1、1(2012锦州质检)满足f(x)f(x)且为奇函数的函数f(x)可能是()Acos2xBsinxCsin Dcosx解析:选B.由f(x)f(x),得f(2x)f(x)f(x)f(x)f(x),2是奇函数f(x)的一个周期只有sinx满足此条件2(2011高考安徽卷)设f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)2x2x,则f(1)()A3 B1C1 D3解析:选A.f(x)是奇函数,当x0时,f(x)2x2x,f(1)f(1)2(1)2(1)3.3若函数f(x)ax(aR),则下列结论正确的是()AaR,函数f(x)在(0,)上是增函数BaR,函数f(x)在(0,)上是减函数CaR,函
2、数f(x)为奇函数DaR,函数f(x)为偶函数解析:选C.当a1时,函数f(x)在(0,1)上为减函数,A错;当a1时,函数f(x)在(1,)上为增函数,B错;D选项中的a不存在,故选C.4(2011高考上海卷)下列函数中,既是偶函数,又是在区间(0,)上单调递减的函数为()Ayln Byx3Cy2|x| Dycos x解析:选A.对于A,f(x)lnlnf(x),定义域为x|x0,故是偶函数,且在(0,)上单调递减,故A正确;yx3是奇函数;y2|x|是偶函数,但在(0,)上单调递增;ycos x在(0,)上不是单调函数,故B、C、D均错误一、选择题1下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增
3、函数的是()Aylog2x(x0)Byx3x(xR)Cy3x(xR) Dy(xR,x0)答案:B2(2011高考上海卷)下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,)上单调递减的函数是()Ayx2Byx1Cyx2 Dyx解析:选A.yx1和yx都是奇函数,故B、D错误又yx2虽为偶函数,但在(0,)上为增函数,故C错误yx2在(0,)上为减函数,且为偶函数,故A满足题意3对于定义在R上的任何奇函数,均有()Af(x)f(x)0 Bf(x)f(x)0Cf(x)f(x)0 Df(x)f(x)0解析:选A.f(x)f(x),f(x)f(x)f(x)20.4(2011高考广东卷)设函数f(x)和g(x)分别
4、是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是()Af(x)|g(x)|是偶函数Bf(x)|g(x)|是奇函数C|f(x)|g(x)是偶函数D|f(x)|g(x)是奇函数解析:选A.由f(x)是偶函数,可得f(x)f(x),由g(x)是奇函数可得g(x)g(x),故|g(x)|为偶函数,f(x)|g(x)|为偶函数5.定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图所示,则在(2,0)上,下列函数中与f(x)的单调性不同的是()Ayx21By|x|1CyDy解析:选C.利用偶函数的对称性知f(x)在(2,0)上为减函数又y在(2,0)上为增函数故选C.二、填空题6(2010高考江苏卷)设函数f(x)x(
5、exaex)(xR)是偶函数,则实数a的值为_解析:因为f(x)是偶函数,所以恒有f(x)f(x),即x(exaex)x(exaex),化简得x(exex)(a1)0.因为上式对任意实数x都成立,所以a1.答案:17函数f(x)在R上为奇函数,且x0时,f(x)1,则当x0时,f(x)_.解析:f(x)为奇函数,x0时,f(x)1,当x0时,x0,f(x)f(x)(1),即x0时,f(x)(1)1.答案:18(2012大连质检)设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x3)f(x)1,f(1)2,则f(2011)_.解析:由已知f(x3),f(x6)f(x),f(x)的周期为6.f(2011)f
6、(33561)f(1)f(1)2.答案:2三、解答题9判断下列函数的奇偶性:(1)f(x);(2)f(x)解:(1)f(x)的定义域为1,1,关于原点对称又f(1)f(1)0.f(1)f(1)且f(1)f(1),f(x)既是奇函数又是偶函数(2)当x0时,x0,f(x)f(0)0,f(x)f(0)0,f(x)f(x)当x0时,x0,f(x)(x)22(x)3(x22x3)f(x)当x0,f(x)(x)22(x)3(x22x3)f(x)由可知,当xR时,都有f(x)f(x),f(x)为奇函数10已知函数f(x)是奇函数(1)求实数m的值;(2)若函数f(x)在区间1,a2上单调递增,求实数a的取
7、值范围解:(1)设x0,所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数,所以f(x)f(x),于是x0时,f(x)x22xx2mx,所以m2.(2)要使f(x)在1,a2上单调递增,结合f(x)的图象(图略)知所以10时,f(x)0.(1)求证:f(0)0;(2)判断函数f(x)的奇偶性;(3)判断函数f(x)的单调性解:(1)证明:依题意,令x0,y0,得f(00)f(0)f(0)即2f(0)f(0),f(0)0.(2)f(x)的定义域为R,令yx,代入f(xy)f(x)f(y)得f(xx)f(x)f(x),即f(x)f(x)0.f(x)f(x),f(x)是奇函数(3)任取x1,x2R,且x10时,f(x)0,f(x2x1)0,f(x2)f(x1)0,即f(x2)f(x1)f(x)是R上的减函数