1、2016-2017学年四川省成都市双流中学高三(下)2月月考数学试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1已知集合A=xN|4xx20,B=xN|log2(x+1)2,则AB等于()A2,3B3,4C4,5D5,62已知向量=(,),=(,),则ABC=()A30B45C60D1203已知,则实数a,b,c的大小关系是()AacbBbacCabcDcba4设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为()A15x4B15x4C20ix4D20ix45已知随机变量ZN(1,1),其正态分布密度曲线如图所示,若向正方形OABC
2、中随机投掷10000个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值为()附:若ZN(,2),则 P(Z+)=0.6826;P(2Z+2)=0.9544;P(3Z+3)=0.9974A6038B6587C7028D75396已知f(x)满足对xR,f(x)+f(x)=0,且x0时,f(x)=ex+m(m为常数),则f(ln5)的值为()A4B4C6D67要测量电视塔AB的高度,在C点测得塔顶的仰角是45,在D点测得塔顶的仰角是30,并测得水平面上的BCD=120,CD=40m,则电视塔的高度是()A30mB40mC mD m8设p:实数x、y满足(x1)2+(y1)21,q:实数x、y满足,则p是q的(
3、)A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件9已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,直线l:x=1,点A是l上的一动点,直线AF与抛物线C的一个交点为B,若,则|AB|=()A20B16C10D510已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()ABCD11已知定义在R上的偶函数f(x)在0,+)上递减,若不等式f(x3x2+a)+f(x3+x2a)2f(1)对x0,1恒成立,则实数a的取值范围为()A,1B,1C1,3D(112已知函数f(x)=sin(x+)(0,|),x=为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在(,)上单调,则的最大值是()
4、A5B7C9D11二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分把答案填在答题卡的相应位置)13如图是一个算法的流程图,则输出的a的值是14双曲线=1(a0,b0)焦距长为4,焦点到渐近线的距离等于,则双曲线离心率为15已知定义在R上的单调函数f(x)满足对任意的x1、x2,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)成立若正实数a,b满足f(a)+f(2b1)=0,则+的最小值为16棱锥PABC的四个顶点均在同一个球面上,其中PA平面ABC,ABC是正三角形,PA=2BC=6,则该球的表面积为三、解答题(本大题共5小题,共70分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)17已知数列an的前n
5、项和为Sn,且对任意正整数n,都有an=+2成立(1)记bn=log2an,求数列bn的通项公式;(2)设cn=,求数列cn的前n项和Tn18小李参加一种红包接龙游戏:他在红包里塞了12元,然后发给朋友A,如果A猜中,A将获得红包里的所有金额;如果A未猜中,A将当前的红包转发给朋友B,如果B猜中,A、B平分红包里的金额;如果B未猜中,B将当前的红包转发给朋友C,如果C猜中,A、B和C平分红包里的金额;如果C未猜中,红包里的钱将退回小李的账户,设A、B、C猜中的概率分别为,且A、B、C是否猜中互不影响()求A恰好获得4元的概率;()设A获得的金额为X元,求X的分布列及X的数学期望19如图,在四棱
6、锥PABCD中,ADBC,ADC=PAB=90,BC=CD=ADE为棱AD的中点,异面直线PA与CD所成的角为90()在平面PAB内找一点M,使得直线CM平面PBE,并说明理由;()若二面角PCDA的大小为45,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值20已知椭圆上两个不同的点A,B关于直线y=mx+对称(1)求实数m的取值范围;(2)求AOB面积的最大值(O为坐标原点)21已知函数f(x)=ex+ax2+bx()当a=0,b=1时,求f(x)的单调区间;()设函数f(x)在点P(t,f(t)(0t1)处的切线为l,直线l与y轴相交于点Q若点Q的纵坐标恒小于1,求实数a的取值范围请从下面所给的(2
