1、2015-2016学年辽宁省大连市瓦房店高中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题每小题5分，计60分）1已知命题p：“xR，exx10”，则命题p（）AxR，exx10 BxR，exx10CxR，exx10 DxR，exx102抛物线y=4x2的焦点坐标为（）A（1，0） B（0，1） C D3若aR，则“a2a”是“a1”的（）条件A充分不必要 B必要不充分C充要 D既不充分也不必要4椭圆=1的离心率为，则k的值为（）A21 B21 C或21 D或215设条件p：|x2|3，条件q：0xa，其中a为正常数，若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是（）A（0，5B（0，
2、5） C5，+） D（5，+）6已知双曲线的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为（）A4 B C1D07已知对kR，直线ykx1=0与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围是（）A（1，2B1，2） C1，2）（2，+） D（2，+）8下列命题错误的是（）A命题“若x21，则1x1”的逆否命题是“若x1或x1，则x21”B若p：0，则p：0C命题p；存在x0R，使得x02+x0+10，则p；任意xR，使得x2+x+10D“am2bm2”是“ab”的充分不必要条件9过抛物线y2=2px（p0）的焦点F且倾斜角为60的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于
3、（）A5 B4 C3 D210椭圆ax2+by2=1与直线y=1x交于A、B两点，过原点与线段AB的中点的直线斜率为，则的值为（）A B C D11我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”已知F1，F2是一对相关曲线的焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当F1PF2=60时，这一对相关曲线中椭圆的离心率为（）A B C D12已知双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2的直线交双曲线的右支于P，Q两点，若|PF1|=|F1F2|，且3|PF2|=2|QF2|，则该双曲线的离心率为（）A B C2 D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20
4、分.把答案填在答题纸对应横线上.13若“ma”是“方程x2+x+m=0有实数根”的充分条件，则实数a的取值范围是14已知两定点B（3，0），C（3，0），ABC的周长等于16，则顶点A的轨迹方程为15如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降2米后水面宽米16已知A，D分别是椭圆=1（ab0）的左顶点和上顶点，点P是线段AD上的任意一点，点F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，且的最大值是1，最小值是，则椭圆的标准方程三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应在答题纸对应区域内写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17设命题x+2cosxa=0；命题q：xR，使得x
5、2+2ax8+6a0，如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的取值范围18设p：实数x满足x24ax+3a20，其中a0，q：实数x满足（）若a=1，p且q为真，求实数x的取值范围；（）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围19已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m（1）当直线与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围（2）求被椭圆截得的最长弦所在直线方程20设A、B分别为双曲线的左右顶点，双曲线的实轴长为，焦点到渐近线的距离为（1）求双曲线的方程；（2）已知直线与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使，求t的值及点D的坐标21已知椭圆+=1（ab0）的离心
6、率是（1）若点P（2，1）在椭圆上，求椭圆的方程；（2）若存在过点A（1，0）的直线l，使点C（2，0）关于直线l的对称点在椭圆上，求椭圆的焦距的取值范围22已知过点（2，0）的直线l1交抛物线C：y2=2px于A，B两点，直线l2：x=2交x轴于点Q（1）设直线QA，QB的斜率分别为k1，k2，求k1+k2的值；（2）点P为抛物线C上异于A，B的任意一点，直线PA，PB交直线l2于M，N两点， =2，求抛物线C的方程2015-2016学年辽宁省大连市瓦房店高中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题每小题5分，计60分）1已知命题p：“xR，exx10”，
