1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业 四十八利用空间向量求空间角和距离(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2017杭州模拟)若直线l的方向向量与平面的一个法向量的夹角等于120,则直线l与平面的夹角等于()A.120B.60C.30D.60或30【解析】选C.设直线l与平面的夹角为,则sin=|cos120|=.又因为090,所以=30.2.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN的夹角的大小是(
2、)A.30B.45C.60D.90【解析】选D.如图所示建立空间直角坐标系,设棱长为1,则A1(0,0,1),M,D(0,1,0),N,=,=(1,0,).cos=0,所以A1M与DN的夹角的大小是90.3.(2017南京模拟)在正方体ABCDA1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为()A.B.C.D.【解析】选B.以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系,设棱长为1.则A1(0,0,1),E,D(0,1,0),所以=(0,1,-1),=.设平面A1ED的一个法向量为n1=(1,y,z),所以有即所以所以n1=(1,2,2).因为平面
3、ABCD的一个法向量为n2=(0,0,1),所以cos=,即平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为.4.(2017赣州模拟)已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面的夹角为()A.45B.135C.45或135D.90【解析】选A.cos=,即=45.所以两平面的夹角为45.5.在棱长为1的正方体ABCD -A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,BB1的中点,G为棱A1B1上的一点,且A1G=(01),则点G到平面D1EF的距离为()A.B.C.D.【解析】选D.如图所示建立空间直角坐标系,则G(1,1),E,D1(0,0,1),F,=,=(0,1,0),
4、=.过点G向平面D1EF作垂线,垂足为H,由于点H在平面D1EF内,故存在实数x,y,使=+x+y=,由于GHEF,GHED1,所以解得故=,所以|=,即点G到平面D1EF的距离是.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2017广州模拟)在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=2,BC=AA1=1,则D1C1与平面A1BC1夹角的正弦值为_.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,由于AB=2,BC=AA1=1,所以A1(1,0,1),B(1,2,0),C1(0,2,1),D1(0,0,1).所以=(-1,2,0),=(-1,0,1),=(0,2,0),设平面A1BC1的
5、法向量为n=(x,y,z),则有即令x=2,则y=1,z=2,则n=(2,1,2).又设D1C1与平面A1BC1的夹角为,则sin=|cos|=.答案:7.(2017德阳模拟)如图,P-ABCD是正四棱锥,ABCD-A1B1C1D1是正方体,其中AB=2,PA=,则B1到平面PAD的距离为_.世纪金榜导学号99972728【解题指南】以A1B1为x轴,A1D1为y轴,A1A为z轴建立空间直角坐标系,求出平面PAD的法向量,由的坐标,利用距离公式,即可得到结论.【解析】如图所示建立空间直角坐标系,则=(0,2,0),=(1,1,2),设平面PAD的法向量是m=(x,y,z),所以由可得取z=1得
6、m=(-2,0,1),因为=(-2,0,2),所以B1到平面PAD的距离d=.答案:8.(2017宿迁模拟)已知点E,F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1,CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,则平面AEF与平面ABC夹角的正切值等于_.世纪金榜导学号99972729【解析】延长FE,CB相交于点G,连接AG,如图所示.设正方体的棱长为3,则GB=BC=3,作BHAG于点H,连接EH,则EHB为平面AEF与平面ABC的夹角.因为BH=,EB=1,所以tanEHB=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015浙江高考)如图,在三棱柱ABC-A1
7、B1C1中,BAC=90,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点,D为B1C1的中点.世纪金榜导学号99972730(1)证明:A1D平面A1BC.(2)求平面A1BD与平面B1BD夹角的余弦值.【解析】(1)取BC的中点E,连接A1E,AE,DE,由题意得A1E平面ABC,所以A1EAE,因为AB=AC,所以AEBC,故AE平面A1BC,由D,E分别是B1C1,BC的中点,得DEB1B且DE=B1B,所以DEA1A,所以四边形A1AED是平行四边形,故A1DAE,又因为AE平面A1BC,所以A1D平面A1BC.(2)以CB的中点E为原点,分别以射线EA,EB,EA1为