7、2)、(23)两题中选定一题作答,并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑,按所涂题号进行评分;不涂、多涂均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分.选修4-4:坐标系与参数方程22在直角坐标系xoy中,曲线C1的参数方程为(为参数)以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为=4cos()将曲线C1的方程化为极坐标方程;()已知直线l的参数方程为(,t为参数,t0),l与C1交与点A,l与C2交与点B,且|AB|=,求的值选修4-5:不等式选讲23已知函数f(x)=|2x1|+|2x+1|()若不等式f(x)a22a1恒成立,求实数a的取值范围;()设m0
8、,n0且m+n=1,求证:2016-2017学年四川省成都市双流中学高三(下)2月月考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1已知集合A=xN|4xx20,B=xN|log2(x+1)2,则AB等于()A2,3B3,4C4,5D5,6【考点】交集及其运算【分析】先分别求出集合A和B,由此能求出AB【解答】解:集合A=xN|4xx20=xN|0x4=0,1,2,3,4,B=xN|log2(x+1)2=xN|x3=3,4,5,6,7,AB=xN|3x4=3,4故选:B2已知向量=(,),=(,),则ABC=(
9、)A30B45C60D120【考点】数量积表示两个向量的夹角【分析】根据向量的坐标便可求出,及的值,从而根据向量夹角余弦公式即可求出cosABC的值,根据ABC的范围便可得出ABC的值【解答】解:,;又0ABC180;ABC=30故选A3已知,则实数a,b,c的大小关系是()AacbBbacCabcDcba【考点】对数值大小的比较【分析】化简=, =, =,进而得出【解答】解:=, =, =,而02,abc故选:C4设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为()A15x4B15x4C20ix4D20ix4【考点】二项式系数的性质【分析】利用二项展开式的通项公式即可得到答案【解答】解:
10、(x+i)6的展开式中含x4的项为x4i2=15x4,故选:A5已知随机变量ZN(1,1),其正态分布密度曲线如图所示,若向正方形OABC中随机投掷10000个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值为()附:若ZN(,2),则 P(Z+)=0.6826;P(2Z+2)=0.9544;P(3Z+3)=0.9974A6038B6587C7028D7539【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】求出P(0X1)=10.6826=10.3413=0.6587,即可得出结论【解答】解:由题意P(0X1)=10.6826=10.3413=0.6587,则落入阴影部分点的个数的估计值为100000
11、.6587=6587故选:B6已知f(x)满足对xR,f(x)+f(x)=0,且x0时,f(x)=ex+m(m为常数),则f(ln5)的值为()A4B4C6D6【考点】抽象函数及其应用;函数的值【分析】根据已知可得f(0)=0,进而求出m值,得到x0时,f(x)的解析式,先求出f(ln5),进而可得答案【解答】解:f(x)满足对xR,f(x)+f(x)=0,故f(x)=f(x),故f(0)=0x0时,f(x)=ex+m,f(0)=1+m=0,m=1,即x0时,f(x)=ex1,则f(ln5)=4f(ln5)=f(ln5)=4,故选:B7要测量电视塔AB的高度,在C点测得塔顶的仰角是45,在D点
12、测得塔顶的仰角是30,并测得水平面上的BCD=120,CD=40m,则电视塔的高度是()A30mB40mC mD m【考点】解三角形的实际应用【分析】设出AB=x,进而根据题意将BD、DC用x来表示,然后在DBC中利用余弦定理建立方程求得x,即可得到电视塔的高度【解答】解:由题题意,设AB=x,则BD=x,BC=x在DBC中,BCD=120,CD=40,根据余弦定理,得BD2=BC2+CD22BCCDcosDCB即:(x)2=(40)2+x2240xcos120整理得x220x800=0,解之得x=40或x=20(舍)即所求电视塔的高度为40米故选B8设p:实数x、y满足(x1)2+(y1)2
13、1,q:实数x、y满足,则p是q的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由q:实数x、y满足,画出可行域:则实数x、y满足(x1)2+(y1)21,反之不成立即可判断出关系【解答】解:由q:实数x、y满足,画出可行域:则实数x、y满足(x1)2+(y1)21,反之不成立,例如取点(1,2)则p是q的必要不充分条件故选:A9已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,直线l:x=1,点A是l上的一动点,直线AF与抛物线C的一个交点为B,若,则|AB|=()A20B16C10D5【考点】抛物线的简单性质【分析】设A(1,a),