7、则命题p（）AxR，exx10 BxR，exx10CxR，exx10 DxR，exx10【考点】特称命题；命题的否定【分析】利用含逻辑连接词的否定是将存在变为任意，同时将结论否定，可写出命题的否定【解答】解：命题p：“xR，exx10”，命题p：xR，exx10，故选：A【点评】题考查特称命题、含逻辑连接词的否定形式，属于基础题2抛物线y=4x2的焦点坐标为（）A（1，0） B（0，1） C D【考点】抛物线的简单性质【分析】将抛物线y=4x2的方程标准化，即可求得其焦点坐标【解答】解：抛物线的方程为y=4x2，其标准方程为x2=y，其焦点坐标为F（0，）故选D【点评】本题考查抛物线的简单性质
8、，属于基础题3若aR，则“a2a”是“a1”的（）条件A充分不必要 B必要不充分C充要 D既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据不等式的解法以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：由a2a得a1或a0，则“a2a”是“a1”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键4椭圆=1的离心率为，则k的值为（）A21 B21 C或21 D或21【考点】椭圆的简单性质【分析】依题意，需对椭圆的焦点在x轴与在y轴分类讨论，从而可求得k的值【解答】解：若a2=9，b2=4+k，则c=，由=，即=得k=；若
9、a2=4+k，b2=9，则c=，由=，即=，解得k=21故选C【点评】本题考查椭圆的简单性质，对椭圆的焦点在x轴，y轴分类讨论是关键，考查推理运算能力，属于中档题5设条件p：|x2|3，条件q：0xa，其中a为正常数，若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是（）A（0，5B（0，5） C5，+） D（5，+）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据不等式的性质，以及充分条件和必要条件的定义，即可得到结论【解答】解：由|x2|3，得3x23，即1x5，即p：1x5，q：0xa，a为正常数要使若p是q的必要不充分条件，则0a5，故选：A【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法以及充分
10、条件和必要条件的判断，比较基础6已知双曲线的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为（）A4 B C1D0【考点】双曲线的应用；双曲线的简单性质【分析】根据题意，设P（x，y）（x1），根据双曲线的方程，易得A1、F2的坐标，将其代入中，可得关于x、y的关系式，结合双曲线的方程，可得的二次函数，由x的范围，可得答案【解答】解：根据题意双曲线，设P（x，y）（x1），易得A1（1，0），F2（3，0），=（1x，y）（3x，y）=x22x3+y2，又，故y2=8（x21），于是=9x22x11=9（x）2，当x=1时，取到最小值4；故答案为：4【点评】本题考查双曲线方程的应
11、用，涉及最值问题；解题的思路是先设出变量，表示出要求的表达式，结合圆锥曲线的方程，将其转化为只含一个变量的关系式，进而由不等式的性质或函数的最值进行计算7已知对kR，直线ykx1=0与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围是（）A（1，2B1，2） C1，2）（2，+） D（2，+）【考点】椭圆的简单性质【分析】直线方程与椭圆方程联立化为（m+2k2）x2+4kx+22m=0，由于直线ykx1=0与椭圆恒有公共点，可得0，解出即可得出【解答】解：联立，化为（m+2k2）x2+4kx+22m=0，直线ykx1=0与椭圆恒有公共点，=16k24（m+2k2）（22m）0，化为m2+（2k21）m0，由
12、于m0，上式化为：m12k2，由于上式对kR恒成立，m1由椭圆的定义可知：m2综上可得m的取值范围是：1，2）（2，+）故选：C【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系、一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8下列命题错误的是（）A命题“若x21，则1x1”的逆否命题是“若x1或x1，则x21”B若p：0，则p：0C命题p；存在x0R，使得x02+x0+10，则p；任意xR，使得x2+x+10D“am2bm2”是“ab”的充分不必要条件【考点】命题的真假判断与应用【分析】直接写出命题的逆否命题判断A；写出命题的否定判断B；直接写出特称命题的否定判断C；由充分必要
13、条件的判定方法判断D【解答】解：命题“若x21，则1x1”的逆否命题是“若x1或x1，则x21”，故A正确；若p：0，则p：0或x=1，故B错误命题p；存在x0R，使得x02+x0+10，则p；任意xR，使得x2+x+10，故C正确；由am2bm2，可得，即ab，反之，由ab，不一定有am2bm2，如m2=0“am2bm2”是“ab”的充分不必要条件，故D正确故选：B【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了命题的否定和逆否命题，对于选项B的判断极易出错，是基础题9过抛物线y2=2px（p0）的焦点F且倾斜角为60的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（）A5 B4 C
