1、【上海市位育中学2015学年第一学期高二数学学科期末考试卷】一、填空题（本大题满分40分，共有10题，要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分）1、若直线与直线互相垂直，则实数 2、直线关于直线对称的直线方程是 3、直线与圆相交的弦长为 4、若，则直线的倾斜角的取值范围是 5、已知双曲线的焦距为10，点在的渐近线上，则的方程为 6、若，且，则 7、在直角坐标系中，已知曲线（为参数）与曲线（为参数，）有一个公共点在轴上，则 8、已知分别为双曲线的左、右焦点，点在曲线上，点的坐标为，为的平分线，则 9、已知直线和圆，点在直线上，为圆上两点，在中，过圆心，则点横坐标范围为 10、椭圆上任意两
2、点，若，则乘积的最小值为 二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分）11、在复平面内，复数（是虚数单位）所对应的点位于（ ）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限12、已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点若点M到该抛物线焦点的距离为3，则（ ）A B 4C D 13、设，若直线与圆相切，则的取值范围是（ ）A B C D 14、直线，与椭圆相交于两点，该椭圆上点，使得面积等于3这样的点共有（ ）A 1个B 2个C 3个D 4个三、解得题（本大题满分4
3、4分，共有4题，解答下列各题必须写出必要步骤）15、（本题10分）已知复数满足，求16、（本题10分）已知以点P为圆心的圆经过点和，线段的垂直平分线交P于点C和D，且求圆P的方程17、（本题12分）已知椭圆过点作圆的切线交椭圆于两点（1）求椭圆的焦点坐标；（2）将表示为的函数，并求的最大值18、（本题12分）过抛物线的对称轴上一点的直线与抛物线相交于两点，自向直线作垂线，垂足分别为（1）当时，求证：；（2）记的面积分别为，是否存在，使得对任意的，都有成立若存在，求出的值；若不存在，说明理由四、附加题19设椭圆过两点，O为坐标原点是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，
4、且？若存在，写出该圆的方程，并求出的取值范围；若不存在，说明理由【上海市位育中学2015学年第一学期高二数学学科期末考试卷】一、填空题（本大题满分40分，共有10题，要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分）1、若直线与直线互相垂直，则实数 【答案：1 】2、直线关于直线对称的直线方程是 【答案： 】3、直线与圆相交的弦长为 【答案：解析：直线与圆的普通方程为和，圆心到直线的距离为，所以弦长为】4、若，则直线的倾斜角的取值范围是 【答案： 】5、已知双曲线的焦距为10，点在的渐近线上，则的方程为 【答案：解析：设双曲线的半焦距为，则又的渐近线为，点在渐近线上，即又，的方程为 】6、若，
5、且，则 【答案：2 】7、在直角坐标系中，已知曲线（为参数）与曲线（为参数，）有一个公共点在轴上，则 【答案： 】8、已知分别为双曲线的左、右焦点，点在曲线上，点的坐标为，为的平分线，则 【答案：6解析：，由角平分线的性质得，又 】9、已知直线和圆，点在直线上，为圆上两点，在中，过圆心，则点横坐标范围为 【答案：解析：设，则圆心到直线的距离，由直线与圆有公共点，则，即，解得】10、椭圆上任意两点，若，则乘积的最小值为 【答案：解析：设，由于在椭圆上，有 ， ，得，于是当时，达到最小值 】二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代
6、号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分）11、在复平面内，复数（是虚数单位）所对应的点位于（ ）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限【答案：B】12、已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点若点M到该抛物线焦点的距离为3，则（ ）A B 4C D 【答案：C 解析：设抛物线方程为，焦点F，则，】13、设，若直线与圆相切，则的取值范围是（ ）A B C D 【答案：D圆心为，半径为1直线与圆相切，所以圆心到直线的距离满足，即，设，即，解得，或】14、直线，与椭圆相交于两点，该椭圆上点，使得面积等于3这样的点共有（ ）A 1个B 2个C 3个D 4个【答案：B
7、解析：直线与椭圆的交线长为5直线方程设点点与直线的距离，当时，即此时没有三角形面积为3；当时，即此时有2个三角形面积为3选B】三、解得题（本大题满分44分，共有4题，解答下列各题必须写出必要步骤）15、（本题10分）已知复数满足，求【解：设，则，又，联立解得，当时，或（舍去，因此时），当时，综上所得】16、（本题10分）已知以点P为圆心的圆经过点和，线段的垂直平分线交P于点C和D，且求圆P的方程【解：直线的斜率为，中点坐标为，所以直线的方程为，即设圆心，则由P在上得 又由直径， 由解得或，圆心或，圆P的方程为或】17、（本题12分）已知椭圆过点作圆的切线交椭圆于两点（1）求椭圆的焦点坐标；（2
8、）将表示为的函数，并求的最大值【解：（1）由已知得，椭圆的焦点坐标为（2）由题意知，当时，切线的方程为，点的坐标分别为，此时；当时，同理可得；当时，设切线方程为，由得设两点两点坐标分别为，则，又由于圆相切，得，即所以由于当时，所以因为，当且仅当时，所以的最大值为2】18、（本题12分）过抛物线的对称轴上一点的直线与抛物线相交于两点，自向直线作垂线，垂足分别为（1）当时，求证：；（2）记的面积分别为，是否存在，使得对任意的，都有成立若存在，求出的值；若不存在，说明理由【解：依题意，可设直线方程为，则有由消去可得，从而有 于是 又由可得 （1）如图1，当时，点即为抛物线的焦点，为其准线，此时，并由
9、可得证法1：，即证法2：，即（2）存在，使得对任意的，都有成立，证明如下：证明：记直线与轴的交点为，则于是有，由、代入上式化简可得，所以对任意的，都有恒成立】四、附加题19设椭圆过两点，O为坐标原点是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且？若存在，写出该圆的方程，并求出的取值范围；若不存在，说明理由【解：（1）因为椭圆过两点，所以有，解得，即，所以椭圆的方程为（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且，设该圆的切线方程为，解方程组得，则，即，要使，需使，即，所以，所以，又，所以，所以，即或因为直线为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为，所求的圆为，此时圆的切线方程都满足或；而当切线斜率不存在时，切线为与椭圆的两个交点为或满足综上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且当时，因为，所以，所以，当且仅当时取“=”；当或不存在时，；综上，的取值范围是