1、2016-2017学年四川省成都市双流中学高三（下）2月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合A=xN|4xx20，B=xN|log2（x+1）2，则AB等于（）A2，3B3，4C4，5D5，62已知向量=（，），=（，），则ABC=（）A30B45C60D1203已知，则实数a，b，c的大小关系是（）AacbBbacCabcDcba4设i为虚数单位，则（x+i）6的展开式中含x4的项为（）A15x4B15x4C20ix4D20ix45已知随机变量ZN（1，1），其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC
2、中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（）附：若ZN（，2），则 P（Z+）=0.6826；P（2Z+2）=0.9544；P（3Z+3）=0.9974A6038B6587C7028D75396已知f（x）满足对xR，f（x）+f（x）=0，且x0时，f（x）=ex+m（m为常数），则f（ln5）的值为（）A4B4C6D67要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶的仰角是45，在D点测得塔顶的仰角是30，并测得水平面上的BCD=120，CD=40m，则电视塔的高度是（）A30mB40mC mD m8设p：实数x、y满足（x1）2+（y1）21，q：实数x、y满足，则p是q的（
3、）A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件9已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，直线l：x=1，点A是l上的一动点，直线AF与抛物线C的一个交点为B，若，则|AB|=（）A20B16C10D510已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）ABCD11已知定义在R上的偶函数f（x）在0，+）上递减，若不等式f（x3x2+a）+f（x3+x2a）2f（1）对x0，1恒成立，则实数a的取值范围为（）A，1B，1C1，3D（112已知函数f（x）=sin（x+）（0，|），x=为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则的最大值是（）
4、A5B7C9D11二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡的相应位置）13如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是14双曲线=1（a0，b0）焦距长为4，焦点到渐近线的距离等于，则双曲线离心率为15已知定义在R上的单调函数f（x）满足对任意的x1、x2，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）成立若正实数a，b满足f（a）+f（2b1）=0，则+的最小值为16棱锥PABC的四个顶点均在同一个球面上，其中PA平面ABC，ABC是正三角形，PA=2BC=6，则该球的表面积为三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）17已知数列an的前n
5、项和为Sn，且对任意正整数n，都有an=+2成立（1）记bn=log2an，求数列bn的通项公式；（2）设cn=，求数列cn的前n项和Tn18小李参加一种红包接龙游戏：他在红包里塞了12元，然后发给朋友A，如果A猜中，A将获得红包里的所有金额；如果A未猜中，A将当前的红包转发给朋友B，如果B猜中，A、B平分红包里的金额；如果B未猜中，B将当前的红包转发给朋友C，如果C猜中，A、B和C平分红包里的金额；如果C未猜中，红包里的钱将退回小李的账户，设A、B、C猜中的概率分别为，且A、B、C是否猜中互不影响（）求A恰好获得4元的概率；（）设A获得的金额为X元，求X的分布列及X的数学期望19如图，在四棱
6、锥PABCD中，ADBC，ADC=PAB=90，BC=CD=ADE为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90（）在平面PAB内找一点M，使得直线CM平面PBE，并说明理由；（）若二面角PCDA的大小为45，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值20已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称（1）求实数m的取值范围；（2）求AOB面积的最大值（O为坐标原点）21已知函数f（x）=ex+ax2+bx（）当a=0，b=1时，求f（x）的单调区间；（）设函数f（x）在点P（t，f（t）（0t1）处的切线为l，直线l与y轴相交于点Q若点Q的纵坐标恒小于1，求实数a的取值范围请从下面所给的（2
