1、百校联盟2016年浙江省高考最后一卷（押题卷）理科数学(第五模拟)一、选择题：共8题1“=”是“tan 4=”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题以三角函数为载体,考查充要关系的判断,属于基础题.tan 4=4=k+(kZ)=+(kZ),从而“=”是“tan 4=”的充分不必要条件,故选A. 2下列函数中,在区间(0,+)上为增函数的是A.y=log2(x+5)B.y=()xC.y=-D.y=-x【答案】A【解析】本题考查函数的单调性的判断与应用,属于基础题.y=log2(x+5)在区间(0,+)上为增函数,满足题意;y=()x在区间
2、(0,+)上为减函数,不满足题意;y=-在区间(0,+)上为减函数,不满足题意;y=-x在区间(0,+)上是减函数,不满足题意.故选A. 3如图,某几何体的正视图和俯视图都是矩形,侧视图是平行四边形,则该几何体的体积为A.6B.9C.12D.18【答案】B【解析】本题考查由三视图求几何体的体积,其中根据三视图判断出几何体的形状是解题的关键.由三视图可知该几何体为放倒的四棱柱,其底面边长为2+=3,底边上的高为,故底面积S=3=3,又棱柱的高为3,故V=33=9,故选B. 4已知双曲线=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e,F2与抛物线y2=2px(p0)的焦点重合,P为双曲
3、线右支上一点,PF1PF2.若向量在向量上的投影为,则e2=A.16-B.16+4C.D.104【答案】B【解析】本题考查抛物线、双曲线的几何性质,射影定理的应用,考查考生的数形结合思想和运算求解能力.由题意可知,F1(-c,0),F2(c,0),又抛物线y2=2px(p0)的焦点坐标为(,0),则p=2c.过P作PG垂直于x轴,垂足为G,则由射影定理得|PG|2=,|PG|=,点P的坐标为(),又点P在双曲线上,=1,结合a2+b2=c2得c2(c2-a2)-15a2c2=16a2(c2-a2),即c4-32a2c2+16a4=0,e4-32e2+16=0,解得e2=164,又e1,e2=1
4、6+4. 5已知f(n)=,且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a2 016=A.0B.2 016C.-2 016D.1 008【答案】B【解析】本题考查数列中前2 016项的和的求法,属于中档题,解题时要认真审题,注意n的奇偶性的合理运用.f(n)=,且an=f(n)+f(n+1),当n为奇数时,an=f(n)+f(n+1)=n2-(n+1)2=-2n-1,an+1=f(n+1)+f(n+2) =-(n+1)2+(n+2)2=2n+3,an+an+1=2,a1+a2=2,a3+a4=2,a2 013+a2 014=2,a2 015+a2 016=2,a1+a2+a2 016=(a1
5、+a2)+(a3+a4)+(a2 013+a2 014)+(a2 015+a2 016)=1 0082=2 016.故选B. 6如图,已知点M是边长为2的正六边形ABCDEF的内切圆上一动点,则的取值范围是A.-2,8B.-1,11C.-1,8D.-,4【答案】B【解析】本题考查圆的方程、向量的坐标运算及向量的数量积等知识,考查考生分析问题、解决问题的能力.如图所示,建立平面直角坐标系,取线段CD的中点P,连接OP,由于正六边形ABCDEF的边长为2,则|OP|=,设点M(x,y),内切圆的方程为x2+y2=3,故-y.易知点A(-1,-),B(1,-),所以=(-1-x,-y)(1-x,-y
6、)=-(1-x2)+=-1+3-y2+3+2y+y2=2y+5,又-y,所以-12y+511,即的取值范围是-1,11. 7已知定义在R上的函数f满足f=-f,当x0,4)时,f=|x2-2x+|.若函数y=f-m在区间-3,5上有8个互不相同的零点,则实数m的取值范围是A.(0,)B.(0,1C.(,1)D.,1【答案】A【解析】本题考查函数的零点,考查考生的数形结合思想.由于定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即函数f(x)的周期为4,作出函数f(x)在-3,5上的图象和直线y=m如图所示,从图象可以看出,实数m的取值范围为(0
7、,). 8已知集合A=(x,y)|x|+|y|1,x,yZ,B=(x,y)|x2+y22,x,yZ,定义集合AB=(x2-x1,y2-y1)|(x1,y1)A,(x2,y2)B,则AB中元素的个数为A.15B.18C.21D.24【答案】C【解析】本题考查平面区域及其整点问题、新定义运算和考生分析问题、解决问题的能力.解题的关键有三:一是准确地找出集合A,B所表示的平面区域内的整点,二是弄清新定义集合的意义,三是分类讨论思想、数形结合思想的灵活运用.通解由题意知,A=(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1),(0,0),B=(-1,1),(-1,0),(-1,-1),(0,1),(0
