1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业 三十六基本不等式(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知下列结论:的最小值是2;若a0,b0,且ab,则的最大值是2;若x,则sinx+的最小值是4;x2+的最小值是1.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.因为=|x|+2,当且仅当x=1时,等号成立,所以正确;因为=2,当且仅当a=b时,等号成立,所以不正确;当x时,sinx0,sinx+2=4.因为sinx2,所以上式等号不成立,所以不正确;x2+=x2+1+-1
2、2-1=1,当且仅当x2+1=,即x2=0时,等号成立,所以正确.2.(2017太原模拟)若正数x,y满足4x2+9y2+3xy=30,则xy的最大值为()A.B.C.D.2【解析】选D.30=4x2+9y2+3xy2+3xy,即3015xy,所以xy2,当且仅当4x2=9y2,即x=,y=时等号成立.3.(2017马鞍山模拟)设x0,y0,且2x+y=6,则9x+3y有()A.最大值27B.最小值27C.最大值54D.最小值54【解析】选D.因为x0,y0,且2x+y=6,所以9x+3y2=2=2=54,当且仅当x=,y=3时,9x+3y有最小值54.4.(2017长春模拟)已知log2(x
3、+y+3)=log2x+log2y,则x+y的取值范围为()A.(0,6B.(0,1+C.6,+)D.1+,+)【解题指南】利用对数的性质转化为关于x,y的等式,然后利用基本不等式求解.【解析】选C.由log2(x+y+3)=log2x+log2y=log2xy得x+y+3=xy,且x0,y0.又x+y+3=xy,即(x+y)2-4(x+y)-120,解得x+y6或x+y-2,因为x0,y0,所以x+y6,当且仅当x=y=3时,等号成立.5.已知函数f(x)=(x-1),则()A.f(x)有最小值4B.f(x)有最小值-4C.f(x)有最大值4D.f(x)有最大值-4【解析】选A.f(x)=-
4、=-=-=-(x+1)+2,因为x-1,所以x+10,所以f(x)2+2=4,当且仅当-(x+1)=,即x=-2时,等号成立.6.(2017太原模拟)某产品的产量在第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,设这两年的平均增长率为x,则有()A.x=B.x1,t-1+b=2,t+b=3,所以+=+=2+=2+(t+b)=2+2+(2+2)=,当且仅当=,即t=b=时,等号成立.二、填空题(每小题5分,共15分)8.已知函数y=a2x-4+1(a0且a1)的图像过定点A,且点A在直线+=1(m,n0)上,则m+n的最小值为_.世纪金榜导学号99972641【解析】由已知,函数y=a2x-4+1的图像
5、过定点A(2,2),且点A在直线+=1上,所以+=1,所以m+n=(m+n)=4+4+2=8,当且仅当即m=n=4时取等号,所以m+n的最小值为8.答案:89.(2014湖北高考)某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶,单位:米/秒)、平均车长l(单位:米)的值有关,其公式为F=.世纪金榜导学号99972642(1)如果l=6.05,则最大车流量为_辆/小时.(2)如果l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加_辆/小时.【解析】(1)当l=6.05时,则F=1900,当且仅当v=,即v=1
6、1(米/秒)时取等号.(2)当l=5时,则F=2000,当且仅当v=,即v=10(米/秒)时取等号,此时最大车流量比(1)中的最大车流量增加100辆/小时.答案:(1)1900(2)10010.(2017福州模拟)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2ccosB=2a+b,若ABC的面积为c,则ab的最小值为_.【解析】由正弦定理及2ccosB=2a+b,得2sinCcosB=2sinA+sinB,因为A+B+C=,所以sinA=sin(B+C),则2sinCcosB=2sin(B+C)+sinB,即2sinBcosC+sinB=0,又0B0,则cosC=-,因为0C,所以C=
7、,所以sinC=,则ABC的面积为absinC=ab=c,即c=3ab,结合c2=a2+b2-2abcosC,可得a2+b2+ab=9a2b2,因为a2+b22ab,当且仅当a=b时取等号,所以2ab+ab9a2b2,即ab,故ab的最小值是.答案:(20分钟40分)1.(5分)(2017西安模拟)已知正实数a,b满足a+2b=1,则a2+4b2+的最小值是()A.B.4C.8D.【解题指南】先由基本不等式求ab的范围,再配方把问题转化为求关于ab的函数最值问题.【解析】选D.由1=a+2b2,得00,b0,所以a2+4b2+4ab+2=4,故a2+4b2+的最小值为4,出错的原因是忽视了已知