7、2）、（23）两题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为=4cos（）将曲线C1的方程化为极坐标方程；（）已知直线l的参数方程为（，t为参数，t0），l与C1交与点A，l与C2交与点B，且|AB|=，求的值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|2x1|+|2x+1|（）若不等式f（x）a22a1恒成立，求实数a的取值范围；（）设m0
8、，n0且m+n=1，求证：2016-2017学年四川省成都市双流中学高三（下）2月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合A=xN|4xx20，B=xN|log2（x+1）2，则AB等于（）A2，3B3，4C4，5D5，6【考点】交集及其运算【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出AB【解答】解：集合A=xN|4xx20=xN|0x4=0，1，2，3，4，B=xN|log2（x+1）2=xN|x3=3，4，5，6，7，AB=xN|3x4=3，4故选：B2已知向量=（，），=（，），则ABC=（
9、）A30B45C60D120【考点】数量积表示两个向量的夹角【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cosABC的值，根据ABC的范围便可得出ABC的值【解答】解：，；又0ABC180；ABC=30故选A3已知，则实数a，b，c的大小关系是（）AacbBbacCabcDcba【考点】对数值大小的比较【分析】化简=， =， =，进而得出【解答】解：=， =， =，而02，abc故选：C4设i为虚数单位，则（x+i）6的展开式中含x4的项为（）A15x4B15x4C20ix4D20ix4【考点】二项式系数的性质【分析】利用二项展开式的通项公式即可得到答案【解答】解：
10、（x+i）6的展开式中含x4的项为x4i2=15x4，故选：A5已知随机变量ZN（1，1），其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（）附：若ZN（，2），则 P（Z+）=0.6826；P（2Z+2）=0.9544；P（3Z+3）=0.9974A6038B6587C7028D7539【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】求出P（0X1）=10.6826=10.3413=0.6587，即可得出结论【解答】解：由题意P（0X1）=10.6826=10.3413=0.6587，则落入阴影部分点的个数的估计值为100000
11、.6587=6587故选：B6已知f（x）满足对xR，f（x）+f（x）=0，且x0时，f（x）=ex+m（m为常数），则f（ln5）的值为（）A4B4C6D6【考点】抽象函数及其应用；函数的值【分析】根据已知可得f（0）=0，进而求出m值，得到x0时，f（x）的解析式，先求出f（ln5），进而可得答案【解答】解：f（x）满足对xR，f（x）+f（x）=0，故f（x）=f（x），故f（0）=0x0时，f（x）=ex+m，f（0）=1+m=0，m=1，即x0时，f（x）=ex1，则f（ln5）=4f（ln5）=f（ln5）=4，故选：B7要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶的仰角是45，在D点
12、测得塔顶的仰角是30，并测得水平面上的BCD=120，CD=40m，则电视塔的高度是（）A30mB40mC mD m【考点】解三角形的实际应用【分析】设出AB=x，进而根据题意将BD、DC用x来表示，然后在DBC中利用余弦定理建立方程求得x，即可得到电视塔的高度【解答】解：由题题意，设AB=x，则BD=x，BC=x在DBC中，BCD=120，CD=40，根据余弦定理，得BD2=BC2+CD22BCCDcosDCB即：（x）2=（40）2+x2240xcos120整理得x220x800=0，解之得x=40或x=20（舍）即所求电视塔的高度为40米故选B8设p：实数x、y满足（x1）2+（y1）2
13、1，q：实数x、y满足，则p是q的（）A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由q：实数x、y满足，画出可行域：则实数x、y满足（x1）2+（y1）21，反之不成立即可判断出关系【解答】解：由q：实数x、y满足，画出可行域：则实数x、y满足（x1）2+（y1）21，反之不成立，例如取点（1，2）则p是q的必要不充分条件故选：A9已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，直线l：x=1，点A是l上的一动点，直线AF与抛物线C的一个交点为B，若，则|AB|=（）A20B16C10D5【考点】抛物线的简单性质【分析】设A（1，a），
