，则030n ADxzn ABxy ，取3y，则3,3,3n，又因为3 31,0,0,0,44CF，所以3 3
16、1,44CF，所以64 3cos,77214n CFn CFn CF ，设CF 与平面 ABD 所成的角的正弦值为02，所以4 3sincos,7n CF ，所以CF 与平面 ABD 所成的角的正弦值为 4 37.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司19.（1）样本中 10 棵这种树木的根部横截面积的平均值0.60.0610 x 样本中 10 棵这种树木的材积量的平均值3.90.3910y 据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为20.06m，平均一棵的材积量为30.
17、39m（2）1010iiiii=1i=110101010222222iiiii=1i=1i=1i=1101010 xxyyx yxyrxxyyxxyy22(0.038 10 0.06)(1.6158 10.2474 10 0.06 0.390.01340.01340.970.013770.0000 018996.3)则0.97r（3）设该林区这种树木的总材积量的估计值为3mY，又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可得 0.06186=0.39Y，解之得3=1209mY则该林区这种树木的总材积量估计为31209m20.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股
18、份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司（1）解：设椭圆 E 的方程为221mxny，过30,2,12AB，则41914nmn，解得13m，14n，所以椭圆 E 的方程为：22143yx.（2）3(0,2),(,1)2AB，所以2:23AB yx，若过点(1,2)P的直线斜率不存在，直线1x.代入22134xy，可得2 6(1,)3M，2 6(1,)3N，代入 AB 方程223yx，可得2 6(63,)3T，由 MTTH 得到2 6(2 65,)3H.求得 HN 方程：2 6(2)23yx，过点(0,2).若过点(1,2)P的直线斜率存在，设11
19、22(2)0,(,),(,)kxykM x yN xy.联立22(2)0,134kxykxy得22(34)6(2)3(4)0kxkk xk k，可得1221226(2)343(4)34kkxxkkkx xk，12222228(2)344(442)34kyykkky yk，且1221224(*)34kx yx yk联立1,223yyyx可得111113(3,),(36,).2yTyHyx y 可求得此时1222112:()36yyHNyyxxyxx，将(0,2)，代入整理得12121221122()6()3120 xxyyx yx yy y，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学
20、科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司将(*)代入，得222241296482448482436480,kkkkkkk显然成立，综上，可得直线 HN 过定点(0,2).21.（1）()f x 的定义域为(1,)当1a 时,()ln(1),(0)0exxf xxf,所以切点为(0,0)11(),(0)21exxfxfx,所以切线斜率为 2所以曲线()yf x在点(0,(0)f处的切线方程为2yx（2）()ln(1)exaxf xx2e11(1)()1e(1)exxxaxaxfxxx设2()e1xg xax1若0a,当2(1,0),(
21、)e10 xxg xax,即()0fx所以()f x 在(1,0)上单调递增,()(0)0f xf故()f x 在(1,0)上没有零点,不合题意2 若 10a ,当,()0 x,则()e20 xg xax所以()g x 在(0,)上单调递增所以()(0)10g xga ,即()0fx所以()f x 在(0,)上单调递增,()(0)0f xf故()f x 在(0,)上没有零点,不合题意3 若1a (1)当,()0 x,则()e20 xg xax,所以()g x 在(0,)上单调递增(0)10,(1)e0gag 所以存在(0,1)m,使得()0g m,即()0fm当(0,),()0,()xmfxf
22、 x单调递减学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司当(,),()0,()xmfxf x单调递增所以当(0,),()(0)0 xmf xf当,()xf x 所以()f x 在(,)m 上有唯一零点又(0,)m 没有零点,即()f x 在(0,)上有唯一零点(2)当2(1,0),()e1xxg xax 设()()e2xh xg xax()e20 xh xa所以()g x在(1,0)单调递增1(1)20,(0)10egag 所以存在(1,0)n,使得()0g n当(1,),()0,(
23、)xn g xg x 单调递减当(,0),()0,()xng xg x单调递增,()(0)10g xga 又1(1)0eg 所以存在(1,)tn,使得()0g t,即()0f t当(1,),()xtf x 单调递增,当(,0),()xtf x单调递减有1,()xf x 而(0)0f,所以当(,0),()0 xtf x所以()f x 在(1,)t上有唯一零点,(,0)t上无零点即()f x 在(1,0)上有唯一零点所以1a ,符合题意所以若()f x 在区间(1,0),(0,)各恰有一个零点,求 a 的取值范围为(,1)学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公
24、司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司（二）选考题，共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程22.（1）因为l：sin03m，所以 13sincos022m，又因为sin,cosyx，所以化简为 13022yxm，整理得 l 的直角坐标方程：320 xym（2）联立 l 与 C 的方程，即将3 cos2xt，2sinyt代入320 xym中，可得3cos22sin20ttm，所以23(1 2sin)2sin20ttm，化简为26sin2sin320 ttm，要使 l 与 C 有公共
25、点，则226sin2sin3mtt有解，令sin ta，则1,1a ，令2()623f aaa，(11)a ，对称轴为16a，开口向上，所以(1)623()5maxffa，min11219()36666 ffa，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司所以19256mm 的取值范围为195122m.选修 4-5：不等式选讲23.（1）证明：因为0a，0b，0c，则320a，320b，320c，所以33333322232223abcabc，即1213abc，所以19abc，当且仅当333222abc，即3 19abc时取等号（2）证明：因为0a，0b，0c，所以2bcbc，2acac，2abab，所以3222aaabcbcabc，3222bbbacacabc，3222cccabababc333333222222122222abcabcabcbcacababcabcabcabcabc当且仅当 abc时取等号
