1、2020-2021学年上海市长宁区延安中学高一下期末考数学试卷一、填空题（每小题3分，共39分）1复数z2+i的虚部为 2计算： 3函数，的值域为 4方程的解集为 5已知M（3，2），N（0，4），若，则点P的坐标为 6已知复数z满足，则|z+i| 7已知复数z1，z2满足|z1|z2|1，则|z1z2| 8已知向量，若平面上任意向量都可以唯一地表示为与的线性组合，则实数m的取值范围是 9已知虚数z是1的一个四次方根，复数zn+（）n，nN，用列举法表示满足条件的组成的集合为 10已知向量，则在方向上的投影的坐标为 11已知复数3+3i在复平面上所对应的向量是，将绕原点O顺时针旋转120得到向
2、量，则向量所对应的复数为 （结果用复数的代数形式表示）12已知函数ytanx在区间上是严格减函数，则实数的取值范围是 13如图是某自行车的平面结构示意图，已知圆A（前轮）、圆D（后轮）的半径均为，ABE，BEC，ECD均是边长为4的等边三角形；设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为 二、选择题（每小题3分，共15分)14设z1、z2C，则“z12+z220”是“z1z20”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件15的三角形式是（）ABCD16在下列各式中，正确的是（）ABC若，则D若，且，则17已知平面向量，满足，且，则下列选项正确的是（）A
3、若，则x0，y0B若，则x0，y0C若，则x0，y0D若，则x0，y018甲、乙两个同学对问题“已知m0，n0，若关于x的实系数一元二次方程x2px+m0的两个根x1，x2，满足|x1x2|n，求实数p的值”，各自提出一个猜测：甲说：“对于任意一组m，n的值，p的不同值最多有4个；”乙说：“存在一组m，n的值，使得p的不同值恰有3个”则下列选项正确的是（）A甲的猜测正确，乙的猜测错误B甲的猜测错误，乙的猜测正确C甲、乙的猜测都正确D甲、乙的猜测都错误三、解答题（共46分)19已知复数z满足z+4为纯虚数，且为实数；若复数（z+mi）2在复平面上对应的点在第四象限，求实数m的取值范围20已知向量
4、，（1）求，的夹角；（2）若，求实数k的值21若在复数范围内，关于x的方程x22ax+a2a0至少有一个模为2的根，求实数a的值22如图，平行四边形ABCD中，（1）若，E为AM中点，求证：点D，E，N共线；（2）若DAB60，求的最小值，及此时的值23已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为yasinx+bcosx（xR），向量称为函数yasinx+bcosx的“相伴向量”；记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S（1）已知R，h（x）cos（x+）+2cosx，若函数yh（x）为集合S中的元素，求其“相伴向量”的模的取值范围；（2）已知点M（a，b）满足条件：
5、a3，；若向量的“相伴函数”yf（x）在xx0处取得最大值，当b在区间变化时，求tan2x0的取值范围参考答案一、填空题（每小题3分，共39分）1解：由复数的基本概念知：复数z2+i的虚部为1故答案为：12解：2+i，|2+i|故答案为：3解：当x（，），x（，），函数1，故函数y的值域为（1，+），故答案为：（1，+）4解：方程sinx，在（0，2）的解为x或x，根据终边相同的角三角函数值相等，可得方程sinx的解集为：x|x2k+，或x2k+，kZx|xk+（1）k，kZ故答案为：x|xk+（1）k，kZ5解：设点P（x，y），由M（3，2），N（0，4），所以（x3，y+2），（x，4y
6、），由，得，解得，所以点P的坐标为（1，2）故答案为：（1，2）6解：设za+bi，则abi，（）（z+i）9，即，a2+b2abi+ai+bi9（a2+b2a+b）+（ab1）i9，则，解得或当时，|z+i|（）+（）i|；当时，|z+i|（）+（）i|故答案为：（）或（）7解：复数z1，z2满足|z1|z2|1，令z1cosA+isinA，z2cosB+isinB|z1+z2|，（cosA+cosB）2+（sinA+sinB）22，整理得2cosAcosB+2sinAsinB0，又|z1z2|2（cosAcosB）2+（sinAsinB）222cosAcosB2sinAsinB2，|z1z