14、B（m，n），且n2=8m，利用向量共线的坐标表示，由，确定A，B的坐标，即可求得【解答】解：由抛物线C：y2=8x，可得F（2，0），设A（1，a），B（m，n），且n2=8m，1+2=3（m+2），m=3，n=2，a=3n，a=6，|AB|=20故选：A10已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）ABCD【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据三视图作出几何体的直观图，将几何体分解成两个棱锥计算体积【解答】解：做出几何体的直观图如图所示：其中底面ABCD是边长为2的正方形，AE，DF为底面的垂线，且AE=2，DF=1，V=VEABC+VCADFE=+=故选D11已知定义在R上的
15、偶函数f（x）在0，+）上递减，若不等式f（x3x2+a）+f（x3+x2a）2f（1）对x0，1恒成立，则实数a的取值范围为（）A，1B，1C1，3D（1【考点】函数恒成立问题；奇偶性与单调性的综合【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化，利用参数分类法以及导数研究函数的最值即可【解答】解：定义在R上的偶函数f（x）在0，+）上递减，不等式f（x3x2+a）+f（x3+x2a）2f（1）等价为2f（x3x2+a）2f（1）即f（x3x2+a）f（1）对x0，1恒成立，即1x3x2+a1对x0，1恒成立，即1ax3x21a对x0，1恒成立，设g（x）=x3x2，则g（x）=3x22
16、x=x（3x2），则g（x）在0，）上递减，在（，1上递增，g（0）=g（1）=0，g（）=，g（x），0，即即，得a1，故选：B12已知函数f（x）=sin（x+）（0，|），x=为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则的最大值是（）A5B7C9D11【考点】正弦函数的图象【分析】根据已知可得为正奇数，且12，结合x=为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得的最大值【解答】解：x=为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，T=，即 =，（nN）即=2n+1，（nN）即为正奇数，f（
17、x）在（，）上单调，则=，即T=，解得：12，当=11时，+=k，kZ，|，=，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当=9时，+=k，kZ，|，=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故的最大值为9，故选：C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡的相应位置）13如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是9【考点】程序框图【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，可得答案【解答】解：当a=1，b=9时，不满足ab，故a=5，b=7，当a=5，b=7时，不满足ab，故a=9，b=5当a=9，b=5时，满足ab，故
18、输出的a值为9，故答案为：914双曲线=1（a0，b0）焦距长为4，焦点到渐近线的距离等于，则双曲线离心率为2【考点】双曲线的简单性质【分析】根据双曲线的定义和方程求出a，b，c的大小进行求解即可【解答】解：双曲线的焦距长为4，2c=4，c=2，设双曲线的一个焦点为F（c，0），双曲线的一条渐近线为y=，即bxay=0，所以焦点到渐近线的距离d=，则a=，则离心率e=，故答案为：215已知定义在R上的单调函数f（x）满足对任意的x1、x2，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）成立若正实数a，b满足f（a）+f（2b1）=0，则+的最小值为25【考点】抽象函数及其应用；基本不等式【分析】
19、首先分析可得f（0）=0，由所给的等式可得f（a）+f（2b1）=f（0），即fa+（2b1）=f（0），再由f（x）单调可得a+2b=1，再利用基本不等式得出结论【解答】解：根据题意，在f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）中，令x1=0，x2=0，都有f（0+0）=f（0）+f（0）f（0）=0，若f（a）+f（2b1）=0，则有f（a）+f（2b1）=f（0），则有fa+（2b1）=f（0），又由f（x）为单调函数，则有a+2b=1，则+=（+）（a+2b）=17+17+2=25；故答案为：2516棱锥PABC的四个顶点均在同一个球面上，其中PA平面ABC，ABC是正三角形，PA=2B
