1、学科网（北京）股份有限公司2022 年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）文科数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1集合2,4,6,8,10,16MNxx，则 MN（）A2,4B2,4,6C2,4,6,8D2,4,6,8,
2、102设(12i)2iab，其中,a b 为实数，则（）A1,1ab B1,1abC1,1ab D1,1ab 3已知向量(2,1)(2,4)，ab，则|ab（）A2B3C4D54分别统计了甲、乙两位同学 16 周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图：则下列结论中错误的是（）A甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为 7.4B乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于 8C甲同学周课外体育运动时长大于 8 的概率的估计值大于 0.4D乙同学周课外体育运动时长大于 8 的概率的估计值大于 0.65若 x，y 满足约束条件则2zxy的最大值是（）A 2B4C8D126设 F 为抛物线2:4C
3、 yx的焦点，点 A 在 C 上，点(3,0)B，若|AFBF，则|AB（）A2B2 2C3D3 27执行右边的程序框图，输出的 n（）学科网（北京）股份有限公司A3B4C5D68右图是下列四个函数中的某个函数在区间 3,3的大致图像，则该函数是（）A3231xxyxB321xxyxC22 cos1xxyxD22sin1xyx9在正方体1111ABCDA B C D中，,E F 分别为,AB BC 的中点，则（）A平面1B EF 平面1BDDB平面1B EF 平面1A BDC平面1B EF 平面1A ACD平面1B EF 平面11AC D10已知等比数列 na的前 3 项和为 168，5242
4、aa，则6a （）A14B12C6D311函数 cos1 sin1f xxxx在区间0,2 的最小值、最大值分别为（）A 2 2，B3 22，C 22 2，D3 222，12已知球 O 的半径为 1，四棱锥的顶点为 O，底面的四个顶点均在球 O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A 13B 12C33D22二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13记nS 为等差数列 na的前 n 项和若32236SS，则公差 d _14从甲、乙等 5 名同学中随机选 3 名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为_15过四点 0,0,4,0,1,1,4,2中的三点的一个圆的方
5、程为_学科网（北京）股份有限公司16若 1ln1f xabx是奇函数，则 a _，b _三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（12 分）记ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知sinsinsinsinCABBCA（1）若2AB，求 C；（2）证明：2222abc.18（12 分）如图，四面体 ABCD 中，,ADCD ADCDADBBDC，E 为 AC 的中点（1）证明：平面 BED 平面 ACD；（2）设2,60ABBDA
6、CB，点 F 在 BD 上，当AFC的面积最小时，求三棱锥FABC的体积19（12 分）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了 10 棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：2m）和材积量（单位：3m），得到如下数据：样本号 i12345678910总和根部横截面积ix0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量iy0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得10210.038iix，10211.6158iiy，1010.2474iiix y
7、（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到 0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为2186m 已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值附：相关系数12211niiinniiiixxyyrxxyy，1.8961.37720（12 分）已知函数1()(1)lnf xaxaxx学科网（北京）股份有限公司（1）当0a 时，求()f x 的最大值；（2）若()f x 恰有一个零点，求 a 的取值范围21（1
8、2 分）已知椭圆 E 的中心为坐标原点，对称轴为 x 轴、y 轴，且过3(0,2),12AB两点（1）求 E 的方程；（2）设过点(1,2)P的直线交 E 于 M，N 两点，过 M 且平行于 x 轴的直线与线段 AB 交于点 T，点 H 满足 MTTH，证明：直线 HN 过定点（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中选定一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为3cos2,2sinxtyt（t