14、B(m,n),且n2=8m,利用向量共线的坐标表示,由,确定A,B的坐标,即可求得【解答】解:由抛物线C:y2=8x,可得F(2,0),设A(1,a),B(m,n),且n2=8m,1+2=3(m+2),m=3,n=2,a=3n,a=6,|AB|=20故选:A10已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()ABCD【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据三视图作出几何体的直观图,将几何体分解成两个棱锥计算体积【解答】解:做出几何体的直观图如图所示:其中底面ABCD是边长为2的正方形,AE,DF为底面的垂线,且AE=2,DF=1,V=VEABC+VCADFE=+=故选D11已知定义在R上的
15、偶函数f(x)在0,+)上递减,若不等式f(x3x2+a)+f(x3+x2a)2f(1)对x0,1恒成立,则实数a的取值范围为()A,1B,1C1,3D(1【考点】函数恒成立问题;奇偶性与单调性的综合【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化,利用参数分类法以及导数研究函数的最值即可【解答】解:定义在R上的偶函数f(x)在0,+)上递减,不等式f(x3x2+a)+f(x3+x2a)2f(1)等价为2f(x3x2+a)2f(1)即f(x3x2+a)f(1)对x0,1恒成立,即1x3x2+a1对x0,1恒成立,即1ax3x21a对x0,1恒成立,设g(x)=x3x2,则g(x)=3x22
16、x=x(3x2),则g(x)在0,)上递减,在(,1上递增,g(0)=g(1)=0,g()=,g(x),0,即即,得a1,故选:B12已知函数f(x)=sin(x+)(0,|),x=为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在(,)上单调,则的最大值是()A5B7C9D11【考点】正弦函数的图象【分析】根据已知可得为正奇数,且12,结合x=为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,求出满足条件的解析式,并结合f(x)在(,)上单调,可得的最大值【解答】解:x=为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,T=,即 =,(nN)即=2n+1,(nN)即为正奇数,f(
17、x)在(,)上单调,则=,即T=,解得:12,当=11时,+=k,kZ,|,=,此时f(x)在(,)不单调,不满足题意;当=9时,+=k,kZ,|,=,此时f(x)在(,)单调,满足题意;故的最大值为9,故选:C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分把答案填在答题卡的相应位置)13如图是一个算法的流程图,则输出的a的值是9【考点】程序框图【分析】根据已知的程序框图可得,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值,模拟程序的运行过程,可得答案【解答】解:当a=1,b=9时,不满足ab,故a=5,b=7,当a=5,b=7时,不满足ab,故a=9,b=5当a=9,b=5时,满足ab,故
18、输出的a值为9,故答案为:914双曲线=1(a0,b0)焦距长为4,焦点到渐近线的距离等于,则双曲线离心率为2【考点】双曲线的简单性质【分析】根据双曲线的定义和方程求出a,b,c的大小进行求解即可【解答】解:双曲线的焦距长为4,2c=4,c=2,设双曲线的一个焦点为F(c,0),双曲线的一条渐近线为y=,即bxay=0,所以焦点到渐近线的距离d=,则a=,则离心率e=,故答案为:215已知定义在R上的单调函数f(x)满足对任意的x1、x2,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)成立若正实数a,b满足f(a)+f(2b1)=0,则+的最小值为25【考点】抽象函数及其应用;基本不等式【分析】
19、首先分析可得f(0)=0,由所给的等式可得f(a)+f(2b1)=f(0),即fa+(2b1)=f(0),再由f(x)单调可得a+2b=1,再利用基本不等式得出结论【解答】解:根据题意,在f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)中,令x1=0,x2=0,都有f(0+0)=f(0)+f(0)f(0)=0,若f(a)+f(2b1)=0,则有f(a)+f(2b1)=f(0),则有fa+(2b1)=f(0),又由f(x)为单调函数,则有a+2b=1,则+=(+)(a+2b)=17+17+2=25;故答案为:2516棱锥PABC的四个顶点均在同一个球面上,其中PA平面ABC,ABC是正三角形,PA=2B
