1、2016-2017学年四川省成都市双流中学高三（上）10月月考数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1已知集合A=1，i，i为虚数单位，则下列选项正确的是（）AABACi3AD|i|A2设向量=（2，x1），=（x+1，4），则“x=3”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3给定下列两个命题：p1：a，bR，a2ab+b20；p2：在三角形ABC中，AB，则sinAsinB则下列命题中的真命题为（）Ap1Bp1p2Cp1（p2）D（p1）p24公比为2的等比数列an的各项都是正数，且a3a11=16，那么log2a10=（
2、）A4B5C6D75某公司为了了解某设备的使用年限与所支出的维修费用之间的关系，统计了5组数据如表所示：使用年限x（年）23456维修费用y（万元）2.23.85.56.57.0根据上表可求得回归直线方程为=x+，其中=1.23， =，据此估计，该设备使用年限为10年时所支出的维修费用为（）A11.38万元B12.38万元C13.38万元D14.38万元6某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）Af（x）=Bf（x）=（）Cf（x）=Df（x）=x2ln（x2+1）7圆柱挖去两个全等的圆锥所得几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A30B48C66D788设ab1，c0，
3、给出下列四个结论：；acbc；（1c）a（1c）b；logb（ac）loga（bc）其中正确结论有（）A1个B2个C3个D4个9已知抛物线y2=8x的焦点到双曲线E：=1（a0，b0）的渐近线的距离不大于，则双曲线E的离心率的取值范围是（）A（1，B（1，2C，+）D2，+）10如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1，D1C1上的动点（点E与B1不重合），且EHA1D1，过EH的动平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G设AB=2AA1=2a，B1E+B1F=2a在长方体ABCDA1B1C1D1内随机选取一点，则该点取自于几何体A1ABFED1DCGH内的概率的最
4、小值为（）ABCD11已知A，B，C，D，E是函数y=sin（x+）（0，0一个周期内的图象上的五个点，如图所示，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则，的值为（）A=2，=B=2，=C=，=D=，=12已知点P为函数f（x）=lnx的图象上任意一点，点Q为圆x（e+）2+y2=1任意一点，则线段PQ的长度的最小值为（）ABCDe+1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡的相应位置）13若tan=，则cos2+sin2=14二项式（x）6展开式中的常数项是15已知变量x，y满足，则的取值范围是16在等
5、差数列an中，前n项和为Sn，a1=1， =+，设Tn是数列bn的前n项和，bn=lg，则T99=三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）17在ABC中，角A，B，C的所对的边分别为a，b，c，且a2+b2=ab+c2（） 求tan（C）的值；（） 若c=，求SABC的最大值18如图，在ABC中，已知ABC=45，O在AB上，且OB=OC=AB，又PO平面ABC，DAPO，DA=AO=PO（）求证：PD平面COD；（）求二面角BDCO的余弦值19某单位有车牌尾号为2的汽车A和尾号为6的汽车B，两车分属于两个独立业务部门对一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计，
6、在非限行日，A车日出车频率0.6，B车日出车频率0.5该地区汽车限行规定如下：车尾号0和51和62和73和84和9限行日星期一星期二星期三星期四星期五现将汽车日出车频率理解为日出车概率，且A，B两车出车相互独立（）求该单位在星期一恰好出车一台的概率；（）设X表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和，求X的分布列及其数学期望E（X）20在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（ab0）的离心率e=，且点P（2，1）在椭圆C上（）求椭圆C的方程；（）若点A、B都在椭圆C上，且AB中点M在线段OP（不包括端点）上求AOB面积的最大值21已知函数f（x）=lnxmx（mR）（1）若曲线y=f（x
