1、课时规范练64离散型随机变量的均值与方差基础巩固组1.某人进行一项实验,若实验成功,则停止实验,若实验失败,再重新进行实验,若实验3次均失败,则放弃实验,若此人每次实验成功的概率为23,则此人实验次数的数学期望是()A.43B.139C.53D.1372.(2021湖北武汉二中期末,5)随机变量X的分布列如表,若E(X)=2,则D(X)=()X124P12abA.65B.43C.54D.323.已知5台机器中有2台存在故障,现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止.若检测一台机器的费用为1 000元,则所需检测费的均值为()A.3 200B.3 400C.3 500D.3 6004.(20
2、21浙江湖州期末)一个口袋中有7个大小、质地完全相同的球,其中红球3个、黄球2个、绿球2个.现从该口袋中任取3个球,设取出红球的个数为,则E()=.5.已知随机变量XB(n,p),若E(X)=3,D(X)=2,则p=,P(X=1)=.6.某投资公司在2021年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目供选择.项目一:新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为79和29;项目二:通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50%,可能损失30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为35,13和115
3、.针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由.综合提升组7.(2021浙江三模)已知离散型随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,且P(X1)=23,P(X=3)=16,若X的数学期望E(X)=54,则D(4X-3)=()A.19B.16C.194D.748.(2021浙江二模)已知0k1,0x1,随机变量X的分布列如下X02x41-x2Pk1214当E(X)取最大值时,D(X)=()A.1B.2C.3D.9-29.一个不透明袋中放有大小、形状均相同的小球,其中红球3个、黑球2个,现随机等可能取出小球.当有放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为1,则E(1)=;若第
4、一次取出一个小球后,放入一个红球和一个黑球,再第二次随机取出一个小球.记取出的红球总数为2,则E(2)=.10.(2021山东济宁一模)垃圾分类收集处理是一项利国利民的社会工程和环保工程.搞好垃圾分类收集处理,可为政府节省开支,为国家节约能源,减少环境污染,是建设资源节约型社会的一个重要内容.为推进垃圾分类收集处理工作,A市通过多种渠道对市民进行垃圾分类收集处理方法的宣传教育,为了解市民能否正确进行垃圾分类处理,调查机构借助网络进行了问卷调查,并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析,得到如下列联表(单位:人):能否正确进行垃圾分类能不能总计55岁及以下903012055岁以上50308
5、0总计14060200(1)能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为A市能否正确进行垃圾分类与年龄有关?(2)将频率视为概率,现从A市55岁及以下的市民中用随机抽样的方法每次抽取1人,共抽取3次.记被抽取的3人中“不能正确进行垃圾分类”的人数为X,若每次抽取的结果是相互独立的,求随机变量X的分布列和均值E(X).附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.P(K2k0)0.150.100.050.025k02.0722.7063.8415.02411.(2021山西运城考前适应)某工厂为提高生产效率,需引进一条新的生产线投入生产,现有两条生产
6、线可供选择,生产线:有A,B两道独立运行的生产工序,且两道工序出现故障的概率依次是0.01,0.05.若两道工序都没有出现故障,则生产成本为16万元;若A工序出现故障,则生产成本增加2万元;若B工序出现故障,则生产成本增加3万元;若A,B两道工序都出现故障,则生产成本增加5万元.生产线:有a,b两道独立运行的生产工序,且两道工序出现故障的概率依次是0.04,0.02.若两道工序都没有出现故障,则生产成本为15万元;若a工序出现故障,则生产成本增加8万元;若b工序出现故障,则生产成本增加5万元;若a,b两道工序都出现故障,则生产成本增加13万元.(1)若选择生产线,求生产成本恰好为20万元的概率
7、;(2)为最大限度节约生产成本,你会给工厂建议选择哪条生产线?请说明理由.创新应用组12.(2021江苏苏锡常镇四市一模)某地发现6名疑似病人中有1人感染病毒,需要通过血清检测确定该感染人员,血清检测结果呈阳性的即为感染人员,呈阴性表示没感染.拟采用两种方案检测:方案甲:将这6名疑似病人血清逐个检测,直到能确定感染人员为止.方案乙:将这6名疑似病人随机分成2组,每组3人.先将其中一组的血清混在一起检测,若结果为阳性,则表示感染人员在该组中,然后再对该组中每份血清逐个检测,直到能确定感染人员为止;若结果为阴性,则对另一组中每份血清逐个检测,直到能确定感染人员为止.(1)求这两种方案检测次数相同的
8、概率;(2)如果每次检测的费用相同,请预测哪种方案检测总费用较少?并说明理由.13.(2021山东泰安一模)某市为了了解本市高中生周末运动时间,随机调查了3 000名学生,统计了他们的周末运动时间,制成如图所示的频率分布直方图.(1)按照分层抽样,从40,50)和80,90中随机抽取了9名学生.现从已抽取的9名学生中随机推荐3名学生参加体能测试.记推荐的3名学生来自40,50)的人数为X,求X的分布列和数学期望;(2)由频率分布直方图可近似认为:周末运动时间t服从正态分布N(,2),其中,为样本的平均数t,近似为样本的标准差s,并已求得s14.6.可以用该样本的频率估计总体的概率,现从本市所有
