1、2017高考仿真卷理科数学(六)(考试时间:120分钟试卷满分:150分)第卷选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知全集U=R,集合A=x|y=,集合B=y|y=2x,xR,则(RA)B=()A.x|x0B.x|0x1C.x|122.已知复数z=cos +isin ,则=()A.cos +isin B.2sin C.2cos D.isin 23.设集合M=x|0x3,N=x|06?B.i6?C.i5?D.i5?9.2017年“元旦”期间,山西某游乐园举行免费游园活动,免费开放一天,早晨6时30分有2人进入游乐园,
2、接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来,第二个30分钟内有8人进去2人出来,第三个30分钟内有16人进去3人出来,第四个30分钟内有32人进去4人出来按照这种规律进行下去,到上午11点30分时园内的人数是()A.212-57B.211-47C.210-38D.29-3010.若圆x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三个不同点到直线l:ax+by=0的距离为2,则直线l的斜率的取值范围是()A.2-,1B.C.D.0,+)11.函数f(x)=2x-1+x-5的零点所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)12.定义在R上的函数f(x)满足f(x)-f(x)=
3、xex,且f(0)=,则的最大值为()A.1B.-C.-1D.0第卷非选择题(共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知a=sin xdx,则二项式的展开式中x-3的系数为.14.已知F1,F2为双曲线E:=1(a0,b0)的左、右两个焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sinMF2F1=,则E的离心率为.15.已知实数x,y满足若目标函数z=-mx+y的最大值为-2m+10,最小值为-2m-2,则实数m的取值范围是.16.在正三棱锥V-ABC内,有一个半球,其底面与正三棱锥的底面重合,且与正三棱锥的三个侧面都相切,若半球的半径为2,则正三棱锥的体积最小时,其底面边
4、长为.三、解答题(本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,tan C=.(1)求角C的大小;(2)若c=,求a2+b2的取值范围.18.(本小题满分12分)为了引导居民合理用水,某市决定全面实施阶梯水价,阶梯水价原则上以住宅(一套住宅为一户)的月用水量为基准定价,具体划分标准如下表:阶梯级别第一阶梯水量第二阶梯水量第三阶梯水量月用水量范围(单位:立方米)(0,10(10,15(15,+)从本市随机抽取了10户家庭,统计了同一个月的用水量,得到右边的茎叶图:(1)现要在这10户家庭中任意选取3户
5、,求取到第二阶梯水量的户数的分布列和均值;(2)用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况,从全市依次随机抽取10户,若抽到n户月用水量为第二阶梯水量的可能性最大,求出n的值.19.(本小题满分12分)如图,在四棱锥A-EFCB中,AEF为等边三角形,平面AEF平面EFCB,EFBC,BC=4,EF=2a,EBC=FCB=60,O为EF的中点.(1)求证:AOBE:(2)求二面角F-AE-B的余弦值;(3)若BE平面AOC,求a的值.20.(本小题满分12分)已知椭圆C:=1(ab0),过椭圆的上顶点与右顶点的直线l,与圆x2+y2=相切,且椭圆C的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合.(
6、1)求椭圆C的方程;(2)过点O作两条相互垂直的射线与椭圆C分别交于A,B两点,求OAB面积的最小值.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=xln x-x2-x+a(aR)在定义域内有两个不同的极值点.(1)求实数a的取值范围;(2)记两个极值点为x1,x2,且x10,若不等式x1e1+恒成立,求的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评分.22.(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C1:x+y=4,曲线C2:(为参数),以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C1,C2的极坐标方程;(2