7、）过点P（1，1），求曲线y=f（x）在点P处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间1，e上的最大值；（3）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，求证：x1x2e2选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知曲线C的极坐标方程为cos2+8cos=0，直线l的参数方程（t为参数，0）（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l过定点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长2016-2017学年四川省成都市双流中学高三（上）10月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1已
8、知集合A=1，i，i为虚数单位，则下列选项正确的是（）AABACi3AD|i|A【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算经过计算即可判断出【解答】解：A. A，不正确；B. = = =iA，不正确；Ci3=iA，不正确；D|i|=1A，正确故选：D2设向量=（2，x1），=（x+1，4），则“x=3”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量共线（平行）的坐标表示【分析】由向量共线可得x的值，再由集合的包含关系可得答案【解答】解：当时，有24（x1）（x+1）=0，解得x=3；因为集合3是集合3，
9、3的真子集，故“x=3”是“”的充分不必要条件故选A3给定下列两个命题：p1：a，bR，a2ab+b20；p2：在三角形ABC中，AB，则sinAsinB则下列命题中的真命题为（）Ap1Bp1p2Cp1（p2）D（p1）p2【考点】复合命题的真假【分析】根据条件分别判断两个命题的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可【解答】解：a2ab+b2=（ab）2+b20，a，bR，a2ab+b20不成立，即命题p1为假命题在三角形ABC中，若AB，则ab，由正弦定理得sinAsinB成立，即命题p2为真命题则（p1）p2为真命题，其余为假命题，故选：D4公比为2的等比数列an的各项都是正数，且a3a1
10、1=16，那么log2a10=（）A4B5C6D7【考点】等比数列的性质【分析】利用等比数列的性质求得a7的值，进而求出结果【解答】解：a3a11=16，=16，an0，a7=4a10=a7q3=423=25，log2a10=5，故选B5某公司为了了解某设备的使用年限与所支出的维修费用之间的关系，统计了5组数据如表所示：使用年限x（年）23456维修费用y（万元）2.23.85.56.57.0根据上表可求得回归直线方程为=x+，其中=1.23， =，据此估计，该设备使用年限为10年时所支出的维修费用为（）A11.38万元B12.38万元C13.38万元D14.38万元【考点】线性回归方程【分析
11、】根据所给的数据，做出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，根据线性回归方程一定过样本中心点，求出a，x=10代入回归直线方程，得到结果【解答】解：=4， =5，这组数据的样本中心点是（4，5）代入回归直线方程得5=1.234+a，a=0.08，y=1.23x+0.08，x=10时，y=12.38万元故选：B6某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）Af（x）=Bf（x）=（）Cf（x）=Df（x）=x2ln（x2+1）【考点】程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件f（x）+f（x）=0，即函数f（x）为奇函数
12、f（x）存在零点，即函数图象与x轴有交点逐一分析四个答案中给出的函数的性质，不难得到正确答案【解答】解：A，f（x）=，既是奇函数，而且函数图象与x也有交点，符合题意；而B：f（x）=（，x0）是奇函数，但函数图象与x无有交点，故不满足条件；而C：f（x）=的函数图象与x轴没有交点，故不满足条件；而D：f（x）=x2ln（x2+1）明显不是奇函数，故不满足条件；故选：A7圆柱挖去两个全等的圆锥所得几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A30B48C66D78【考点】由三视图求面积、体积【分析】利用三视图的数据直接求解几何体的表面积即可【解答】解：由三视图可知几何体的表面积为=78故选：D8设
13、ab1，c0，给出下列四个结论：；acbc；（1c）a（1c）b；logb（ac）loga（bc）其中正确结论有（）A1个B2个C3个D4个【考点】命题的真假判断与应用【分析】直接利用不等式的性质判断；由已知结合幂函数的单调性判断；由已知结合指数函数的单调性判断；由已知结合对数函数的性质判断【解答】解：ab1，c0，对于、由ab1，得，又c0，得，故正确；对于、c0，幂函数y=xc在第一象限为减函数，又ab1，acbc，故错误；对于、c0，1c1，又ab，由指数函数的单调性可得（1c）a（1c）b，故错误；对于、c0，c0，又ab1，则acbc1，logb（ac）logb（bc）loga（bc
