1、2020-2021学年 第一学期高三第二次月考文科数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1. 集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出集合B，再根据并集定义即可求出.【详解】，.故选：D.2. 复数，则的共轭复数（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由复数的四则运算求出，即可写出其共轭复数.【详解】，故选：D3. 已知向量，.若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据向量垂直的条件，利用数量积坐标直接计算即可.【详解】,故选：A4. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式直接计算得
2、到答案.【详解】.故选：.【点睛】本题考查了二倍角公式，意在考查学生的计算能力.5. 某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系为自然对数的底数，为常数.若该食品在的保鲜时间是，在的保鲜时间是，则该食品在的保鲜时间是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将，；，代入函数关系可得，则可求出时的函数值.【详解】由题可知当时，；当时，解得，则当时，.故选：C.6. 函数图象的对称轴方程可以为A. B. C. D. 【答案】A【解析】由2x+=k+(kZ),得x=(kZ).当k=0时,x=.故选A.点睛：研究三角函数的性质，最小正周期为，最大值为.求对称轴只需令，
3、求解即可，同理对称中心，单调性均为利用整体换元思想求解.7. 已知椭圆C：1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由焦点坐标确定长半轴长是，利用关系求得，再计算离心率【详解】椭圆C：1的一个焦点为(2，0)，可得a244，解得a2，c2，e故选：C【点睛】本题考查求椭圆的离心率，掌握的关系是解题基础8. 设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】借助中间量，比较大小即可得答案.【详解】解：因，所以，即，因为函数在上单调递增，所以，因为，所以，即，因为函数在上单调递增，所以，所以.故选：D.【点睛】本题考查指对数幂的大小
4、比较问题，解题的关键是由和得到和进而找得中间量进行的大小比较.9. 田忌与齐五赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，则齐王的马获胜的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】将田忌的上中下三个等次马分别记为A，B，C，齐王的上中下三个等次马分别记为a，b，c，从双方各选一匹比赛的所有可能有Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，共9种，齐王马获胜有Aa，Ab，Ac，Bb，Bc，Cc，故齐王马获胜的概率为，故选A10. 函数y的图象是
5、()A. B. C. D. 【答案】B【解析】方法一：代入选项验证即可x=2,y=0,所以舍去A,C,D.方法二：y1，利用函数图象的变换可知选B11. 如图所示，网格纸上每个小正方形的边长为，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据三视图可还原为如图所示的三棱锥，求出各棱长，即可得出表面积.【详解】根据三视图可还原为三棱锥，如图，取中点，连接，由三视图可得，平面，且，该四面体的表面积为.故选：C.【点睛】关键点睛：本题考查由几何体的三视图求几何体的表面积，解题的关键是正确的还原几何体，正确的得出各棱长，注意线条位置关系.1
6、2. 已知函数f（x）满足f（x）f（3x），当x1，3），f（x）lnx，若在区间1，9）内，函数g（x）f（x）ax有三个不同零点，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意得到画出函数图像，计算直线与函数相切和过点时的斜率，根据图像得到答案.【详解】函数f（x）满足f（x）f（3x），当x1，3），f（x）lnx故， 画出函数图像，如图所示：当直线与相切时：，设切点为则 此时 当直线经过点时： 综上所述：故选：【点睛】本题考查了函数零点问题，画出函数图像是解题的关键.二、填空题（每小题5分，共20分）13. 若x，y满足约束条件则z2xy的最大值
7、为_【答案】8【解析】画出可行域(如图所示)，通过平移直线y2x分析最优解z2xy，y2xz，将直线y2x向上平移，经过点B时z取得最大值由解得x=3,y=2zmax2328.14. 在中，角的对边分别为，且.则_【答案】【解析】【分析】利用正弦定理将边化角，即可容易求得结果.【详解】由正弦定理可知， 化简得，又由，得出，故答案为：.15. 直线过双曲线的一个焦点，且与该双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线的方程为_【答案】【解析】分析】根据双曲线方程判断焦点的位置，结合题意即可求，再由直线与渐近线垂直有，进而可求，写出双曲线方程即可.【详解】由题意知：双曲线焦点在x轴上，所以其中一个焦点为(5
