1、第二章圆锥曲线与方程2.3双曲线2.3.1双曲线及其标准方程课后篇巩固提升1.已知平面上定点F1,F2及动点M.p:|MF1|-|MF2|=m(m为常数);q:点M的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析根据双曲线的定义,qp,但pq,只有当0m0)的左焦点为F1(-5,0),则m=()A.9B.3C.16D.4解析双曲线x29-y2m2=1(m0)的左焦点为F1(-5,0),25-m2=9.m0,m=4,故选D.答案D4.如图,已知双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),点A,B均在双曲线的右支
2、上,线段AB经过双曲线的右焦点F2,|AB|=m,F1为双曲线的左焦点,则ABF1的周长为()A.2a+2mB.4a+2mC.a+mD.2a+4m解析由双曲线的定义,知|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a.又|AF2|+|BF2|=|AB|,所以ABF1的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=4a+2|AB|=4a+2m.答案B5.已知双曲线x2a2-y2=1(a0)的右焦点在直线x+2y-3=0上,则实数a的值为()A.1B.2C.2D.22解析因为直线x+2y-3=0与x轴的交点为(3,0),所以在双曲线x2a2-y2=1(a0)中有c2=a2+1=9,故a2=8,
3、即a=22,故选D.答案D6.若曲线x2k+y2k-1=1表示双曲线,则k的取值范围是.解析依题意应有k(k-1)0,解得0k0)的一个焦点为F1(5,0),设另一个为F2,点P是双曲线上的一点,若|PF1|=9,则|PF2|=.(用数值表示)解析由题意知,双曲线x2a2-y232=1(a0)的一个焦点为F1(5,0),所以c=5,又由a2=c2-b2=25-9=16,所以a=4,因为点P为双曲线上一点,且|PF1|=9,根据双曲线的定义可知|PF2|-|PF1|=2a=8,所以|PF2|=17,或|PF2|=1,故答案为17或1.答案17或18.经过点P(-3,27)和Q(-62,-7),且
4、焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程为.解析设双曲线方程为Ax2-By2=1(AB0),则9A-28B=1,72A-49B=1,解得A=-175,B=-125,故双曲线的标准方程为y225-x275=1.答案y225-x275=19.若k是实数,试讨论方程kx2+2y2-8=0表示何种曲线.解当k0时,曲线方程化为y24-x2-8k=1,表示焦点在y轴的双曲线;当k=0时,曲线方程化为2y2-8=0,表示两条垂直于y轴的直线;当0k2时,曲线方程化为y24+x28k=1,表示焦点在y轴的椭圆.10.(选做题)双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)满足如下条件:ab=3;过右焦点F的直线l的斜率为212,交y轴于点P,线段PF交双曲线于点Q,且|PQ|QF|=21,求双曲线的方程.解如图所示,设右焦点F(c,0),点Q(x,y),直线l:y=212(x-c).令x=0,得P0,-212c.由题意知PQ=2QF,Q23c,-216c,且Q在双曲线上,23c2a2-216c2b2=1.a2+b2=c2,491+b2a2-712a2b2+1=1,解得b2a2=3或b2a2=-716(舍去).又由ab=3,得a2=1,b2=3.所求双曲线方程为x2-y23=1.