7、2|故答案为：8解：因为平面上任意向量都可以唯一地表示为与的线性组合，则与为平面向量的一组基底，故与为不共线的非零向量，所以4（1m）3（m+2），所以m10，故实数m的取值范围是（，10）（10，+）故答案为：（，10）（10，+）9解：虚数z是1的一个四次方根，zi或zi，故zn+（）nin+（i）n，当n1时，0，当n2时，2，当n3时，0，当n4时，2，故满足条件的组成的集合为0，2，2，故答案为：0，2，210解：向量，所以92415，则在方向上的投影的坐标为|cos（3，4）（，）故答案为：（，）11解：向量与复数3+3对应，把绕原点O按顺时针方向旋转120得到，可得与对应的复数为
8、（3+3i）cos（120）+isin（120）（3+3i）（），故答案为：12解：函数ytanx在区间上是严格减函数，0，且，求得10，故实数的取值范围为1，0），故答案为：1，0）13解：据题意：圆D（后轮）的半径均为，ABE，BEC，ECD均是边长为4的等边三角形点P为后轮上的一点，如图建立平面直角坐标系：则A（8，0），B（6，2），C（2，2）圆D的方程为x2+y23，可设P（cos，sin），02，所以（6，），（cos+6，sin2）故6sin+6cos+2412（sin+cos）+2412sin（+）+2412+2436，当且仅当时，取得最大值36故答案为：36二、选择题（每小
9、题3分，共15分)14解：若z1i，z21，满足设“z12+z220”，但“z1z20”不成立，若z1z20，则z12+z220成立，故“z12+z220”是“z1z20”的必要不充分条件，故选：B15解：故选：B16解：|cos，|不一定等于|，A错；（）2（|cos，）2cos2，不一定等于，B错；由两边平方，得+2+2+，0，C对；由，得0，（）0，又，D错故选：C17解：由于，且，若，取，则由于 ，即有 0x2y，1x+y，解得 ，则可排除B，取，则由于，即有 1x+2y，1y，解得 x1，y1，则可排除 C，D，故选：A18解：实系数一元二次方程x2px+m0，则p24m，当0时，x
10、1x2，则|x1x2|n0与条件n0矛盾，当0时，可得有两个值，当0时，可得有一个或两个值综上可知，当4mn2时，p的值有3个，当4mn2时，p的值有4个，所以甲、乙二人的猜测都正确故选：C三、解答题（共46分)19解：设zx+yi（x，yR），则z+4（x+4）+yi，z+4为纯虚数，x+40且y0，即x4，y0又R，2y40，即y2z4+2i，m为实数，且（z+mi）24+（m+2）i2（124mm2）8（m+2）i，由题意，解得2m2实数m的取值范围为（2，2）20解：（1）根据题意，向量，则|，|1，1，则cos，又由0，则arccos；（2）根据题意，32（5，6），k+（k1，2k
11、），若，则有（32）（k+）5（k1）+12k0，解可得：k21解：若两根为实根时，不妨设|x1|2，则x12，当x12时，则a25a+40，解得a1或a4；当x12时，则a2+3a+40，由于91670，可得a无解若两根为虚根时，则 x1，x1x24，即a2a4，求得a再根据此时（2a）24（a2a）4a0，得a0，所以a综上可得，a，或a4，或 a122解：（1）平行四边形ABCD中，E为AM中点，（+）（+）+，+1，D，E，N共线；（2）设|x0，|y0，根据DAB60，可得xy1，2（+）2（+）2x2+xy+y2x2+y2+xy+2，|，当且仅当xy且xy1，即x，y时，|取得最大值，此时的值23解：（1）证明：h（x）cos（x+）+2cosxsinsinx+（2+cos）cosx，函数h （x）的相伴向量，h（x）S，cos1时，；cos1时，的取值范围为1，3（2）的相伴函数f，其中当，即时，f（x）取得最大值，为直线OM的斜率，由几何意义知，令，则，当m 时，