14、），故正确正确的结论有2个故选：B9已知抛物线y2=8x的焦点到双曲线E：=1（a0，b0）的渐近线的距离不大于，则双曲线E的离心率的取值范围是（）A（1，B（1，2C，+）D2，+）【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质【分析】求出抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式，可得a，b的关系，再由离心率公式，计算即可得到【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），双曲线E：=1（a0，b0）的一条渐近线为bx+ay=0，则焦点到渐近线的距离d=，即有2bc，4b23c2，4（c2a2）3c2，e2，e1，1e2故选：B10如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，
15、H分别是棱A1B1，D1C1上的动点（点E与B1不重合），且EHA1D1，过EH的动平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G设AB=2AA1=2a，B1E+B1F=2a在长方体ABCDA1B1C1D1内随机选取一点，则该点取自于几何体A1ABFED1DCGH内的概率的最小值为（）ABCD【考点】几何概型【分析】求出对应区域的体积，利用几何概型的概率公式即可得到该点取自于几何体A1ABFED1DCGH内的概率的最小值【解答】解：EHA1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，GFGEH，即几何体B1FEC1GH是三棱柱由题意，B1E+B1F=2a2，B1EB1Fa2，当且仅当
16、B1E=B1F=a时，取等号，三角形的面积取得最大值三棱柱B1FEC1GH的体积最大值V=B1C1，长方体的体积V=2aaB1C1=2a2B1C1，则几何体A1ABFED1DCGH的体积最小值V1=2a2B1C1a2B1C1=a2B1C1，则根据几何概型的概率公式可得在长方体ABCDA1B1C1D1内随机选取一点，则该点取自于几何体A1ABFED1DCGH内的概率的最小值P=，故选：B11已知A，B，C，D，E是函数y=sin（x+）（0，0一个周期内的图象上的五个点，如图所示，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则，的值为（
17、）A=2，=B=2，=C=，=D=，=【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】通过函数的图象，结合已知条件求出函数的周期，推出，利用A的坐标求出的值即可【解答】解：因为A，B，C，D，E是函数y=sin（x+）（0，0一个周期内的图象上的五个点，如图所示，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，所以T=4（）=，所以=2，因为，所以0=sin（+），0，=故选B12已知点P为函数f（x）=lnx的图象上任意一点，点Q为圆x（e+）2+y2=1任意一点，则线段PQ的长度的最小值为（）ABCDe+1【考点】利用导数
18、研究曲线上某点切线方程【分析】由圆的对称性可得只需考虑圆心Q（e+，0）到函数f（x）=lnx图象上一点的距离的最小值设f（x）图象上一点P（m，lnm），求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为1，可得lnm+m2（e+）m=0，由g（x）=lnx+x2（e+）x，求出导数，判断单调性，可得零点e，运用两点的距离公式计算即可得到所求值【解答】解：由圆的对称性可得只需考虑圆心Q（e+，0）到函数f（x）=lnx图象上一点的距离的最小值设f（x）图象上一点（m，lnm），由f（x）的导数为f（x）=，即有切线的斜率为k=，可得=m，即有lnm+m2（e+）m=0，由g（x）=lnx+x2（
19、e+）x，可得g（x）=+2x（e+），当2x3时，g（x）0，g（x）递增又g（e）=lne+e2（e+）e=0，可得x=e处点（e，1）到点Q的距离最小，且为，则线段PQ的长度的最小值为为1，即故选：C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡的相应位置）13若tan=，则cos2+sin2=【考点】三角函数的化简求值【分析】利用同角三角函数基本关系式化简所求的表达式为正切函数的形式，求解即可【解答】解：tan=，则cos2+sin2=故答案为：14二项式（x）6展开式中的常数项是15【考点】二项式定理的应用【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数
