1、第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率3.1.1倾斜角与斜率基础过关练题组一直线的倾斜角与斜率1.直线x=1的倾斜角和斜率分别是()A.45,1B.135,-1C.90,不存在D.180,不存在2.若直线l的向上方向与y轴的正方向成30角,则直线l的倾斜角为()A.30B.60C.30或150D.60或1203.下列四个命题中正确的是()A.平面直角坐标系内的任何一条直线均有倾斜角和斜率B.直线的倾斜角的取值范围是0180C.若一条直线的斜率为k,则k0D.若一条直线的倾斜角为,则此直线的斜率为tan 4.(2020江西临川高一上期末)若直线y=-2x的倾斜角为,则tan 的值为()A.2B
2、.-2C.2D.-355.已知l1l2,直线l1的倾斜角为60,则直线l2的倾斜角为()A.60B.120C.30D.1506.(2020浙江温州高一月考)图中的直线l1,l2,l3的斜率分别是k1,k2,k3,则有()A.k1k2k3B.k3k1k2C.k3k2k1D.k2k3k17.如图,已知ABC为等腰三角形,且底边BC与x轴平行,则ABC三边所在直线的斜率之和为.题组二直线的斜率公式8.(2020广西桂林高一上期末)过两点A(4,y),B(2,-3)的直线的倾斜角为45,则y=()A.-32B.32C.-1D.19.(2020江苏南通高一期末)已知直线l经过两点O(0,0),A(1,3
3、),直线m的倾斜角是直线l的倾斜角的两倍,则直线m的斜率是()A.-3B.-33C.33D.310.若点P(x,y)在以A(-3,1),B(-1,0),C(-2,0)为顶点的ABC的内部运动(不包含边界),则y-2x-1的取值范围是()A.12,1 B.12,1C.14,1D.14,111.直线l过点A(1,2),且不过第四象限,则直线l的斜率的取值范围是.12.已知A(m,-m+3),B(2,m-1),C(-1,4),直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍,求m的值.13.(2020宁夏青铜峡高级中学高二月考)已知A(1,2),B(2,1),C(0,m)三点.(1)若过A,C两点的直线的倾斜
4、角为45,求m的值;(2)A,B,C三点可能共线吗?若能,求出m的值.14.已知实数x、y满足2x+y=8,当2x3时,求yx的最大值与最小值.能力提升练一、选择题1.()设直线l过原点,其倾斜角为,将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45,得到直线l1,则直线l1的倾斜角为()A.+45B.-135C.135-D.当0135时,倾斜角为+45,当135180时,倾斜角为-1352.()给出下列说法,正确说法的个数是()任何一条直线都有唯一的倾斜角;直线的倾斜角越大,它的斜率越大;直线的斜率越大,它的倾斜角越大.A.0B.1C.2D.33.(2021安徽江南十校高三一模,)如图,大五角星有一个角
5、尖朝正上方,四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点,第三颗小五角星的姿态与大五角星相同.为便于研究,以大五角星的中心点为原点,建立直角坐标系,OO1,OO2,OO3,OO4分别是大五角星中心点与四颗小五角星中心点的连接线,16,则第三颗小五角星的一条边AB所在直线的倾斜角约为()A.0B.1C.2D.34.(2021甘肃白银高二月考,)已知A(2,4)、B(-3,1)两点,直线l:y=kx+2与线段AB相交,则直线l的斜率k的取值范围是()A.-,-232,+)B.(-,0)4,+)C.-,131,+)D.4,+)二、填空题5.(2021上海浦东新区高二上期中,)过点M(0,1)和N(
6、1,m2+1)(mR)的直线的倾斜角的范围是.6.()一条光线从点A(-1,3)射向x轴,经过x轴上的点P反射后通过点B(3,1),则点P的坐标为.7.(2020广西桂林兴安高一月考,)若经过点A(1-a,1+a),B(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,则实数a的取值范围为.三、解答题8.(2020湖北孝感高二期末,)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)是函数y=x3的图象上任意三个不同的点.求证:若A,B,C三点共线,则x1+x2+x3=0.9.(2021河南豫北六校高一联考,)如图所示,菱形ABCD中,BAD=60.求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.10
7、.(2021安徽芜湖一中高二月考,)已知A(3,3),B(-4,2),C(0,-2)三点.(1)求直线AB和AC的斜率;(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动,求直线AD的斜率的取值范围.第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率3.1.1倾斜角与斜率基础过关练1.C2.D3.B4.B5.D6.D8.C9.A10.D1.C直线x=1与y轴平行,其倾斜角为90,斜率不存在.2.D如图,直线l有两种情况,故l的倾斜角为60或120.3.B对于A,当直线与x轴垂直时,直线的倾斜角为90,斜率不存在,故A错误;对于B,直线的倾斜角的取值范围是00,k20,k3k2,故k2k3k1,故选D.7.答案0解
