1、专题检测一三角函数与解三角形一、选择题:本题共12题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.(2022陕西咸阳一模)已知角终边上一点P(sin 1 180,cos 1 180),那么cos(3+60)=()A.32B.12C.1D.02.(2022北京5)已知函数f(x)=cos2x-sin2x,则()A.f(x)在-2,-6上单调递减B.f(x)在-4,12上单调递增C.f(x)在0,3上单调递减D.f(x)在4,712上单调递增3.(2022安徽安庆二模)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若2b=3a,A=4,则cos B=()A.104B.
2、64C.104D.644.(2022河南开封二模)已知sin =35,2,则tan4-=()A.-7B.-17C.17D.75.(2022河南开封一模)已知f(x)=|tan(x+)|,则“函数f(x)的图象关于y轴对称”是“=k(kZ)”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.(2022安徽安庆二模)已知sin -cos =-22sin cos ,32,则sin-4=()A.-12B.-22C.12D.-22或17.已知函数f(x)=xcos x-sin x,下列结论正确的是()A.f(x)是以2为周期的函数B.f(0)=1C.f(x)是R上的偶函数
3、D.f(x)是区间,2上单调递增8.(2022云南昆明一模)在ABC中,AB=3,AC=2,cosBAC=13,点D在BC边上且BD=1,则ACD的面积为()A.33B.223C.233D.4239.(2022河南平顶山二模)已知函数f(x)=2sinx+4与函数g(x)=2cosx+4在区间-94,34上的图象交于A,B,C三点,则ABC的面积是()A.2B.2C.22D.410.(2022江苏新海高级中学期末)某港口一天24 h内潮水的高度S(单位:m)随时间t(单位:h,0t24)的变化近似满足关系式S(t)=3sin6t+53,则下列说法正确的有()A.相邻两次潮水高度最高的时间间距为
4、24 hB.4时潮水起落的速度为6 m/hC.当t=6时潮水的高度会达到一天中最低D.S(t)在0,2上的平均变化率为334 m/h11.(2022河南开封二模)已知函数f(x)=sin(x+)0,02的图象过点P0,12,现将y=f(x)的图象向左平移2个单位长度得到的函数图象与y=f(x)的图象关于x轴对称,则f(x)的解析式可能是()A.f(x)=sin2x+6B.f(x)=sin2x+3C.f(x)=sinx+6D.f(x)=sinx+312.已知函数f(x)=2sin xcos x-3(sin2x-cos2x),判断下列给出的四个结论,其中错误结论的个数为()对任意的xR,都有f23
5、-x=-f(x);将函数y=f(x)的图象向左平移12个单位长度,得到g(x)的图象,则g(x)是偶函数;函数y=f(x)在区间12,712上是减函数;“函数y=f(x)取得最大值”的一个充分条件是“x=12”.A.0B.1C.2D.3二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2022江苏七市第二次调研)若tan =3sin 2,为锐角,则cos 2=.14.(2022陕西咸阳二模)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=2A,a=1,b=3,则c=.15.(2022陕西金台一模)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=4,b2+c2=3bc,A=23,
6、则ABC的面积为.16.若函数f(x)=43x-13sin 2x+acos x在(-,+)内单调递增,则实数a的取值范围是.三、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2022浙江18)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4a=5c,cos C=35.(1)求sin A的值;(2)若b=11,求ABC的面积.18.(12分)(2022山东济宁一模)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,3asin B-bcos A=b.(1)求角A的大小;(2)若a=2,求ABC面积的最大值.19.(12分)(2022山西吕梁一模)
7、在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,已知c2=a2-b2+3bc,cos A=3-acosBb.(1)求角A及cb的值;(2)若D为AB边上一点,且CDAC,CD=2,求BCD的面积.20.(12分)(2022陕西汉中检测)在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,.从(b+c)2-a2=3bc,asin B=bsinA+3这两个条件中任选一个,补充在上面问题横线中并作答.(1)求角A的大小;(2)若b=4,ABC的面积为63,求ABC的周长.21.(12分)(2022陕西咸阳一模)在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,已知b=4,c=2,且sin C=sin
8、B+sin(A-B).(1)求角A和边a的大小;(2)求ABC的内切圆半径.22.(12分)(2022山东烟台一模)如图,在四边形ABCD中,AB2+BC2+ABBC=AC2.(1)若AB=3BC=3,求ABC的面积;(2)若CD=3BC,CAD=30,BCD=120,求ACB的值.专题检测一三角函数与解三角形1.A解析: 由题意,显然|OP|=1,sin =cos 1 180=cos 100=sin(-10),cos =sin 1 180=sin 100=cos(-10),=-10+k360(kZ),cos(3+60)=cos(-30+3k360+60)=cos 30=32.故选A.2.C解