14、3 D2【考点】直线的倾斜角；抛物线的简单性质【分析】设出A、B坐标，利用焦半径公式求出|AB|，结合，求出A、B的坐标，然后求其比值【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），又，可得，则，故选C【点评】本题考查直线的倾斜角，抛物线的简单性质，考查学生分析问题解决问题的能力，是基础题10椭圆ax2+by2=1与直线y=1x交于A、B两点，过原点与线段AB的中点的直线斜率为，则的值为（）A B C D【考点】直线与圆锥曲线的关系【分析】把y=1x代入椭圆ax2+by2=1得ax2+b（1x）2=1，由根与系数的关系可以推出线段AB的中点坐标为（，），再由过原点与线段AB中点的直线的斜率为
15、，能够导出的值【解答】解：把y=1x代入椭圆ax2+by2=1得ax2+b（1x）2=1，整理得（a+b）x22bx+b1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，y1+y2=，线段AB的中点坐标为（，），过原点与线段AB中点的直线的斜率k=故选D【点评】本题考查椭圆的性质及其应用，解题时要注意公式的灵活运用11我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”已知F1，F2是一对相关曲线的焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当F1PF2=60时，这一对相关曲线中椭圆的离心率为（）A B C D【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质【分析】设F1P=m，
16、F2P=n，F1F2=2c，由余弦定理4c2=m2+n2mn，设a1是椭圆的长半轴，a1是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a1，mn=2a1，由此能求出结果【解答】解：设F1P=m，F2P=n，F1F2=2c，由余弦定理得（2c）2=m2+n22mncos60，即4c2=m2+n2mn，设a1是椭圆的实半轴，a2是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a1，mn=2a2，m=a1+a2，n=a1a2，将它们及离心率互为倒数关系代入前式得3a224c2+a12=0，a1=3a2，e1e2=1即3e12=1e1=故选：A【点评】本题考查椭圆与双曲线的定义，考查了椭圆与双曲
17、线的几何性质，是基础题12已知双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2的直线交双曲线的右支于P，Q两点，若|PF1|=|F1F2|，且3|PF2|=2|QF2|，则该双曲线的离心率为（）A B C2 D【考点】双曲线的简单性质【分析】先作出图形，并作出双曲线的右准线l，设P到l的距离为d，根据双曲线的第二定义即可求出Q到l的距离为过Q作l的垂线QQ1，而过P作QQ1的垂线PM，交x轴于N，在PMQ中有，这样即可求得d=，根据已知条件及双曲线的定义可以求出|PF2|=2c2a，所以根据双曲线的第二定义即可得到，进一步可整理成，这样解关于的方程即可【解答】解：如图，l为该双曲线
18、的右准线，设P到右准线的距离为d；过P作PP1l，QQ1l，分别交l于P1，Q1；，3|PF2|=2|QF2|；，；过P作PMQQ1，垂直为M，交x轴于N，则：；解得d=；根据双曲线的定义，|PF1|PF2|=2a，|PF2|=2c2a；根据双曲线的第二定义，；整理成：；解得（舍去）；即该双曲线的离心率为故选A【点评】考查双曲线的第二定义，双曲线的准线方程，双曲线的焦距、焦点的概念，以及对双曲线的定义的运用，双曲线的离心率的概念，相似三角形的比例关系二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸对应横线上.13若“ma”是“方程x2+x+m=0有实数根”的充分条件，则实数a
19、的取值范围是a【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】先求出方程x2+x+m=0有实数根成立的充要条件，从而判断出a的范围即可【解答】解：若方程x2+x+m=0有实数根，则=14m0，解得：m，若“ma”是“方程x2+x+m=0有实数根”的充分条件，则实数a的取值范围是：；故答案为：a【点评】本题考查了充分必要条件，考查方程的根的情况，是一道基础题14已知两定点B（3，0），C（3，0），ABC的周长等于16，则顶点A的轨迹方程为【考点】椭圆的标准方程【分析】由题意，可得BC+AC=10AB，故顶点A的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，除去与x轴的交点，利用椭圆的定义和简单性质 求出a、b