7、)若射线l:=(0)分别交C1,C2于A,B两点,求的最大值.23.(本小题满分10分)选修45:不等式选讲已知|x1-2|1,|x2-2|1.(1)求证:2x1+x26,|x1-x2|2;(2)若f(x)=x2-x+1,求证:|x1-x2|f(x1)-f(x2)|5|x1-x2|.参考答案2017高考仿真卷理科数学(六)1.D解析 由题意,得A=x|2x-x20=x|0x2,RA=x|x2,B=y|y0,则(RA)B=x|x2.2.C解析 因z=cos +isin ,所以=2cos .3.B解析 由aM推不出aN;由aN能推出aM,所以“aM”是“aN”的必要不充分条件.4.D解析 甲乙相邻
8、的排队顺序共有2=48种,其中甲乙相邻,甲丙相邻的排队顺序共有2=12种,所以在甲乙相邻的条件下,甲丙也相邻的概率为5.C解析 设等差数列an的首项为a1,公差为d(d0),因为a1,a3,a4成等比数列,所以a1a4=,即a1=-4d,所以=2.6.C解析 由俯视图可知三棱锥的底面是个边长为2的正三角形,由侧视图可知三棱锥的一条侧棱垂直于底面,且其长度为2,故其正视图为高为2的三角形,且中间有一虚线,故选C.7.C解析 由题意,f(3)=f(-2)=-f(2)=-f(-1)=f(1)=f(0)=0,f=-f=-f=f=-,所以f(3)+f=0-=-8.C解析 由题意,得i=10,S=1,满足
9、条件,执行循环体,第1次循环,S=11,i=9,满足条件,执行循环体,第2次循环,S=20,i=8,满足条件,执行循环体,第3次循环,S=28,i=7,满足条件,执行循环体,第4次循环,S=35,i=6,满足条件,执行循环体,第5次循环,S=41,i=5,此时i不满足循环条件,退出循环,所以判断框中的条件为i5.故选C.9.A解析 设每个30分钟进去的人数构成数列an,则a1=2=2-0,a2=4-1,a3=8-2,a4=16-3,a5=32-4,an=2n-(n-1).设数列an的前n项和为Sn,依题意,只需求S11,所以S11=(2-0)+(22-1)+(23-2)+(211-10)=(2
10、+22+23+211)-(1+2+10)=212-2-55=212-57,故选A.10.B解析 圆的方程可化为(x-2)2+(y-2)2=18,则圆心为(2,2),半径为3,由圆x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三个不同点到直线l:ax+by=0的距离为2,则圆心到直线l:ax+by=0的距离d3-2,即,则a2+b2+4ab0,若b=0,则a=0,故不成立,故b0,则上式可化为1+40,由直线l的斜率k=-,可知上式可化为k2-4k+10,解得2-k2+,即k的取值范围为2-,2+.故选B.11.C解析 由f(0)f(1)=(1+1-5)0,可排除A.由f(1)f(2)=(1+1-5)
11、(2+2-5)0,可排除B.由f(2)f(3)=(2+2-5)(4+3-5)0时,1,当且仅当x=1时等号成立.所以的最大值为1,故选A.13.-160解析 由题意,得a=-(cos -cos 0)=2,所以二项式为,其展开式的通项为Tr+1=,所以r=3,展开式中x-3的系数为(-2)3=-160.14解析 因为MF1垂直于x轴,所以|MF1|=,|MF2|=2a+因为sinMF2F1=,所以,化简得b=a,故双曲线的离心率e=15.-1,2解析 作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示.由目标函数z=-mx+y,得y=mx+z,所以直线的纵截距最大时,z最大,直线的纵截距最小时,z最小.
12、目标函数z=-mx+y的最大值为-2m+10,最小值为-2m-2,当目标函数经过点A(2,10)时,取得最大值,当经过点B(2,-2)时,取得最小值,目标函数z=-mx+y的目标函数的斜率m满足比x+y=0的斜率大,比2x-y+6=0的斜率小,即-1m2.16.6解析 设ABC的中心为O,取AB中点D,连接OD,VD,VO,设OD=a,VO=h,则VD=AB=2AD=2a.过O作OEVD,则OE=2,SVOD=ODVO=VDOE,ah=2,整理得a=(h2).V(h)=SABCh=(2)2a2h=a2h=V(h)=4=4令V(h)=0,得h2-12=0,解得h=2当2h2时,V(h)2时,V(