8、析由题意可知,kBC=0.ABC=ACB,直线AB与直线AC的倾斜角互补,kAB=-kAC,kAB+kAC=0,kBC+kAB+kAC=0.8.C由题意知直线AB的斜率为kAB=tan 45=1,所以y+34-2=1,解得y=-1.故选C.9.A依题意kOA=3-01-0=3,所以直线l的倾斜角为60,所以直线m的倾斜角为120,所以直线m的斜率为tan 120=-3.10.D式子y-2x-1的几何意义是过动点P(x,y)与定点M(1,2)的直线的斜率.由已知,得kAM=14,kBM=1,kCM=23.由图可得y-2x-1的取值范围是14,1.故选D.11.答案0,2解析如图,当直线l在l1位
9、置时,斜率为tan 0=0;当直线l在l2位置时,斜率为2-01-0=2,故直线l的斜率的取值范围是0,2.12.解析由题意知直线AC的斜率存在,即m-1.由题知,kAC=(-m+3)-4m-(-1),kBC=(m-1)-42-(-1).(-m+3)-4m-(-1)=3(m-1)-42-(-1).整理,得-m-1=(m-5)(m+1),即(m+1)(m-4)=0,m=4或m=-1(舍去).m的值为4.13.解析(1)过A,C两点的直线的斜率为 kAC=2-m1-0=2-m,又直线AC的倾斜角为45,所以kAC=tan 45=1=2-m,所以m=1.(2)kAC=2-m1-0=2-m,kAB=2
10、-11-2=-1,若A,B,C三点共线,则有kAB=kAC,即-1=2-m,解得m=3,所以A,B,C三点能共线,此时m=3.14.解析由题意知点P(x,y)的坐标满足关系式2x+y=8,且2x3,如图,可知点P在线段AB上移动,并且易得A、B两点的坐标分别为A(2,4),B(3,2).由yx=y-0x-0,可知其几何意义是原点O与点P连线的斜率,因为kOA=2,kOB=23,所以可得yx的最大值为2,最小值为23.能力提升练1.D2.B3.C4.C一、选择题1.D由倾斜角的取值范围知,当45+45180,即0135时,l1的倾斜角为+45;当1352,但k1k2,故错误.故正确说法的个数为1
11、.故选B.3.答案C信息提取大五角星有一个角尖朝正上方,四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点;第三颗小五角星的姿态与大五角星相同.数学建模本题以五角星的位置为出题背景,考查直线的倾斜角,作出辅助线是解决本题的关键.解析过O3作x轴的平行线O3E,则OO3E=16.由五角星的内角为36,可知BAO3=18,所以直线AB的倾斜角为18-16=2.故选C.4.C直线l:y=kx+2恒过点C(0,2),则直线AC的斜率为kAC=4-22-0=1,直线BC的斜率为kBC=2-10-(-3)=13,由图可知直线l的斜率k的取值范围是-,131,+),故选C.深度解析观察到直线y=kx+2恒过点(
12、0,2),数形结合是解决本题的关键.二、填空题5.答案090解析过点M(0,1)和N(1,m2+1)(mR)的直线的斜率k=m2+1-11-0=m20,故直线的倾斜角的范围为090.6.答案(2,0)解析设P(x,0),则kPA=3-0-1-x=-3x+1,kPB=1-03-x=13-x,由光的反射定律得-kPA=kPB,即3x+1=13-x,解得x=2,即P(2,0).7.答案(-2,1)解析由题意得直线的斜率存在,直线的倾斜角为钝角等价于直线的斜率小于0,即1+a-2a1-a-3=1-a-a-20,所以(a-1)(a+2)0,解得-2a1,故实数a的取值范围为(-2,1).三、解答题8.证
13、明A,B,C是函数y=x3的图象上任意三个不同的点,x1,x2,x3互不相等.A,B,C三点共线,kAB=kAC,即y1-y2x1-x2=y1-y3x1-x3,x13-x23x1-x2=x13-x33x1-x3,整理,得x12+x1x2+x22=x12+x1x3+x32,即(x2-x3)(x1+x2+x3)=0.x2x3,x1+x2+x3=0.9.解析由题图可知直线AB与x轴重合,直线DC与x轴平行,直线AB、DC的倾斜角为0,斜率为0.由BAD=60可得直线AD、BC的倾斜角为60,斜率为tan 60=3.由菱形的性质可得直线AC的倾斜角为30,斜率为tan 30=33;直线BD的倾斜角为60+1202=120,斜率为tan 120=-tan 60=-3.10.解析(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB=2-3-4-3=17,直线AC的斜率kAC=-2-30-3=53.故直线AB的斜率为17,直线AC的斜率为53.(2)如图所示,当点D由点B运动到点C时,直线AD的斜率由kAB增大到kAC,所以直线AD的斜率的取值范围是17,53.