8、,0),(0,-1),(1,1),(1,0),(1,-1).所以由新定义集合AB可知,当x1=1,y1=0时,x2-x1的值可以为-2,-1,0,1,2,y2-y1的值可以为-1,0,1,所以此时AB中元素的个数为53=15;当x1=0,y1=1时,x2-x1的值可以为-1,0,1,y2-y1的值可以为-2,-1,0,1,2,这种情况和第一种情况除y2-y1的值取-2或2外均相同,即此时比第一种情况多出32=6个;当x1=0,y1=0时,AB=B,此时所有结果全部包含在以上两种情况中,故AB中元素的个数为15+6=21.优解由题意知,A=(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1),(0
9、,0),B=(-1,1),(-1,0),(-1,-1),(0,1),(0,0),(0,-1),(1,1),(1,0),(1,-1),集合B中的元素所对应的点构成正方形点阵,当x1=1,y1=0时,相当于将点阵中的点向左平移1个单位,此时所得点阵比原方阵多出3个点,分别为(-2,1),(-2,0),(-2,-1);当x1=-1,y1=0时,相当于将点阵中的点向右平移1个单位,此时所得点阵比原方阵多出3个点,分别为(2,1),(2,0),(2,-1);当x1=0,y1=-1时,相当于将点阵中的点向上平移1个单位,此时所得点阵比原方阵多出3个点,分别为(-1,2),(0,2),(1,2);当x1=0
10、,y1=1时,相当于将点阵中的点向下平移1个单位,此时所得点阵比原方阵多出3个点,分别为(-1,-2),(0,-2),(1,-2);当x1=0,y1=0时,所得点阵就是原点阵,所以AB中元素的个数为9+34=21. 二、填空题：共7题9已知集合A=|m|,0,B=xZ|x2-20,若AB,则m=,BA=.【答案】1-1【解析】本题考查集合之间的关系、集合的补运算,属于容易题.依题意得B=-1,0,1,又AB,则|m|=1,故m=1,A=0,1,BA=-1. 10已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形,若平面ABCD内有且仅有1个点到顶点A1的距离为1,则异面直线AA1,
11、BC1所成的角为.【答案】【解析】由题意可知,只有点A到A1距离为1,即高为1,所以该几何体是个正方体,异面直线AA1,BC1所成的角是. 11已知log2(x+y)=log2x+log2y-2,则=,3x+4y的最小值为.【答案】1228+16【解析】本题考查对数运算及基本不等式的应用等知识,难度中等.log2(x+y)=log2x+log2y-2=log2,=4,=12,且+,从而可得3x+4y=4(3x+4y)(+)=28+4(+)28+44=28+16,当且仅当x=4+,y=4+2时等号成立,故3x+4y的最小值为28+16. 12设a,b为两个不共线的非零向量,且a,b的夹角为锐角,
12、若对任意的实数m,n,都有|a+mb|的最小值为1,|b+na|的最小值为2,ab的最小值为4,则向量a,b的夹角的最大值是,的最小值是.【答案】4【解析】本题考查平面向量的数量积、夹角、模等知识,考查考生的运算求解能力.设向量a与b的夹角为(0,),由向量的几何意义可知|a|sin=1,|b|sin=2,所以ab= cos=,易知当 cos最小时,ab的最小值为4,得cos的最小值为,又(0,),所以向量a与b的夹角的最大值是,因为向量a与b的夹角为(0,所以=4. 13已知函数f(x)=,则方程f(x)=2的解集是,函数f(x)在0,3上的值域为.【答案】1-,40,2)【解析】本题考查分
13、段函数的值域、方程的解等知识,考查考生的数形结合思想及运算求解能力.当0x2时,由2x-x2=2可知,该方程无解;当x2时,f(4)=f(3)+1=f(2)+2=2,所以方程f(x)=2的解集是1-,4.作出函数f(x)的大致图象如图所示,由图可知,函数f(x)在0,3上的值域是0,2). 14设变量x,y满足条件令s= lg (y+1)-lgx,则s的取值范围为.【答案】0,lg【解析】本题考查线性规划的知识,考查考生的运算求解能力.准确作出可行域,判断出s的意义是解题的关键.作出不等式组确定的可行域如图中阴影部分所示.因为lg(y+1)-lgx=lg,设t=,显然t的几何意义是可行域内的点
14、P(x,y)与定点E(0,-1)连线的斜率.由图可知当点P在点B处时,t取得最小值;当点P在点C处时,t取得最大值.由解得,即B(3,2);由解得,即C(2,4).故t的最小值为=1,t的最大值为,所以t1,.又函数y=lgx为(0,+)上的增函数,所以lgt0,lg,s的取值范围为0,lg. 15设ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若ABC的面积为2,AB边上的中线长为,且b=acosC+csinA,则ABC中最长边的长为.【答案】4或2【解析】本题考查三角形内角和定理、诱导公式、正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式,考查了考生的推理能力与计算能力.设D为AB的中点,b=acos