20、 的值，即得顶点C的轨迹方程【解答】解：由题意，可得BC+AC=10AB，故顶点A的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，除去与x轴的交点2a=10，c=3b=4，故顶点C的轨迹方程为，故答案为：【点评】本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用解题的易错点：最后不检验满足方程的点是否都在曲线上15如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降2米后水面宽米【考点】抛物线的简单性质【分析】先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y=4代入抛物线方程求得x0进而得到答案【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，将A（2，2）代入x2=
21、my，得m=2x2=2y，代入B（x0，4）得x0=2，故水面宽为m故答案为：【点评】本题主要考查抛物线的应用考查了学生利用抛物线解决实际问题 的能力16已知A，D分别是椭圆=1（ab0）的左顶点和上顶点，点P是线段AD上的任意一点，点F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，且的最大值是1，最小值是，则椭圆的标准方程+y2=1【考点】椭圆的简单性质【分析】由题意的最大值是1，可得a2c2=1，即b=1，利用的是最小值是，解得a，b，即可求椭圆方程【解答】解：由题意的最大值是1，可得a2c2=1，即b=1，AD的方程为y=+1，设P（x，y）（ax0），则=（x+c，y）（xc，y）=x2c2+y2=
22、（1+）（x+）2的最小值是，=，a=2，b=1，所求的椭圆的方程为： +y2=1故答案为： +y2=1【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量的数量积的坐标表示，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应在答题纸对应区域内写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17设命题x+2cosxa=0；命题q：xR，使得x2+2ax8+6a0，如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的取值范围【考点】复合命题的真假【分析】先求出命题p，q成立的等价条件，利用pq为真命题，pq为假命题，确定实数c的取值范围确定实数a的取值范围【解答】解：设t=co
23、sx，t0，1，则有t0，1，使a=t2+2t成立，t0，1时，t2+2t0，3，p为真时a0，3，xR，x2+2ax8+6a0成立，0，即a26a+80，a2，4，q为真时a2，4，pq为真，pq为假，p，q一个真一个假当p真q假时，a0，2），当p假q真时，a（3，4，实数a的取值范围是0，2）（3，4【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键18设p：实数x满足x24ax+3a20，其中a0，q：实数x满足（）若a=1，p且q为真，求实数x的取值范围；（）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围【考点】命题的真假判断与应用；必
24、要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】（1）把a=1代入不等式后求解不等式，同时求解不等式组，得到命题p和命题q中x的取值范围，由p且q为真，对求得的两个范围取交集即可；（2）p是q的必要不充分条件，则集合B是集合A的子集，分类讨论后运用区间端点值之间的关系可求a的取值范围【解答】解：（）由x24ax+3a20，得：（x3a）（xa）0，当a=1时，解得1x3，即p为真时实数x的取值范围是1x3由，得：2x3，即q为真时实数x的取值范围是2x3若p且q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2x3（） p是q的必要不充分条件，即q推出p，且p推不出q，设A=x|p（x），B=x|q（x），
25、则B是A的真子集，又B=（2，3，当a0时，A=（a，3a）；a0时，A=（3a，a）所以当a0时，有，解得1a2，当a0时，显然AB=，不合题意所以实数a的取值范围是1a2【点评】本题是命题真假的判断与应用，考查了必要条件问题，考查了数学转化和分类讨论思想，是中档题19已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m（1）当直线与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围（2）求被椭圆截得的最长弦所在直线方程【考点】直线与圆锥曲线的关系【分析】（1）当直线与椭圆有公共点时，直线方程与椭圆方程构成的方程组有解，等价于消掉y后得到x的二次方程有解，故0，解出即可；（2）设所截弦的两端点为A（x1，y1），B（x