13、h)0,当h=2,即a=,也就是AB=a=6时,V(h)取得最小值.17.解 (1)因为tan C=,即,所以sin Ccos A+sin Ccos B=cos Csin A+cos Csin B,即sin Ccos A-cos Csin A=cos Csin B-sin Ccos B,得sin(C-A)=sin(B-C).所以C-A=B-C或C-A=-(B-C)舍去,即2C=A+B,又A+B+C=,故C=(2)由C=,可设A=+,B=-,0A,B,知-又2R=2,a=2Rsin A=2sin A,b=2Rsin B=2sin B,故a2+b2=4(sin2A+sin2B)=4=4-2=4+2
14、cos 2.由-,知-2,则-cos 21,故31,则k6.6,P(Y=k-1)P(Y=k);若t6.6,P(Y=k-1)P(Y=k).所以当k=6或7时,P(Y=k)可能最大.因为1,所以n的取值为6.19.(1)证明 由AEF为等边三角形,O为EF的中点,可得AOEF.因为平面AEF平面EFCB,且平面AEF平面EFCB=EF,所以AO平面EFCB.又BE平面EFCB,所以AOBE.(2)解 取CB的中点D,连接OD,以O为原点,分别以OE,OD,OA为x,y,z轴建立空间直角坐标系,易知A(0,0,a),E(a,0,0),B(2,2a,0),则=(a,0,-a),=(2-a,2a,0),
15、由平面AEF与y轴垂直,可设平面AEF的法向量为n1=(0,1,0).设平面AEB的法向量n2=(x,y,1),由n2,可得ax-a=0,解得x=;由n2,可得(2-a)x+(2a)y=0,解得y=-1,所以n2=(,-1,1).所以cos=-,由二面角F-AE-B为钝二面角,所以二面角F-AE-B的余弦值为-(3)解 由(1)知AO平面EFCB,则AOBE,若BE平面AOC,只需BEOC,=(2-a,2a,0),又=(-2,2a,0),=-2(2-a)+(2a)2=0,解得a=2或a=,由题意易知a2,所以a=20.解 (1)过椭圆的上顶点与右顶点的直线l为=1,直线与x2+y2=相切,满足
16、,且a2-b2=1,整理可得7a4-31a2+12=0,(7a2-3)(a2-4)=0,a2=4,a2=(舍去),故b2=3,所求的椭圆C的方程为=1.(2)当两线分别与坐标轴重合时,SOAB=2当两线不与坐标轴重合时,由于OAOB,设直线OA为y=kx,则直线OB为y=-x,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线OA的方程为y=kx,与椭圆=1联立消去y,得,用-代换k得,S2=|OA|2|OB|2=)()=,当且仅当k=1时取等号,又,综合可得三角形的最小面积为SOAB=21.解 (1)函数f(x)的定义域为(0,+).由题意知,方程f(x)=0在(0,+)内有两个不同根,即方程ln
17、x-ax=0在(0,+)内有两个不同根.转化为函数y=ln x与函数y=ax的图象在(0,+)上有两个不同交点,如图.可见,若令过原点且切于函数y=ln x图象的直线斜率为k,只需0ak.令切点A(x0,ln x0),故k=y,又k=,故,解得x0=e,故k=,故0a(2)因为e1+x1等价于1+ln x1+ln x2.由(1)可知x1,x2分别是方程ln x-ax=0的两个根,即ln x1=ax1,ln x2=ax2,所以原式等价于1+0,0x1又由ln x1=ax1,ln x2=ax2作差得,ln=a(x1-x2),即a=所以原式等价于,因为0x1x2,原式恒成立,即ln恒成立.令t=,t
18、(0,1),则不等式ln t0,所以h(t)在t(0,1)上单调递增,又h(1)=0,所以h(t)0在t(0,1)恒成立,符合题意.当20,t(2,1)时,h(t)0,所以h(t)在t(0,2)时单调递增,在t(2,1)时单调递减,又h(1)=0,所以h(t)在t(0,1)上不能恒小于0,不符合题意,舍去.综上所述,若不等式e1+0,所以1.22.解 (1)C1:(cos +sin )=4,C2的普通方程为(x-1)2+y2=1,所以=2cos .(2)设A(1,),B(2,),-,则1=,2=2cos ,2cos (cos +sin )=(cos 2+sin 2+1)=,当=时,取得最大值+1).23.证明 (1)|x1-2|1,-1x1-21,即1x13,同理1x23,2x1+x26.|x1-x2|=|(x1-2)-(x2-2)|x1-2|+|x2-2|,|x1-x2|2.(2)|f(x1)-f(x2)|=|-x1+x2|=|x1-x2|x1+x2-1|,2x1+x26,1x1+x2-15,|x1-x2|f(x1)-f(x2)|5|x1-x2|.