20、为0，求出展开式的常数项【解答】解：设展开式中第r+1项是常数项，即Tr+1=x6r（）r=（1）r为常数，令=0解得r=4，因此T5=15故答案为：1515已知变量x，y满足，则的取值范围是，【考点】简单线性规划【分析】作出可行域，变形目标函数可得=1+表示可行域内的点与A（2，1）连线的斜率与1的和，数形结合可得【解答】解：作出所对应的区域（如图阴影），变形目标函数可得=1+，表示可行域内的点与A（2，1）连线的斜率与1的和，由图象可知当直线经过点B（2，0）时，目标函数取最小值1+=；当直线经过点C（0，2）时，目标函数取最大值1+=；故答案为：，16在等差数列an中，前n项和为Sn，a
21、1=1， =+，设Tn是数列bn的前n项和，bn=lg，则T99=2【考点】等差数列的性质【分析】由a1=1， =+易得公差d=1，根据等差数列的通项公式求得an，bn=lg=lg（n+1）lgn（nN*），利用“累加求和”即可得出数列bn的前99项和T99【解答】解：设等差数列an的公差为d，在等差数列an中，前n项和为Sn，a1=1， =+，=+即d=a2017a2016=1，an=a1+（n1）d=1+（n1）1=nbn=lg=lg（n+1）lgn（nN*），则数列bn的前99项和T99=（lg2lg1）+（lg3lg2）+（lg100lg99）=lg100lg1=2故答案是：2三、解答
22、题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）17在ABC中，角A，B，C的所对的边分别为a，b，c，且a2+b2=ab+c2（） 求tan（C）的值；（） 若c=，求SABC的最大值【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（） 利用余弦定理表示出cosC，将已知等式变形后代入求出cosC的值，确定出C的度数，代入tan（C）计算即可求出值；（）把c的值代入已知等式变形，利用基本不等式求出ab的最大值，再由sinC的值，即可求出三角形ABC面积的最大值【解答】解：（）a2+b2=ab+c2，a2+b2c2=ab，cosC=，C为ABC内角，C=，则tan（C）=tan（）=2；
23、（）由ab+3=a2+b22ab，得ab3，SABC=absinC=ab，SABC，当且仅当a=b=时“=”成立，则SABC的最大值是18如图，在ABC中，已知ABC=45，O在AB上，且OB=OC=AB，又PO平面ABC，DAPO，DA=AO=PO（）求证：PD平面COD；（）求二面角BDCO的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【分析】（）设OA=1，则PO=OB=2，DA=1，由DAPO，PO平面ABC，知DA平面ABC，可得DAAO利用勾股定理的逆定理可得：PDDO由OC=OB=2，ABC=45，可得COAB，又PO平面ABC，可得POOC，得到CO平面PAB得到C
24、OPD即可证明（）如图建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB=1，利用线面垂直的性质、向量垂直与数量积的关系得出两个平面的法向量，求出其夹角即可【解答】（）证明：设OA=1，则PO=OB=2，DA=1，由DAPO，PO平面ABC，知DA平面ABC，DAAO从而，在PDO中，PO=2，PDO为直角三角形，故PDDO又OC=OB=2，ABC=45，COAB，又PO平面ABC，POOC，又PO，AB平面PAB，POAB=O，CO平面PAB故COPDCODO=O，PD平面COD（）解：以OC，OB，OP所在射线分别为x，y，z轴，建立直角坐标系如图则由（）知，C（2，0，0），B（0，2，0），P
25、（0，0，2），D（0，1，1），由（）知PD平面COD，是平面DCO的一个法向量，设平面BDC的法向量为，令y=1，则x=1，z=3，由图可知：二面角BDCO为锐角，二面角BDCO的余弦值为19某单位有车牌尾号为2的汽车A和尾号为6的汽车B，两车分属于两个独立业务部门对一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计，在非限行日，A车日出车频率0.6，B车日出车频率0.5该地区汽车限行规定如下：车尾号0和51和62和73和84和9限行日星期一星期二星期三星期四星期五现将汽车日出车频率理解为日出车概率，且A，B两车出车相互独立（）求该单位在星期一恰好出车一台的概率；（）设X表示该单位在星期一与星期二两天的
26、出车台数之和，求X的分布列及其数学期望E（X）【考点】离散型随机变量的期望与方差【分析】（）利用互斥事件的概率公式，可求该单位在星期一恰好出车一台的概率；（）X的取值为0，1，2，3，求出随机变量取每一个值的概率值，即可求X的分布列及其数学期望E（X）【解答】解：（）设A车在星期i出车的事件为Ai，B车在星期i出车的事件为Bi，i=1，2，3，4，5，则由已知可得P（Ai）=0.6，P（Bi）=0.5设该单位在星期一恰好出车一台的事件为C，则P（C）=P（）=+=0.6（10.5）+（10.6）0.5=0.5，该单位在星期一恰好出车一台的概率为0.5；（）X的取值为0，1，2，3，则P（X=0