20、C=6,则该球的表面积为48【考点】球的体积和表面积【分析】由题意把A、B、C、P扩展为三棱柱如图,求出上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径,然后求出球的表面积【解答】解:由题意画出几何体的图形如图,把A、B、C、P扩展为三棱柱,上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径,PA=2AB=6,OE=3,ABC是正三角形,AB=3,AE=,AO=所求球的表面积为:4(2)2=48故答案为:48三、解答题(本大题共5小题,共70分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)17已知数列an的前n项和为Sn,且对任意正整数n,都有an=+2成立(1)记bn=log2an,求数列bn的通项公式;(2)
21、设cn=,求数列cn的前n项和Tn【考点】数列的求和;数列递推式【分析】(1)根据数列的递推公式即可求出数列an为等比数列,根据对数的运算性质可得bn=2n+1,(2)根据裂项求和即可得到答案【解答】解:(1)在中令n=1得a1=8,因为对任意正整数n,都有成立,所以,两式相减得an+1an=an+1,所以an+1=4an,又a10,所以数列an为等比数列,所以an=84n1=22n+1,所以bn=log2an=2n+1,(2)cn=()所以18小李参加一种红包接龙游戏:他在红包里塞了12元,然后发给朋友A,如果A猜中,A将获得红包里的所有金额;如果A未猜中,A将当前的红包转发给朋友B,如果B
22、猜中,A、B平分红包里的金额;如果B未猜中,B将当前的红包转发给朋友C,如果C猜中,A、B和C平分红包里的金额;如果C未猜中,红包里的钱将退回小李的账户,设A、B、C猜中的概率分别为,且A、B、C是否猜中互不影响()求A恰好获得4元的概率;()设A获得的金额为X元,求X的分布列及X的数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差;列举法计算基本事件数及事件发生的概率;离散型随机变量及其分布列【分析】(1)根据相互独立事件的概率公式计算即可;(2)由题意,X的可能取值为0,4,6,12,计算对应的概率值,写出X的分布列与数学期望值【解答】解:(1)A恰好获得4元的概率为=;(2)X的可能取值为0,4
23、,6,12,则P(X=4)=,P(X=0)=,P(X=6)=,P(X=12)=,所以X的分布列为:X04612P数学期望为EX=0+4+6+12=19如图,在四棱锥PABCD中,ADBC,ADC=PAB=90,BC=CD=ADE为棱AD的中点,异面直线PA与CD所成的角为90()在平面PAB内找一点M,使得直线CM平面PBE,并说明理由;()若二面角PCDA的大小为45,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值【考点】直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定【分析】(I)延长AB交直线CD于点M,由点E为AD的中点,可得AE=ED=AD,由BC=CD=AD,可得ED=BC,已知EDBC可得四边形B
24、CDE为平行四边形,即EBCD利用线面平行的判定定理证明得直线CM平面PBE即可(II)如图所示,由ADC=PAB=90,异面直线PA与CD所成的角为90ABCD=M,可得AP平面ABCD由CDPD,PAAD因此PDA是二面角PCDA的平面角,大小为45PA=AD不妨设AD=2,则BC=CD=AD=1可得P(0,0,2),E(0,1,0),C(1,2,0),利用法向量的性质、向量夹角公式、线面角计算公式即可得出【解答】解:(I)延长AB交直线CD于点M,点E为AD的中点,AE=ED=AD,BC=CD=AD,ED=BC,ADBC,即EDBC四边形BCDE为平行四边形,即EBCDABCD=M,MC
25、D,CMBE,BE平面PBE,CM平面PBE,MAB,AB平面PAB,M平面PAB,故在平面PAB内可以找到一点M(M=ABCD),使得直线CM平面PBE(II)如图所示,ADC=PAB=90,异面直线PA与CD所成的角为90,ABCD=M,AP平面ABCDCDPD,PAAD因此PDA是二面角PCDA的平面角,大小为45PA=AD不妨设AD=2,则BC=CD=AD=1P(0,0,2),E(0,1,0),C(1,2,0),=(1,1,0),=(0,1,2),=(0,0,2),设平面PCE的法向量为=(x,y,z),则,可得:令y=2,则x=2,z=1,=(2,2,1)设直线PA与平面PCE所成角
26、为,则sin=20已知椭圆上两个不同的点A,B关于直线y=mx+对称(1)求实数m的取值范围;(2)求AOB面积的最大值(O为坐标原点)【考点】直线与圆锥曲线的关系【分析】(1)由题意,可设直线AB的方程为x=my+n,代入椭圆方程可得(m2+2)y22mny+n22=0,设A(x1,y1),B(x2,y2)可得0,设线段AB的中点P(x0,y0),利用中点坐标公式及其根与系数的可得P,代入直线y=mx+,可得,代入0,即可解出(2)直线AB与x轴交点横坐标为n,可得SOAB=,再利用均值不等式即可得出【解答】解:(1)由题意,可设直线AB的方程为x=my+n,代入椭圆方程,可得(m2+2)y