8、条件a+2b=1,对上述解法中两个等号的影响,在a+2b=1的条件上,两次等号不能同时成立.2.(5分)( 2017兰州模拟)三个实数x,y,z成等比数列,若x+y+z=1成立,则实数y的取值范围是()A.(-,-1B.-1,0)C.D.(0,1【解析】选B.设公比为q,则x=,z=yq,所以+y+yq=1,y=,当q0时,0y,当q0时,-1y1,y1.所以+=1+4+=5+=5+=5+=4x+y=(4x+y)=5+5+2=9.当且仅当=,即x=,y=3时,等号成立.答案:93.(5分)(2015重庆高考改编)设a,b0,a+b=5,若+m2+m+3恒成立,则实数m的取值范围是_.世纪金榜导
9、学号99972643【解析】因为a,b0,a+b=5,所以(+)2=a+1+b+3+2=9+29+(a+1)+(b+3)=18,即+3,当且仅当a+1=b+3,即a=,b=时,等号成立.所以m2+m+33,即m2+m0,m-1或m0.答案:(-,-10,+)【加固训练】(2015四川高考)设实数x,y满足则xy的最大值为()A.B.C.12D.14【解析】选A.由条件得:y2.于是,xy2x=.当且仅当x=,y=5时xy取到最大值.经验证,x=,y=5在可行域内.4.(12分)已知不等式x2-5ax+b0的解集为x|x4或x1.世纪金榜导学号99972644(1)求实数a,b的值.(2)若0x
10、1,f(x)=+,求f(x)的最小值.【解题指南】(1)由三个二次的关系可得解方程组可得.(2)由(1)知f(x)=+=x+(1-x)=5+,由基本不等式可得.【解析】(1)由题意可得解得所以实数a,b的值分别为1,4.(2)由(1)知f(x)=+,因为0x1,所以01-x0,0,所以f(x)=+=x+(1-x)=5+5+2=9,当且仅当=,即x=时,等号成立.所以f(x)的最小值为9.5.(13分)(2017恩施模拟)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物需建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(x
11、)(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=(0x10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.世纪金榜导学号99972645(1)求k的值及f(x)的表达式.(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.【解析】(1)由题设,建筑物每年能源消耗费用为C(x)=,由C(0)=8,得k=40,所以C(x)=.而隔热层建造费用为C1(x)=6x,故f(x)=20C(x)+C1(x)=20+6x=+6x(0x10).(2)f(x)=+6x=+6x+10-102-10=70,当且仅当=6x+10,即x=5时取等号
12、.故当隔热层修建厚度为5cm时,总费用最小,最小值为70万元.【一题多解】本题(2)还可用如下方法求解:f(x)=6-,令f(x)=0,即=6,解得x=5或x=-(舍去).当0x5时,f(x)0;当5x0,故x=5是f(x)的最小值点,对应的最小值为f(5)=65+=70.所以当隔热层修建厚度为5cm时,总费用达到最小,最小值为70万元.【加固训练】为响应国家扩大内需的政策,某厂家拟在2016年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(t0)万元满足x=4-(k为常数).如果不搞促销活动,那么该产品的年销量只能是1万件.已知2016年生产该产品的固定投入为
13、6万元,每生产1万件该产品需要再投入12万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分).(1)将该厂家2016年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数.(2)该厂家2016年的年促销费用投入多少万元时,厂家利润最大?【解析】(1)由题意有1=4-,得k=3,故x=4-.故y=1.5x-(6+12x)-t=3+6x-t=3+6-t=27-t(t0).(2)由(1)知:y=27-t=27.5-.因为+2=6,当且仅当=t+,即t=2.5时等号成立.故y=27-t=27.5-+27.5-6=21.5.所以当年促销费用投入2.5万元时,厂家利润最大.关闭Word文档返回原板块