9、 为参数）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 l 的极坐标方程为sin03m（1）写出 l 的直角坐标方程；（2）若 l 与 C 有公共点，求 m 的取值范围23选修 45：不等式选讲（10 分）已知 a，b，c 都是正数，且3332221abc，证明：（1）19abc；（2）12abcbcacababc2022 年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）文科数学参考答案一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.1.A2.A3.D4.C5.C6.B7.B8.A9.A10.D11.D12.C二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13
10、.214.310#0.315.222313xy或 22215xy或224765339xy或学科网（北京）股份有限公司2281691525xy；16.12；.ln 2 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.17.（1）58；（2）由sinsinsinsinCABBCA可得，sinsincoscossinsinsincoscossinCABABBCACA，再由正弦定理可得，coscoscoscosacBbcAbcAabC，然后根据余弦定理可知，2222222222221111
11、2222acbbcabcaabc，化简得：2222abc，故原等式成立18.【小问 1 详解】由于 ADCD，E 是 AC 的中点，所以 ACDE.由于ADCDBDBDADBCDB，所以ADBCDB，所以 ABCB，故 ACBD，由于 DEBDD，,DE BD 平面 BED，所以 AC 平面 BED，由于 AC 平面 ACD，所以平面 BED 平面 ACD.【小问 2 详解】依题意2ABBDBC，60ACB，三角形 ABC 是等边三角形，所以2,1,3ACAECEBE，由于,ADCD ADCD，所以三角形 ACD 是等腰直角三角形，所以1DE.222DEBEBD，所以 DEBE，由于 ACBE
12、E，,AC BE 平面 ABC，所以 DE 平面 ABC.由于ADBCDB，所以FBAFBC，学科网（北京）股份有限公司由于BFBFFBAFBCABCB，所以 FBAFBC，所以 AFCF，所以 EFAC，由于12AFCSAC EF，所以当 EF 最短时，三角形 AFC 的面积最小值.过 E 作 EFBD，垂足为 F，在 RtBED中，1122BE DEBD EF，解得32EF，所以223131,2222DFBFDF，所以34BFBD.过 F 作 FHBE，垂足为 H，则/FH DE，所以 FH 平面 ABC，且34FHBFDEBD，所以34FH,所以111332333244FABCABCVS
13、FH.19.（1）20.06m；30.39m（2）0.97（3）31209m20.（1）1（2）0,21.（1）22143yx学科网（北京）股份有限公司（2）(0,2)【小问 1 详解】解：设椭圆 E 的方程为221mxny，过30,2,12AB，则41914nmn，解得13m，14n，所以椭圆 E 的方程为：22143yx.【小问 2 详解】3(0,2),(,1)2AB，所以2:23AB yx，若过点(1,2)P的直线斜率不存在，直线1x.代入22134xy，可得2 6(1,)3M，2 6(1,)3N，代入 AB 方程223yx，可得2 6(63,)3T，由 MTTH得到2 6(2 65,)
14、3H.求得 HN 方程：2 6(2)23yx，过点(0,2).若过点(1,2)P的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kxykM x yN xy.联立22(2)0,134kxykxy得22(34)6(2)3(4)0kxkk xk k，可得1221226(2)343(4)34kkxxkkkx xk，12222228(2)344(442)34kyykkky yk，且1221224(*)34kx yx yk联立1,223yyyx可得111113(3,),(36,).2yTyHyx y 可求得此时1222112:()36yyHN yyxxyxx，学科网（北京）股份有限公司将(0,2)，代入
15、整理得12121221122()6()3120 xxyyx yx yy y，将(*)代入，得222241296482448482436480,kkkkkkk显然成立，综上，可得直线 HN 过定点(0,2).【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中选定一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.选修 44：坐标系与参数方程22.（1）320 xym（2）195122m选修 45：不等式选讲23.【小问 1 详解】证明：因为0a，0b，0c，则320a，320b，320c，所以33333322232223abcabc，即1213abc，所以19abc，当且仅当333222abc，即3 19abc时取等号【小问 2 详解】证明：因为0a，0b，0c，所以2bcbc，2acac，2abab，所以3222aaabcbcabc，3222bbbacacabc，3222cccabababc333333222222122222abcabcabcbcacababcabcabcabcabc当且仅当 abc时取