27、22mny+n22=0,设A(x1,y1),B(x2,y2)由题意,=4m2n24(m2+2)(n22)=8(m2n2+2)0,设线段AB的中点P(x0,y0),则x0=m+n=,由于点P在直线y=mx+上,=+,代入0,可得3m4+4m240,解得m2,或m(2)直线AB与x轴交点横坐标为n,SOAB=|n|=,由均值不等式可得:n2(m2n2+2)=,SAOB=,当且仅当n2=m2n2+2,即2n2=m2+2,又,解得m=,当且仅当m=时,SAOB取得最大值为21已知函数f(x)=ex+ax2+bx()当a=0,b=1时,求f(x)的单调区间;()设函数f(x)在点P(t,f(t)(0t1
28、)处的切线为l,直线l与y轴相交于点Q若点Q的纵坐标恒小于1,求实数a的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性【分析】(I)当a=0,b=1时,f(x)=exx,f(x)=ex1,分别解出f(x)0,f(x)0,即可得出其单调区间(II)利用导数的运算法则可得f(x)=ex+2ax+b,利用导数的几何意义可得:函数f(x)在点P(t,f(t)(0t1)处的切线l的斜率k=f(t)=et+2at+b,即可得到切线l的方程为y(et+at2+bt)=(et+2at+b)(xt)令x=0,得y=(1t)etat2(0t1)当0t1时,要使得点Q的纵坐标恒小于1,只需
29、(1t)etat21,即(t1)et+at2+10(0t1)令g(t)=(t1)et+at2+1,利用导数通过分类讨论即可得到其单调性【解答】解:()当a=0,b=1时,f(x)=exx,f(x)=ex1,当x(,0)时,f(x)0;当x(0,+)时,f(x)0;函数f(x)的单调递减区间为(,0),单调递增区间为(0,+)()f(x)=ex+2ax+b,函数f(x)在点P(t,f(t)(0t1)处的切线l的斜率k=f(t)=et+2at+b,切线l的方程为y(et+at2+bt)=(et+2at+b)(xt),令x=0,得y=(1t)etat2(0t1)当0t1时,要使得点Q的纵坐标恒小于1
30、,只需(1t)etat21,即(t1)et+at2+10(0t1)令g(t)=(t1)et+at2+1,则g(t)=t(et+2a),0t1,1ete,若2a1即时,et+2a0,当t(0,1)时,g(t)0,即g(t)在(0,1)上单调递增,g(t)g(0)=0恒成立,满足题意若2ae,即时,et+2a0当t(0,1)时,g(t)0,即g(t)在(0,1)上单调递减g(t)g(0),时不满足条件若e2a1,即时,0ln(2a)1列表如下:t(0,ln(2a)ln(2a)(ln(2a),1) g(t)0+g(t)单调递减极小值单调递增g(ln(2a)g(0)=0,不满足题意综上可得:当a时,g
31、(t)0,0t1此时点Q的纵坐标恒小于1请从下面所给的(22)、(23)两题中选定一题作答,并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑,按所涂题号进行评分;不涂、多涂均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分.选修4-4:坐标系与参数方程22在直角坐标系xoy中,曲线C1的参数方程为(为参数)以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为=4cos()将曲线C1的方程化为极坐标方程;()已知直线l的参数方程为(,t为参数,t0),l与C1交与点A,l与C2交与点B,且|AB|=,求的值【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程【分析】(1)将曲线C1的方
32、程化为普通方程,然后转化求解C1的极坐标方程(2)曲线l的参数方程为(,t为参数,t0),化为y=xtan由题意可得:|OA|=1=2cos,|OB|=2=4cos,利用|AB|=,即可得出【解答】解:(1)曲线C1的参数方程为(为参数)可得(x1)2+y2=1,x=cos,y=sin,C1的极坐标方程为22cos=0,即=2cos(2)曲线l的参数方程为(,t为参数,t0),化为y=xtan由题意可得:|OA|=1=2cos,|OB|=2=4cos,|AB|=,|OA|OB|=2cos=,即cos=又,=选修4-5:不等式选讲23已知函数f(x)=|2x1|+|2x+1|()若不等式f(x)a22a1恒成立,求实数a的取值范围;()设m0,n0且m+n=1,求证:【考点】不等式的证明;绝对值不等式的解法【分析】()求出f(x)的最小值,不等式f(x)a22a1恒成立,可得a22a12,即可求实数a的取值范围;()要证:成立,只需证+2,利用分析法的证明步骤,结合基本不等式证明即可【解答】()解:f(x)=|2x1|+|2x+1|(2x1)(2x+1)|=2,不等式f(x)a22a1恒成立,a22a12,a22a30,1a3;()要证:成立,只需证+2,两边平方,整理即证(2m+1)(2n+1)4,即证mn,又m+n=1,mn=故原不等式成立2017年4月23日