9、高中生中随机抽取12名学生,记周末运动时间在(43.9,87.7之外的人数为Y,求P(Y=3)(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表,结果精确到0.001).参考数据:当YN(,2)时,P(-Y+)0.682 7,P(-2Y+2)0.954 5,P(-3Y+3)0.997 3,0.818 690.165 1,0.181 430.006 0.答案：课时规范练1.B解析:由题意可得=1,2,3,每次实验成功的概率为23,则失败的概率为13,P(=1)=23,P(=2)=1323=29,P(=3)=1313=19,则实验次数的分布列如下123P232919所以此人实验次数的数学期望是E()=123
10、+229+319=139.故选B.2.D解析:由分布列的性质以及数学期望公式可得E(X)=12+2a+4b=2,a+b=12,解得a=b=14,所以D(X)=12(1-2)2+14(2-2)2+14(4-2)2=32.故选D.3.C解析:设检测的机器的台数为X,则X的所有可能取值为2,3,4.P(X=2)=A22A52=110,P(X=3)=C21C31A22+A33A53=310,P(X=4)=C21C32A33C21A54=35,所以E(X)=2110+3310+435=3.5,所以所需的检测费用的均值为1 0003.5=3 500.4.97解析:依题意,设取出红球的个数为,则=0,1,2
11、,3,而口袋中有红球3个、其他球4个,故P(=0)=C43C73=435,P(=1)=C31C42C73=1835,P(=2)=C32C41C73=1235,P(=3)=C33C73=135,故E()=0435+11835+21235+3135=4535=97.5.132562 187解析:因为随机变量XB(n,p),E(X)=3,D(X)=2,所以np=3,np(1-p)=2,解得p=13,n=9,即随机变量XB9,13.P(X=1)=C9113238=2562 187.6.解: 若按“项目一”投资,设获利为X1万元,则X1的分布列为X1300-150P7929E(X1)=30079+(-1
12、50)29=200.若按“项目二”投资,设获利为X2万元,则X2的分布列为X2500-3000P3513115E(X2)=50035+(-300)13+0115=200.D(X1)=(300-200)279+(-150-200)229=35 000,D(X2)=(500-200)235+(-300-200)213+(0-200)2115=140 000.E(X1)=E(X2),D(X1)2.706,在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为A市能否正确进行垃圾分类处理与年龄有关.(2)由题意可得XB3,14,P(X=k)=C3k14k1-143-k,k=0,1,2,3,P(X=0)=2764,P(
13、X=1)=2764,P(X=2)=964,P(X=3)=164.可得随机变量X的分布列为X0123P27642764964164均值E(X)=314=34.11.解: (1)若选择生产线,生产成本恰好为20万元,即a工序不出现故障b工序出现故障,故生产成本恰好为20万元的概率为(1-0.04)0.02=0.019 2.(2)若选择生产线,设增加的生产成本为万元,则的可能取值为0,2,3,5.P(=0)=(1-0.01)(1-0.05)=0.940 5,P(=2)=0.01(1-0.05)=0.009 5,P(=3)=(1-0.01)0.05=0.049 5,P(=5)=0.010.05=0.0
14、00 5.所以E()=00.940 5+20.009 5+30.049 5+50.000 5=0.17,故选生产线的生产成本期望值为16+0.17=16.17(万元).若选生产线,设增加的生产成本为万元,则的可能取值为0,8,5,13.P(=0)=(1-0.04)(1-0.02)=0.940 8,P(=8)=0.04(1-0.02)=0.039 2,P(=5)=(1-0.04)0.02=0.019 2,P(=13)=0.040.02=0.000 8.所以E()=00.940 8+80.039 2+50.019 2+130.000 8=0.42,故选生产线的生产成本期望值为15+0.42=15.
15、42(万元).故应选生产线.12.解: (1)由题意可设甲方案检测的次数是X,则X的可能取值为1,2,3,4,5,记乙方案检测的次数是Y,则Y的可能取值为2,3,方案甲与方案乙相互独立,P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=16,P(X=5)=13,P(Y=2)=13,P(Y=3)=1-P(Y=2)=23,用D表示事件“方案甲所需检测的次数等于方案乙所需检测的次数”,则P(D)=P(X=2,Y=2)+P(X=3,Y=3)=1613+1623=16.所以这两种方案检测次数相同的概率为16.(2)由(1)可知,P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=16,P(X=
16、5)=13,所以E(X)=116+216+316+416+513=103,又P(Y=2)=13,P(Y=3)=23,所以E(Y)=213+323=83,故E(Y)E(X).所以方案乙检测总费用较少.13.解: (1)根据分层抽样,从40,50)中抽取6人,从80,90中抽取3人,随机变量X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=C60C33C93=184,P(X=1)=C61C32C93=314,P(X=2)=C62C31C93=1528,P(X=3)=C63C30C93=521.则X的分布列为X0123P1843141528521E(X)=0184+1314+21528+3521=2.(2)=t=350.0110+450.0210+550.0310+650.01510+750.01510+850.0110=58.5,又因为43.9=58.5-14.6=-,87.7=58.5+214.6=+2,所以P(43.9t87.7)=P(-87.7)=1-0.818 6=0.181 4,则YB(12,0.181 4),所以P(Y=3)=C1230.181 430.818 692200.006 00.165 10.218.
