1、1.4绝对值的三角不等式1.理解绝对值不等式的性质定理.2.会用绝对值不等式的性质定理证明简单的含绝对值的不等式；会求简单绝对值不等式的最值.基础初探教材整理绝对值的三角不等式1.定理1若a，b为实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立.2.定理2设a，b，c为实数，则|ac|ab|bc|，等号成立(ab)(bc)0，即b落在a，c之间.若|ab|a|b|成立，a，bR，则有()A.ab0C.ab0D.以上都不对【解析】由定理1易知答案选C.【答案】C质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型绝对
2、值不等式的理解与应用已知|a|b|，m，n，则m，n之间的大小关系是_.【精彩点拨】利用绝对值三角不等式定理分别判定m，n与1的大小.【自主解答】因为|a|b|ab|，所以1，即m1.又因为|ab|a|b|，所以1，即n1.所以m1n.【答案】mn1.本题求解的关键在于|a|b|ab|与|ab|a|b|的理解和应用.2.在定理1中，以b代b，得|ab|a|b|；以ab代替实数a，可得到|a|b|ab|.再练一题1.若将“本例的条件”改为“n”，则n与1之间的大小关系是_.【解析】|ab|a|b|，1，n1.【答案】n1运用绝对值不等式求最值与范围对任意xR，求使不等式|x1|x2|m恒成立的m
3、的取值范围.【精彩点拨】令t|x1|x2|，只需mtmin.【自主解答】法一：对xR，|x1|x2|(x1)(x2)|1，当且仅当(x1)(x2)0时，即2x1时取等号.t|x1|x2|的最小值为1，故m1.实数m的取值范围是(，1.法二：t|x1|x2|t1，则t|x1|x2|的最小值为1，故m1.因此实数m的取值范围是(，1.1.本题也可利用绝对值的几何意义求解.2.对于含有两个绝对值以上的代数式，通常利用分段讨论的方法转化为分段函数，进而利用分段函数的性质求函数最值.再练一题2.若|x1|x3|k对任意的xR恒成立，则实数k的取值范围为_. 【导学号：38000013】【解析】设f(x)
4、|x1|x3|，则有f(x)当x1时，f(x)有最小值为4；当1x3时，f(x)有最小值为4；当x3时，f(x)有最小值为4.综上所述，f(x)有最小值为4，所以k4.【答案】(，4)含绝对值不等式的证明设m等于|a|，|b|和1中最大的一个，当|x|m时，求证：m，|x|a|，|x|b|，|x|1，从而|x|2|b|.因此2，即2.1.将文字语言“m等于|a|，|b|,1中最大的一个”转化为符号语言“m|a|，m|b|，m1”是证明本题的关键.2.运用绝对值不等式的性质证明不等式时，要注意放缩的方向和“尺度”，切忌放缩过度.再练一题3.若f(x)x2xc(为常数)，且|xa|1，求证：|f(
5、x)f(a)|2(|a|1).【证明】|f(x)f(a)|(x2xc)(a2ac)|x2xa2a|(xa)(xa1)|xa|xa1|xa1|(xa)(2a1)|xa|2a1|.又|xa|1，|f(x)f(a)|xa|2a1|xa|2a|112|a|12(|a|1).探究共研型绝对值的三角不等式探究1绝对值的三角不等式|a|b|ab|a|b|的几何意义是什么？【提示】绝对值的三角不等式：|a|b|ab|a|b|的几何意义是三角形任意两边之差小于第三边，三角形任意两边之和大于第三边.探究2绝对值的三角不等式|a|b|ab|a|b|的结构特点是什么？【提示】对|a|b|ab|a|b|的诠释：定理的构
6、成部分特征大小关系等号成立的条件左端|a|b|可能是负的中间部分中间部分为|ab|时，ab0，且|a|b|时，左边的等号成立；中间部分为|ab|时，ab0，且|a|b|时，左边等号成立.中间部分|ab|肯定是非负的左端右端用“”连接时，ab0，右端取等号，ab0，且|a|b|时，左端取等号；用“”连接时，ab0，且|a|b|时，左端取等号，ab0，右端取等号.右端|a|b|是非负的中间部分中间部分为|ab|时，ab0，等号成立；中间部分为|ab|时，ab0，等号成立.探究3含绝对值不等式的证明思路是什么？【提示】含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法
7、去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式性质定理：|a|b|ab|a|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，进而特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明.设a，bR，求证： .【精彩点拨】利用绝对值不等式性质或构造函数证明.【自主解答】法一：若ab0或ab0，不等式显然成立.若ab0且ab0，|ab|a|b|，(*)又，.又由(*)式可知.综上可知.法二：若ab0或ab0，不等式显然成立.若ab0且ab0，|ab|a|b|，011.即0.取倒数得，又由法一知，原不等式成立.法三：|a|b|ab
8、|，|a|b|(|a|b|)|ab|ab|(|a|b|)|ab|，即(|a|b|)(1|ab|)|ab|(1|a|b|).两边同除以(1|ab|)(1|a|b|)得.又由法一知，原不等式成立.法四：构造函数f(x)，任取x1，x20，)且x1x2，有f(x1)f(x2)0.f(x)在0，)上为增函数.又|a|b|ab|，f(|a|b|)f(|ab|)，即.又由法一知，所证不等式成立.构建体系1.已知实数a，b满足ab0，那么有()A.|ab|a|b|C.|ab|ab|D.|ab|a|b|【解析】ab|ab|成立，|ab|a|b|，|ab|a|b|也成立.【答案】C2.若a，bR，则使|a|b|
9、1成立的充分不必要条件() 【导学号：38000014】A.|a|且|b|B.|ab|1C.|a|1D.b1【解析】当b1，|a|b|1，但|a|b|1/ b1(如a2，b0)，“b1”的充分不必要条件.【答案】D3.若|ac|b，则下列不等式不成立的是()A.|a|b|c|B.|c|c|a|D.b|a|c|【解析】由|ac|0，b|b|.|a|c|ac|，|a|c|b，则|a|b|c|b|c|，故选项A成立.同理，由|c|a|ac|，得|c|a|b，|c|b|，由选项B成立，得|c|a|b|.|b|c|a|b|，即|c|a|5；|2，|2.以其中的两个论断为条件，另一个论断作为结论，下列正确的命题是()A.B.C.D.都不正确【解析】当，成立时，则|45.【答案】A5.已知f(x)|x10|x20|(xR)，求f(x)的最小值，并求当f(x)有最小值时，实数x的取值范围.【解】|x10|x20|x10|20x|(x10)(20x)|10.当且仅当(x10)(20x)0时取等号.由(x10)(20x)0，得10x20，因此f(x)的最小值为10，此时实数x的取值范围是10,20.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)