27、）=0.40.50.4=0.08，P（X=1）=0.50.4+0.40.50.6=0.32，P（X=2）=0.60.50.4+0.50.6=0.42，P（X=3）=P（A1B1）P（A2）=0.60.50.6=0.18，X的分布列为X0123P0.080.320.420.18EX=10.32+20.42+30.18=1.720在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（ab0）的离心率e=，且点P（2，1）在椭圆C上（）求椭圆C的方程；（）若点A、B都在椭圆C上，且AB中点M在线段OP（不包括端点）上求AOB面积的最大值【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程【分析】（）由题意列出关于a，
28、b，c的方程组，求解方程组可得a，b的值，则椭圆方程可求；（）利用“点差法”求出A，B所在直线的斜率，设出直线方程，与椭圆方程联立，由弦长公式求得弦长，再由点到直线的距离公式求出原点到直线AB的距离，代入三角形面积公式，利用基本不等式求得最值【解答】解：（）由题意得：，解得，椭圆C的方程为；（）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），直线AB的斜率为k，则，两式作差可得，得，又直线OP：，M在线段OP上，解得k=1设直线AB的方程为y=x+m，m（0，3），联立，得3x24mx+2m26=0，=16m212（2m26）=728m20，得3m3|AB|=，原点到直线的距离d=，当
29、且仅当（0，3）时，等号成立OAB面积的最大值21已知函数f（x）=lnxmx（mR）（1）若曲线y=f（x）过点P（1，1），求曲线y=f（x）在点P处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间1，e上的最大值；（3）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，求证：x1x2e2【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）中求出斜率，代入切线方程即可；（2）中需要讨论m的范围，m的取值范围不一样，求出的最值不同；（3）中将所证的结论转化为求新函数的单调区间问题得以解决【解答】解：（1）因为点P（1，1）在曲线y=f（x）上，所以m=1
30、，解得m=1因为f（x）=1=0，所以切线的斜率为0，所以切线方程为y=1（2）因为f（x）=m=当m0时，x（1，e），f（x）0，所以函数f （x）在（1，e）上单调递增，则f （x）max=f （e）=1me当e，即0m时，x（1，e），f（x）0，所以函数f （x）在（1，e）上单调递增，则f （x）max=f （e）=1me 当1e，即m1时，函数f （x）在 （1，）上单调递增，在（，e）上单调递减，则f （x）max=f （）=lnm1 当1，即m1时，x（1，e），f（x）0，函数f （x）在（1，e）上单调递减，则f （x）max=f （1）=m综上，当m时，f （x）max
31、=1me；当m1时，f （x）max=lnm1；当m1时，f （x）max=m （3）不妨设x1x20因为f （x1）=f （x2）=0，所以lnx1mx1=0，lnx2mx2=0，可得lnx1+lnx2=m（x1+x2），lnx1lnx2=m（x1x2）要证明x1x2e2，即证明lnx1+lnx22，也就是m（x1+x2）2因为m=，所以即证明，即ln令=t，则t1，于是lnt令（t）=lnt（t1），则（t）=0故函数（t）在（1，+）上是增函数，所以（t）（1）=0，即lnt成立所以原不等式成立选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立
32、极坐标系已知曲线C的极坐标方程为cos2+8cos=0，直线l的参数方程（t为参数，0）（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l过定点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（1）由cos2+8cos=0，得2sin2=4cos，由此能求出曲线C的直线坐标方程（2）由直线l的参数方程为（t为参数，0），得直线l的直角坐标方程是x+y=1由此能求出直线l被曲线C截得的线段AB的长【解答】解：（1）由cos2+8cos=0，得（12sin2）+8cos=0，所以sin2=4cos，所以2sin2=4cos，即曲线C的直线坐标方程为y2=4x（2）因为直线l的参数方程为（t为参数，0），所以直线l在y轴上的截距为1，又因为直线l过定点（1，0），由直线方程的截距式，得直线l的直角坐标方程是x+y=1联立，消去y，得x26x+1=0，又点（1，0）是抛物线的焦点，由抛物线的定义，得弦长|AB|=xA+xB+2=6+2=82017年1月6日
