1、 位育中学高三期中数学试卷2020.11一. 填空题1. 设集合,则 2. 计算: 3. 已知复数满足,为虚数单位,则 4. 已知函数,则此函数的反函数是 5. 已知、满足,则的最大值为 6. 已知行列式,则 7. 某单位现有职工52人,将所有职工编号,用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知6号、32号、45号职工在样本中,则另一个在样本中的职工编号为 8. 已知数列是无穷等比数列,其前项和记为,若,则 9. 在停课不停学期间,某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动,每位教师任选一项,则每个项目都有该校教师参加的概率为 (结果用数值表示)10. 已知、是椭圆的左、右焦点,过原点且倾斜角
2、为60的直线与椭圆的一个交点为,若,则椭圆的长轴长为 11. 已知点、在以为直径的圆上,若,则 12. 已知球是三棱锥的外接球,点为的中点,且,则球的体积为 二. 选择题13. 下列不等式恒成立的是( )A. B. C. D. 14. 若函数的图像关于直线对称,则的值为( )A. 1 B. C. D. 15. 对于函数(),我们可以发现有许多性质,如:()等,下列关于的性质中一定成立的是( )A. B. () C. () D. ()16. 函数是定义在上的奇函数,且为偶函数,当时,若函数有三个零点,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 三. 解答题17. 如图,在直三棱柱中,是的中点
3、.(1)若三棱柱的体积为,求三棱柱的高;(2)若,求二面角的大小.18. 已知函数(为实常数).(1)讨论函数的奇偶性,并说明理由;(2)当为奇函数时,对任意的,不等式恒成立,求实数的最大值.19. 某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年,在一个半径为米、圆心为60的扇形草坪上,由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案,已知红旗为矩形,其四个顶点中有两个顶点在线段上,另两个顶点、分别在弧、线段上.(1)若组成的红旗是长与宽的长度比为3:2的国旗图案,求此国旗的面积;(2)求组成的红旗图案的最大面积.20. 已知抛物线,其准线方程为,直线过点且与抛物线交于、两点,为坐标原点.(1)求抛物线方程;(
4、2)证明:的值与直线倾斜角的大小无关;(3)若为抛物线上的动点,记的最小值为函数,求的解析式.21. 设数列的各项都是正数,若对于任意的正整数,存在,使得、成等比数列,则称数列为“型”数列.(1)若是“型”数列,且,求的值;(2)若是“型”数列,且,求的前项和;(3)若既是“型”数列,又是“型”数列,求证:数列是等比数列.参考答案一. 填空题1. 2. 3. 4. 5. 3 6. 7. 19 8. 89. 10. 11. 12. 二. 选择题13. B 14. A 15. C 16. C三. 解答题17.(1)6;(2).18.(1)是奇函数;(2).19.(1);(2).20.(1);(2)证明略;(3).21.(1)2;(2);(3)证明略.