26、2，y2），由（1）及韦达定理可把弦长|AB|表示为关于m的函数，根据函数表达式易求弦长最大时m的值；【解答】解：（1）由得5x2+2mx+m21=0，当直线与椭圆有公共点时，=4m245（m21）0，即4m2+50，解得，所以实数m的取值范围是；（2）设所截弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），由（1）知，所以弦长|AB|=，当m=0时|AB|最大，此时所求直线方程为y=x【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查函数与方程思想，弦长公式、韦达定理是解决该类题目的基础知识，应熟练掌握20设A、B分别为双曲线的左右顶点，双曲线的实轴长为，焦点到渐近线的距离为（1）求双曲线的方程；
27、（2）已知直线与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使，求t的值及点D的坐标【考点】直线与圆锥曲线的关系；双曲线的标准方程【分析】（1）由实轴长可得a值，由焦点到渐近线的距离可得b，c的方程，再由a，b，c间的平方关系即可求得b；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），D（x0，y0），则x1+x2=tx0，y1+y2=ty0，则x1+x2=tx0，y1+y2=ty0，联立直线方程与双曲线方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理可得x1+x2，进而求得y1+y2，从而可得，再由点D在双曲线上得一方程，联立方程组即可求得D点坐标，从而求得t值；【解答】解：（1）由实轴长为，得
28、，渐近线方程为x，即bx2y=0，焦点到渐近线的距离为，又c2=b2+a2，b2=3，双曲线方程为：；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），D（x0，y0），则x1+x2=tx0，y1+y2=ty0，由，y1+y2=4=12，解得，t=4，t=4【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线标准方程的求解，考查向量的线性运算，考查学生分析问题解决问题的能力21已知椭圆+=1（ab0）的离心率是（1）若点P（2，1）在椭圆上，求椭圆的方程；（2）若存在过点A（1，0）的直线l，使点C（2，0）关于直线l的对称点在椭圆上，求椭圆的焦距的取值范围【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（1）
29、根据椭圆+=1（ab0）的离心率是，点P（2，1）在椭圆上，建立方程组，求出a，b，即可求椭圆的方程；（2）求出C（2，0）关于直线l的对称点为C的坐标，代入椭圆方程，可得b2k4+（2b24）k2+（b21）=0，设k2=t，因此原问题转化为关于t的方程b2t2+（2b24）t+（b21）=0有正根，即可得出结论【解答】解：（1）椭圆+=1（ab0）的离心率是，点P（2，1）在椭圆上，a2=8，b2=2，椭圆的方程为；（2）依题意，直线l的斜率存在且不为0，则直线l的方程为：y=k（x1）设点C（2，0）关于直线l的对称点为C（a，b），则，若点C（a，b）在椭圆上，则，b2k4+（2b24
30、）k2+（b21）=0，设k2=t，因此原问题转化为关于t的方程b2t2+（2b24）t+（b21）=0有正根当b210时，方程一定有正根；当b210时，则有，b2综上得0b又椭圆的焦距为2c=2b，02c4故椭圆的焦距的取值范围是（0，4【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查点与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题22已知过点（2，0）的直线l1交抛物线C：y2=2px于A，B两点，直线l2：x=2交x轴于点Q（1）设直线QA，QB的斜率分别为k1，k2，求k1+k2的值；（2）点P为抛物线C上异于A，B的任意一点，直线PA，PB交直线l2于M，N两点， =2，求抛物线C的
31、方程【考点】直线与圆锥曲线的关系【分析】（1）解：设直线AB的方程为x=ky+2，联立可得，y22pky4p=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则可求y1+y2，y1y2，进而可求x1x2，x1+x2，然后根据k1=，k2=可求k1+k2，（2）由（1）可得，直线OA，OB的斜率关系，可求k，由题意不妨取P（0，0），设M（2，a），N（2，b），由=2，可求ab，然后有kPA=kPM，kPN=kPB，可求p，进而可求抛物线方程【解答】（1）解：设直线AB的方程为x=ky+2，联立可得，y22pky4p=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=2pk，y1y2=4p，x1x2=4，x1+x2=k（y1+y2）+4=2pk2+4，Q（2，0），k1=，k2=k1+k2=+=0（2）由（1）可得，直线OA，OB的斜率互为相反数，则有ABx轴，此时k=0点P为抛物线C上异于A，B的任意一点，不妨取P（0，0），设M（2，a），N（2，b），=4+ab=2，ab=2，kPA=kPM，kPN=kPB，两式相乘可得，p=，抛物线C的方程为：y2=x【点评】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，求解本题（2）的关键是一般问题特殊化