8、x,y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系,如图所示.由题意知各点坐标如下:A1(0,0,),B(0,0),D(-,0,),B1(-,).因此=(0,-),=(-,-,),=(0,0).设平面A1BD的法向量为m=(x1,y1,z1),平面B1BD的法向量为n=(x2,y2,z2).由即可取m=(0,1).由即可取n=(,0,1).于是|cos|=.故平面A1BD与平面B1BD夹角的余弦值为.10.(2017兰州模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,ABAD,ABCD,AB=2AD=2CD=2,E是PB的中点.世纪金榜导学号99972731(1)求证:平面
9、EAC平面PBC.(2)若平面PAC与平面EAC夹角的余弦值为,求直线PA与平面EAC夹角的正弦值.【解析】(1)因为PC底面ABCD,所以PCAC,因为底面ABCD是直角梯形,且AB=2AD=2CD=2,所以AC=,BC=.所以AB2=AC2+BC2,所以ACBC,因为PCBC=C,所以AC平面PBC,因为AC平面EAC,所以平面EAC平面PBC.(2)建立如图所示的空间直角坐标系.设PC=a,则A(0,0,0),C(1,1,0),E,P(1,1,a),B(0,2,0).所以=(1,1,0),=,=(1,1,a),=(1,-1,0).设平面EAC的法向量为v=(x,y,z),则即令x=1,则
10、v=,因为BCAC,BCPC,ACPC=C,所以BC平面PAC,所以平面PAC的一个法向量为u=(1,-1,0),设平面PAC与平面EAC的夹角为,则cos=,解得a=2,所以直线PA与平面EAC夹角的正弦值为cos=.(20分钟40分)1.(5分)(2017惠州模拟)已知向量m, n分别是直线l和平面的方向向量和法向量,若cos=-,则l与的夹角为()A.30B.60C.120D.150【解析】选A.设l与的夹角为,因为cos=-,所以sin=|cos|=,因为090,所以=30.2.(5分)(2017柳州模拟)在四面体P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,设PA=PB=PC=a,则点P到
11、平面ABC的距离为()A.aB.aC.aD.a【解析】选B.根据题意,可建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a).过点P作PH平面ABC,交平面ABC于点H,则PH的长即为点P到平面ABC的距离.因为PA=PB=PC,所以H为ABC的外心.又因为ABC为正三角形,所以H为ABC的重心,可得H点的坐标为.所以PH=a.3.(5分)如图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心,则EF和CD的夹角是_.世纪金榜导学号99972732【解析】以D为原点,分别以射线DA,DC,DD1为
12、x轴、y轴、z轴的非负半轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则D(0,0,0),C(0,1,0),E,F,=,=(0,1,0),所以cos=-,所以=135.所以EF和CD的夹角为45.答案:454.(12分)(2017潍坊模拟)已知向量a=(x,1,2),b=(1,y,-2),c=(3,1,z),ab,bc.世纪金榜导学号99972733(1)求向量a,b,c.(2)求向量a+c与b+c夹角的余弦值.【解题指南】(1)根据空间向量的坐标表示及已知条件ab,且bc,列出方程组求出x,y,z的值即可.(2)根据空间向量的坐标运算与数量积运算,利用公式求出a+c与b+c夹角的余弦值.【解析】
13、(1)因为向量a=(x,1,2),b=(1,y,-2),c=(3,1,z),且ab,bc,所以解得x=-1,y=-1,z=1.所以向量a=(-1,1,2),b=(1,-1,-2),c=(3,1,1).(2)因为向量a+c=(2,2,3),b+c=(4,0,-1),所以(a+c)(b+c)=24+20+3(-1)=5,|a+c|=,|b+c|=.所以a+c与b+c夹角的余弦值为cos=.5.(13分)(2017新乡模拟)如图所示,四边形ABCD为等腰梯形,ADBC,且AD=BC=a,BAD=135,AEBC于点E,F为BE的中点,将ABE沿着AE折起至ABE的位置,得到如图所示的四棱锥B
14、49020;ADCE.世纪金榜导学号99972734(1)求证:AF平面BCD.(2)若平面ABE平面AECD,求平面BCD与平面ECD夹角的余弦值.【解题指南】(1)取BC的中点G,连接FG,DG,根据三角形中位线定理得FGEC,且FG=EC,而ADEC,AD=EC,所以FGAD且FG=AD,所以四边形ADGF为平行四边形,所以AFDG,所以AF平面BCD.(2)以点E为原点,EB为x轴,EC为y轴,EA为z轴,建立空间直角坐标系,计算平面BCD与平面AECD的法向量,利用两个法向量求得两平面夹角的余弦值.【解析】(1)取BC的中点G,连接FG,DG.因为F为BE的中点,所以FGEC,且FG
15、=EC,因为图中四边形ABCD为等腰梯形,ADBC,且AD=BC=a,AEBC,BAD=135,所以EC=2a,ADEC,AD=EC,所以ADFG,AD=FG,所以四边形ADGF为平行四边形,所以AFDG,因为AF平面BCD,DG平面BCD,所以AF平面BCD.(2)易证EA,EB,EC两两垂直,故以点E为原点,EB为x轴,EC为y轴,EA为z轴,建立空间直角坐标系,所以B(a,0,0),D(0,a,a),C(0,2a,0),所以=(-a,2a,0),=(0,-a,a),设平面BCD的法向量为n=(x,y,z).则令z=1,得n=(2,1,1),显然=(a,0,0)为平面AECD的一个法向量,所以cos=,所以所求的余弦值为.关闭Word文档返回原板块