8、,0)，即.又双曲线渐近线方程为，而直线与一条渐近线垂直，可得，双曲线的方程为，故答案为：【点睛】关键点点睛：根据双曲线方程即可判断焦点位置，根据直线过焦点即可求参数，结合直线与渐近线的垂直关系可知参数的数量关系，进而可得双曲线方程.16. 三棱锥中，平面，则该三棱锥的外接球的体积为_【答案】【解析】【分析】由题可知三棱锥的外接球等价于长宽高分别为的长方体的外接球，由此可求出球半径，继而求出体积.【详解】，满足，又平面，三棱锥的外接球等价于长宽高分别为的长方体的外接球，设外接球的半径为，则，即，则外接球的体积为.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题考查三棱锥外接球问题，解题的关键是根据三棱锥中的
9、垂直关系将其还原为长方体，通过求长方体的外接球进行求解.三、解答题（第17-21题均为12分，第22、23题为10分，共70分）17. 等差数列中，其前项和为.（1）求及；（2）令，求数列的前项和.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意求出首项和公差，即可求出及；（2）利用裂项相消法求解.【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意得，解得，.所以，.（2）因为，所以.所以.所以.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于结构，利用分组求和法；（4）对于结构，其中是等
10、差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.18. 年播放的电影我不是药神引起了很大的轰动，治疗特种病的创新药研发成了当务之急.为此，某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品的研发费用（百万元）和销量（万盒）的统计数据如下：研发费用（百万元）销量（万盒）（1）根据最小二乘法求出与的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，预测销售万盒特效药品需要多少研发费用？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式为：，.【答案】（1）；（2）（百万元）.【解析】【分析】（1）根据最小二乘法的公式依次算出相关值，然后进行计算求解即可（2）由（1）中的回归方程得：，然后求解该方程即可【详解】（1）
11、依题意得：，所以，.所以，.所以所求回归方程为：.（2）由（1）中的回归方程得：，解得（百万元）.故销售万盒特效药品需要（百万元）的研发费用.【点睛】关键点睛：利用最小二乘法的公式进行求解是本题的解题关键，属于基础题19. 如图，矩形ABCD所在平面，分别是的中点，且.（1）求证：；（2）求与平面所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接，先证明为等腰三角形，即可证明；（2）设的中点为，连接，连接，可得即为与平面所成角，求出即可.【详解】（1）如图，连接，平面ABCD，则为直角三角形，又为的中点，所以.又可得，平面，则为直角三角形，又为的中点，所以，所以，所以
12、为等腰三角形，又为的中点，所以，所以.（2）设的中点为，连接，由题意得平面，连接，所以即为与平面所成角.设，则.在中，在中，所以【点睛】关键点睛：第一问证明直线与直线垂直，关键是证明出为等腰三角形；第二问求线面角的余弦值，关键是判断出平面，得出即为与平面所成角.20. 已知函数且.（1）求的值；（2）求函数的单调区间【答案】(1)；(2)的单调增区间为，单调减区间为.【解析】【分析】（1）先求出函数的导数，得到，即可解答；（2）现求出函数的导数，解关于导函数的方程，从而得到函数的单调区间【详解】（1），解得：；（2）由（1）得：，令，解得：或，令，解得：，函数的单调增区间为，单调减区间为.【点
13、睛】本题主要考查利用导数求函数的单调性，考查计算求解能力，属于基础题.21. 设抛物线，为的焦点，过的直线与交于两点.（1）设的斜率为，求的值；（2）求证：为定值.【答案】（1）5；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出直线方程为，联立直线与抛物线，由即可求解；（2）设直线方程为，由韦达定理表示出，即可得出定值.【详解】（1）依题意得，所以直线的方程为.设直线与抛物线的交点为，由得，所以，.所以.（2）证明：设直线的方程为，直线与抛物线的交点为，由得，所以，.因为.所以为定值.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为，；（2）联立直线与曲线方程
14、，得到关于（或）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为形式；（5）代入韦达定理求解.22. 在直角坐标系 中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）求直线被曲线截得的弦长.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用消参法即可得直线的普通方程，根据极坐标与直角坐标的关系即可得曲线C的方程；（2）由（1）知曲线C为圆，根据圆的性质，结合点线距离公式，即可求弦长.【详解】（1）由直线的参数方程( t为参数可得其普通方程为：；由曲线的极坐标方程得，所以曲线
15、的直角坐标方程为：.（2）由（1）得曲线：，圆心到直线的距离为：，所以直线被曲线截得的弦长为：.23. 已知.（1）当时，求证：；（2）求的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）18.【解析】【分析】（1）利用基本不等式即可证明；（2）两次利用基本不等式即可求出.【详解】（1）因为所以，当且仅当等号成立，.（2）因为，所以，当且仅当，即时等号成立.所以原式的最小值为.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
