1、模块综合测评(时间120分钟,满分150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.原点与极点重合,x轴正半轴与极轴重合,则点(5,5)的极坐标是()A.B.C.D.【解析】10,又tan .因点(5,5)在第三象限,.极坐标为.【答案】B2.曲线(为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是()A.B.1C.D.【解析】因为曲线表示单位圆,其圆心在原点,半径为1,所以曲线上的点到两坐标轴的距离之和不小于1,且不会恒等于1(因为直角三角形中,两直角边之和大于斜边).故最大值必大于1,排除B,C,D.【答案】A3.若一直线的参数
2、方程为(t为参数),则此直线的倾斜角为()A.60B.120C.300D.150【解析】参数方程化为普通方程为yy0(xx0),斜率k,倾斜角为120.故选B.【答案】B4.极坐标方程分别是2cos 和4sin ,两个圆的圆心距离是() 【导学号:12990038】A.2B.C.5D.【解析】2cos 是圆心在(1,0),半径为1的圆;4sin 是圆心在,半径为2的圆,所以两圆心的距离是.【答案】D5.柱坐标对应的点的直角坐标是()A.(,1,1)B.(,1,1)C.(1,1)D.(1,1)【解析】由直角坐标与柱坐标之间的变换公式可得故应选C.【答案】C6.在极坐标系中,与圆4sin 相切的一
3、条直线方程为()A.sin 2B.cos 2C.cos 4D.cos 4【解析】如图,C的极坐标方程为4sin ,COOx,OA为直径,|OA|4,sin 2表示直线y2,cos 4表示直线x4,cos 4表示直线x4,均不与圆相切,只有B符合.【答案】B7.以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程是(t为参数),圆C的极坐标方程是4cos ,则直线l被圆C截得的弦长为()A.B.2C.D.2【解析】直线l的参数方程(t为参数)化为直角坐标方程是yx4,圆C的极坐标方程4cos 化为直角坐标方程是x2y24x0.圆C的圆
4、心(2,0)到直线xy40的距离为d.又圆C的半径r2,因此直线l被圆C截得的弦长为22.故选D.【答案】D8.在平面直角坐标系中,点集M,则点集M所覆盖的平面图形的面积为()A.4B.3C.2D.与,有关【解析】两式平方相加得x2y2112sin cos 2cos sin ,即x2y222sin ().由于1sin()1,022sin()4,点集M所覆盖的平面图形的面积为224.【答案】A9.若直线l:ykx20与曲线C:2cos 有交点,则k的取值范围是()A.kB.kC.kRD.kR且k0【解析】由题意可知直线l过定点(0,2),曲线C的普通方程为x2y22x,即(x1)2y21.由图可
5、知,直线l与圆相切时,有一个交点,此时1,解得k.若满足题意,只需k即可.故应选A.【答案】A10.已知集合A(x,y)|(x1)2y21,B(x,y)1,C (,),kZ,D ,下列等式成立的是()A.ABB.BDC.ACD.BC【解析】集合B与D都是曲线(x1)2y21(x0,x2).【答案】B11.在极坐标系中,设圆3上的点到直线(cos sin )2的距离为d,则d的最大值为()A.5B.6C.4D.3【解析】极坐标方程3转化成直角坐标方程为x2y23,所以圆心为(0,0),半径为3,(cos sin )2转化成直角坐标方程为xy2.则圆心到直线xy2的距离d1.圆上的点到直线的最大距
6、离为d3134.【答案】C12.已知方程x2axb0的两根是sin 和cos ,则点(a,b)的轨迹是()A.椭圆弧B.圆弧C.双曲线弧D.抛物线弧【解析】由题a22b(sin cos )22sin cos 1.又|,表示抛物线弧.【答案】D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上)13.球坐标对应的点的直角坐标是_.【解析】由空间点P的直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,)之间的变换关系为可得【答案】14.在平面直角坐标系中,曲线C:(t为参数)的普通方程为_.【解析】由参数方程得x2y1,即xy10.【答案】xy1015.在极坐标系中,直线sin2被圆4所截
7、得的弦长为_.【解析】依题意,题中直线与圆的直角坐标方程分别是xy20,x2y216,则圆心(0,0)到直线xy20的距离等于2.因此该直线被圆截得的弦长等于24.【答案】416.在直角坐标系xOy中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点A,B分别在曲线C1:(为参数)和曲线C2:1上,则|AB|的最小值为_. 【导学号:12990039】【解析】C1:(x3)2(y4)21,C2:x2y21,两圆心之间的距离为d5.A曲线C1,B曲线C2,|AB|min523.【答案】3三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知
8、曲线C1的极坐标方程为4sin ,曲线C2的极坐标方程为(R),曲线C1,C2相交于点M,N.(1)将曲线C1,C2的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求线段MN的长.【解】(1)由4sin ,得24sin ,即曲线C1的直角坐标方程为x2y24y0,由(R),得yx.(2)把yx代入x2y24y0,得x2x2x0,即x2x0,解得x10,x2,所以y10,y21,|MN|2.18.(本小题满分12分)已知圆的直径为2,其渐开线的标准参数方程对应的曲线上的两点A,B对应的参数分别是和,求A,B两点的距离.【解】根据条件可知圆的半径是1,所以对应的渐开线参数方程是(为参数),分别把和代入,可得A
9、,B两点的坐标分别为A,B.那么,根据两点之间的距离公式可得A,B两点的距离为|AB|,即A,B两点之间的距离为.19.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中,圆C1:x2y24,圆C2:(x2)2y24.(1)在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆C1,C2的极坐标方程,并求出圆C1,C2的交点坐标(用极坐标表示);(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程.【解】(1)圆C1的极坐标方程为2,圆C2的极坐标方程为4cos .解得2,故圆C1与圆C2交点的坐标为,.注:极坐标系下点的表示不唯一.(2)法一:由得圆C1与圆C2交点的直角坐标分别为(1,),(1,).故圆C1与圆C
10、2的公共弦的参数方程为t.(或参数方程写成y)法二:将x1代入得cos 1,从而.于是圆C1与圆C2的公共弦的参数方程为.20.(本小题满分12分)已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为2sin .(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标(0,02).【解】(1)将消去参数t,化为普通方程(x4)2(y5)225,即C1:x2y28x10y160.将代入x2y28x10y160得28cos 10sin 160.所以C1的极坐标方程为28cos 10sin 160.(2)C2的普通方程为x2y22
11、y0.由解得或所以C1与C2交点的极坐标分别为,.21.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x6)2y225.(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|,求l的斜率.【解】(1)由xcos ,ysin 可得圆C的极坐标方程为212cos 110.(2)法一:由直线l的参数方程(t为参数),消去参数得yxtan .设直线l的斜率为k,则直线l的方程为kxy0.由圆C的方程(x6)2y225知,圆心坐标为(6,0),半径为5.又|AB|,由垂径定理及点到直线的距离公式得,即,整理得
12、k2,解得k,即l的斜率为.法二:在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为(R).设A,B所对应的极径分别为1,2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得212cos 110,于是1212cos ,1211.|AB|12|.由|AB|得cos2,tan .所以l的斜率为或.22.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为2cos ,.(1)求C的参数方程;(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:yx2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.【解】(1)C的普通方程为(x1)2y21(0y1).可得C的参数方程为(t为参数,0t).(2)设D(1cos t,sin t),由(1)知C是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆.因为C在点D处的切线与l垂直,所以直线GD与l的斜率相同,tan t,t.故D的直角坐标为,即.