15、C+csinA,由正弦定理可得sinB=sinAcosC+sinCsinA=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,sinCsinA=cosAsinC,又sinC0,tanA=1,又A(0,),A=.SABC=bcsinA=2,bc=4.在ACD中,由余弦定理可得()2=b2+()2-2bcos,即4b2+c2=24,与bc=4联立可得b=,c=4或b=2,c=2.由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos,将b=,c=4和b=2,c=2分别代入上式解得a=或2.ABC的边长分别为,4或2,2,2.故ABC的最长边的长为4或2. 三、解答题：共5题16已知函数f(x)=2cos
16、(x+)(0).(1)若函数f(x)在-上单调递减,求的取值范围;(2)设=2,将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数g(x)的图象,若关于x的方程g(x)-c=0在区间0,上有两个不相等的实数根,求实数c的取值范围.【答案】(1)由x-得x+,因为0,所以(kN).又当kN*时,12k无解,且0,所以k=0,即0,故的取值范围是(0,.(2)由=2得,f(x)=2cos(2x+)=-2cos 2x,由题意知,g(x)=-2cos2(x+)+1=2sin(2x+)+1.又x0,所以2x+,关于x的方程g(x)-c=0在区间0,上有两个不相等的实数根等价于函数g
17、(x)的图象与直线y=c在0,上有两个不同的交点,又g(0)=2sin+1=+1,g()=2sin+1=3,所以+1c0),则E(,-),=(1,1,0),=(0,0,a),=(1,1,-a),=(,-).设平面ACE的法向量为m=(x1,y1,z1),则,即,令x1=1,得y1=-1,z1=-,则m=(1,-1,-)为平面ACE的一个法向量.设直线PA与平面ACE所成的角为,直线PA与平面ACE所成角的正弦值为,sin=|cos|=,整理得a4-4a2+4=0,故a=.P(0,0,),=(0,0,),设平面PAC的法向量为n=(x2,y2,z2),则,即,n=(1,-1,0)为平面PAC的一
18、个法向量.又m=(1,-1,-),cos=,由图可知,二面角P-AC-E是锐角,故二面角P-AC-E的大小为.【解析】本题考查线面平行的性质,线面角、二面角的计算等知识,考查考生的空间想象能力和推理论证能力.(1)利用线面平行的性质及三角形相似进行求解即可;(2)建立空间直角坐标系,利用向量法进行求解.【备注】高考对立体几何的考查以空间点、线、面的位置关系和空间角为主,一般设置两问,属于中档题.其中利用向量法求解的关键是建立适当的空间直角坐标系,正确求出相关点的坐标、直线的方向向量与平面的法向量.18已知函数f=3x,在数列an、bn中,a1=1,b1=1,对任意的nN*,an+1=,bn+1
19、-bn=.(1)求an、bn的通项公式;(2)若对任意的实数0,1,总存在自然数k,当nk时,bnf()恒成立,求k的最小值.【答案】(1)an+1=,an+1=, +2,数列是首项为1,公差为2的等差数列,=1+2(n-1)=2n-1,an=.又bn+1-bn=2n-1,由累加法知,bn=n2-2n+2.(2)对任意的实数0,1,bnf()恒成立对任意的实数0,1,n2-2n+23(2n-1)恒成立对任意的实数0,1,(2n-1)+n2-4n+30恒成立.令h()=(2n-1)+n2-4n+3,则h()是关于的一次函数,对任意的实数0,1,h()0恒成立对任意的实数0,1,即,解得n1或n3
20、,nN*,k的最小值为3.【解析】本题主要考查数列的通项公式的求法及不等式恒成立等,考查考生的逻辑推理能力和运算求解能力. 19设函数f(x)=(1)若方程f(x)=m有两个不同的解,求实数m的值,并解此方程;(2)当x(-b,b)(b0)时,求函数f(x)的值域.【答案】(1)因为f(0)=0,f(1)=0,f()=-,当x0时,f(-)=-.又函数f(x)在(-,0)上单调递增,在(0,)上单调递减,在(,+)上单调递增,所以当m=0或m=-时,方程f(x)=m有两个不同的解.当m=0时,方程的解为x=0和x=1;当m=-时,方程的解为x=和x=-.(2)由(1)可知,函数f(x)的图象如
21、图所示,当00.所以此时函数f(x)的值域为(b(b-1),0.当b时,因为f(-b)f(),所以此时函数f(x)的值域为-,0.当b1时,因为f(-b)1时,因为f(-b)0,所以此时函数f(x)的值域为(-b(b+1),b(b-1)【解析】本题以分段函数为载体,考查方程的根的求解及分段函数的值域等知识,意在考查数形结合、分类讨论、转化与化归、函数与方程等数学思想方法的应用. 20已知椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,半焦距为c,且b,故A1AB面积的最大值为2+3,此时直线AB的方程为y=(x-3).(2)假设存在点H满足题意,由+=1可知,|HF1|+|HF2|=4,|F1F2|=6,由+,得|HF1|HF2|=12.由得|HF1|、|HF2|为方程m2-4m+12=0的两个根,解得|HF1|=|HF2|=2,此时点H为椭圆C的上(或下)顶点.故存在点H,且|HF1|=|HF2|=2,使得成等差数列.【解析】本题考查椭圆的定义与几何性质、直线与椭圆的位置关系,考查考生分析问题、解决问题的能力【备注】探究性问题是近几年高考命题的热点与重点,它广泛存在于数学的各个章节中,圆锥曲线中探究性问题有其特殊性,对考生的各种能力有较全面的考查,因此考生在复习时应高度重视