20、C=6，则该球的表面积为48【考点】球的体积和表面积【分析】由题意把A、B、C、P扩展为三棱柱如图，求出上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，然后求出球的表面积【解答】解：由题意画出几何体的图形如图，把A、B、C、P扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，PA=2AB=6，OE=3，ABC是正三角形，AB=3，AE=，AO=所求球的表面积为：4（2）2=48故答案为：48三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）17已知数列an的前n项和为Sn，且对任意正整数n，都有an=+2成立（1）记bn=log2an，求数列bn的通项公式；（2）
21、设cn=，求数列cn的前n项和Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）根据数列的递推公式即可求出数列an为等比数列，根据对数的运算性质可得bn=2n+1，（2）根据裂项求和即可得到答案【解答】解：（1）在中令n=1得a1=8，因为对任意正整数n，都有成立，所以，两式相减得an+1an=an+1，所以an+1=4an，又a10，所以数列an为等比数列，所以an=84n1=22n+1，所以bn=log2an=2n+1，（2）cn=（）所以18小李参加一种红包接龙游戏：他在红包里塞了12元，然后发给朋友A，如果A猜中，A将获得红包里的所有金额；如果A未猜中，A将当前的红包转发给朋友B，如果B
22、猜中，A、B平分红包里的金额；如果B未猜中，B将当前的红包转发给朋友C，如果C猜中，A、B和C平分红包里的金额；如果C未猜中，红包里的钱将退回小李的账户，设A、B、C猜中的概率分别为，且A、B、C是否猜中互不影响（）求A恰好获得4元的概率；（）设A获得的金额为X元，求X的分布列及X的数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算即可；（2）由题意，X的可能取值为0，4，6，12，计算对应的概率值，写出X的分布列与数学期望值【解答】解：（1）A恰好获得4元的概率为=；（2）X的可能取值为0，4
23、，6，12，则P（X=4）=，P（X=0）=，P（X=6）=，P（X=12）=，所以X的分布列为：X04612P数学期望为EX=0+4+6+12=19如图，在四棱锥PABCD中，ADBC，ADC=PAB=90，BC=CD=ADE为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90（）在平面PAB内找一点M，使得直线CM平面PBE，并说明理由；（）若二面角PCDA的大小为45，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定【分析】（I）延长AB交直线CD于点M，由点E为AD的中点，可得AE=ED=AD，由BC=CD=AD，可得ED=BC，已知EDBC可得四边形B
24、CDE为平行四边形，即EBCD利用线面平行的判定定理证明得直线CM平面PBE即可（II）如图所示，由ADC=PAB=90，异面直线PA与CD所成的角为90ABCD=M，可得AP平面ABCD由CDPD，PAAD因此PDA是二面角PCDA的平面角，大小为45PA=AD不妨设AD=2，则BC=CD=AD=1可得P（0，0，2），E（0，1，0），C（1，2，0），利用法向量的性质、向量夹角公式、线面角计算公式即可得出【解答】解：（I）延长AB交直线CD于点M，点E为AD的中点，AE=ED=AD，BC=CD=AD，ED=BC，ADBC，即EDBC四边形BCDE为平行四边形，即EBCDABCD=M，MC
25、D，CMBE，BE平面PBE，CM平面PBE，MAB，AB平面PAB，M平面PAB，故在平面PAB内可以找到一点M（M=ABCD），使得直线CM平面PBE（II）如图所示，ADC=PAB=90，异面直线PA与CD所成的角为90，ABCD=M，AP平面ABCDCDPD，PAAD因此PDA是二面角PCDA的平面角，大小为45PA=AD不妨设AD=2，则BC=CD=AD=1P（0，0，2），E（0，1，0），C（1，2，0），=（1，1，0），=（0，1，2），=（0，0，2），设平面PCE的法向量为=（x，y，z），则，可得：令y=2，则x=2，z=1，=（2，2，1）设直线PA与平面PCE所成角
26、为，则sin=20已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称（1）求实数m的取值范围；（2）求AOB面积的最大值（O为坐标原点）【考点】直线与圆锥曲线的关系【分析】（1）由题意，可设直线AB的方程为x=my+n，代入椭圆方程可得（m2+2）y22mny+n22=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）可得0，设线段AB的中点P（x0，y0），利用中点坐标公式及其根与系数的可得P，代入直线y=mx+，可得，代入0，即可解出（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，可得SOAB=，再利用均值不等式即可得出【解答】解：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=my+n，代入椭圆方程，可得（m2+2）y
27、22mny+n22=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）由题意，=4m2n24（m2+2）（n22）=8（m2n2+2）0，设线段AB的中点P（x0，y0），则x0=m+n=，由于点P在直线y=mx+上，=+，代入0，可得3m4+4m240，解得m2，或m（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，SOAB=|n|=，由均值不等式可得：n2（m2n2+2）=，SAOB=，当且仅当n2=m2n2+2，即2n2=m2+2，又，解得m=，当且仅当m=时，SAOB取得最大值为21已知函数f（x）=ex+ax2+bx（）当a=0，b=1时，求f（x）的单调区间；（）设函数f（x）在点P（t，f（t）（0t1
28、）处的切线为l，直线l与y轴相交于点Q若点Q的纵坐标恒小于1，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性【分析】（I）当a=0，b=1时，f（x）=exx，f（x）=ex1，分别解出f（x）0，f（x）0，即可得出其单调区间（II）利用导数的运算法则可得f（x）=ex+2ax+b，利用导数的几何意义可得：函数f（x）在点P（t，f（t）（0t1）处的切线l的斜率k=f（t）=et+2at+b，即可得到切线l的方程为y（et+at2+bt）=（et+2at+b）（xt）令x=0，得y=（1t）etat2（0t1）当0t1时，要使得点Q的纵坐标恒小于1，只需
29、（1t）etat21，即（t1）et+at2+10（0t1）令g（t）=（t1）et+at2+1，利用导数通过分类讨论即可得到其单调性【解答】解：（）当a=0，b=1时，f（x）=exx，f（x）=ex1，当x（，0）时，f（x）0；当x（0，+）时，f（x）0；函数f（x）的单调递减区间为（，0），单调递增区间为（0，+）（）f（x）=ex+2ax+b，函数f（x）在点P（t，f（t）（0t1）处的切线l的斜率k=f（t）=et+2at+b，切线l的方程为y（et+at2+bt）=（et+2at+b）（xt），令x=0，得y=（1t）etat2（0t1）当0t1时，要使得点Q的纵坐标恒小于1
30、，只需（1t）etat21，即（t1）et+at2+10（0t1）令g（t）=（t1）et+at2+1，则g（t）=t（et+2a），0t1，1ete，若2a1即时，et+2a0，当t（0，1）时，g（t）0，即g（t）在（0，1）上单调递增，g（t）g（0）=0恒成立，满足题意若2ae，即时，et+2a0当t（0，1）时，g（t）0，即g（t）在（0，1）上单调递减g（t）g（0），时不满足条件若e2a1，即时，0ln（2a）1列表如下：t（0，ln（2a）ln（2a）（ln（2a），1） g（t）0+g（t）单调递减极小值单调递增g（ln（2a）g（0）=0，不满足题意综上可得：当a时，g
31、（t）0，0t1此时点Q的纵坐标恒小于1请从下面所给的（22）、（23）两题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为=4cos（）将曲线C1的方程化为极坐标方程；（）已知直线l的参数方程为（，t为参数，t0），l与C1交与点A，l与C2交与点B，且|AB|=，求的值【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（1）将曲线C1的方
32、程化为普通方程，然后转化求解C1的极坐标方程（2）曲线l的参数方程为（，t为参数，t0），化为y=xtan由题意可得：|OA|=1=2cos，|OB|=2=4cos，利用|AB|=，即可得出【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（为参数）可得（x1）2+y2=1，x=cos，y=sin，C1的极坐标方程为22cos=0，即=2cos（2）曲线l的参数方程为（，t为参数，t0），化为y=xtan由题意可得：|OA|=1=2cos，|OB|=2=4cos，|AB|=，|OA|OB|=2cos=，即cos=又，=选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|2x1|+|2x+1|（）若不等式f（x）a22a1恒成立，求实数a的取值范围；（）设m0，n0且m+n=1，求证：【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法【分析】（）求出f（x）的最小值，不等式f（x）a22a1恒成立，可得a22a12，即可求实数a的取值范围；（）要证：成立，只需证+2，利用分析法的证明步骤，结合基本不等式证明即可【解答】（）解：f（x）=|2x1|+|2x+1|（2x1）（2x+1）|=2，不等式f（x）a22a1恒成立，a22a12，a22a30，1a3；（）要证：成立，只需证+2，两边平方，整理即证（2m+1）（2n+1）4，即证mn，又m+n=1，mn=故原不等式成立2017年4月23日