9、析: f(x)=cos2x-sin2x=cos 2x,对于选项A,当x-2,-6时,2x-,-3,f(x)单调递增,故A错误;对于选项B,当x-4,12时,2x-2,6,f(x)不单调,故B错误;对于选项C,当x0,3时,2x0,23,f(x)单调递减,故C正确;对于选项D,x4,712时,2x2,76,f(x)不单调,故D错误.故选C.3.C解析: 2b=3a,由正弦定理得2sin B=3sin A=3sin 4=62,sin B=64,由2b=3a,得b=32aa,B0,f(x)在区间,2上单调递增,故D正确.故选D.8.D解析: cosBAC=13,则BAC为锐角,sinBAC=223,
10、SABC=12ABACsinBAC=22,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC=9+4-23213=9,则BC=3,点D在BC边上且BD=1,则CD=BC-BD=2,SACDSABC=CDBC=23,故SACD=23SABC=423.故选D.9.A解析: 由题意,得sinx+4=cosx+4,得tanx+4=1,即x+4=k+4,解得x=k,又x-94,34,x=-2,-1,0,A(-2,1),B(-1,-1),C(0,1),即AC=2,B到AC的距离d=2,则ABC的面积是12ACd=1222=2.故选A.10.D解析: 对于A,相邻两次潮水高度最高的时间间距为1个周
11、期T=26=12(h),故A错误;对于B,S(x)=36cos6t+53,则S(4)=2cos23+53=4,故B错误;对于C,S(6)=3sin66+53=332,没有达到最低,故C错误;对于D,S(t)在0,2上的平均变化率为S(2)-S(0)2-0=3sin2-3sin532=334(m/h),故D正确.故选D.11.A解析: 将点P0,12代入f(x)=sin(x+),得12=sin ,00,cos2=16,sin2=56,cos 2=cos2-sin2=-23.14.2解析: 由题知1sinA=3sin2Asin 2A=3sin A2sin Acos A=3sin A,sin A0,
12、cos A=32,又0A0,a43sin x+23sinx,而43sin x+23sinx243sinx23sinx=423,当且仅当43sin x=23sinx,即sin x=22时,等号成立.a423.(3)若sin x0,a43sin x+23sinx,43sin x+23sinx=-43sin x-23sinx-423,当且仅当sin x=-22时,等号成立,a-423.综上可知,实数a的取值范围是-423,423.17.解 (1)cos C=35且0C,sin C=45.又4a=5c,ac=54.由正弦定理得asinA=csinC,sinAsinC=ac=54,sin A=54sin
13、 C=5445=55.(2)b=11,由余弦定理可知c2=b2+a2-2abcos C,c2=112+54c2-254c1135,c2=112+516c2-33510c,即1116c2+33510c-112=0,整理得5c2+245c-880=0,解得c=-245+64525=45(负值舍去),a=5445=5.SABC=12absin C=1251145=22.18.解 (1)由正弦定理得3sin Asin B-sin Bcos A=sin B,又sin B0,所以3sin A-cos A=1,所以32sin A-12cos A=12,即sinA-6=12.因为A(0,),A-6-6,56,
14、所以A-6=6,即A=3.(2)由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,即4=b2+c2-bc.所以4=b2+c2-bc2bc-bc=bc,即bc4.当且仅当b=c=2时,等号成立.所以S=12bcsin A12432=3.所以ABC面积的最大值为3.19.解 (1)由已知得cos A=b2+c2-a22bc=a2+3bc-a22bc=32,0A,A=6,cos A=3-acosBb,由正弦定理得cos A=3-sinAcosBsinB,3sin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)=sin C,c=3b,cb=3.(2)由(1)得A=6,在ACD中,由CD
15、AC,得ACD是直角三角形,AD=CDsinA=2CD=4,AC=CDtanA=3CD=23,即b=23,又c=3b=63,BD=c-AD=63-4,sinADC=ACAD=234=32,SBCD=12CDBDsinBDC=122(63-4)32=9-23.20.解 (1)选:(b+c)2-a2=3bc,b2+c2-a2=bc,cos A=b2+c2-a22bc=12,A(0,),A=3.选:asin B=bsinA+3,由正弦定理得sin Asin B=sin BsinA+3,在ABC中,B(0,),sin B0,sin A=sinA+3,显然-A=A+3,A=3.(2)由(1)知A=3,b
16、=4,SABC=12bcsin A=3c=63,c=6,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A=16+36-24612=28,则a=27,ABC的周长为a+b+c=10+27.21.解 (1)由sin C=sin B+sin(A-B)可得,sin(A+B)=sin B+sin(A-B),sin Acos B+sin Bcos A=sin B+sin Acos B-sin Bcos A,sin Bcos A=sin B-sin Bcos A,由于sin B0,cos A=12,A=3.由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A=16+4-242cos3=12,a=23.(2)由(
17、1)知a2+c2=b2,故ABC为直角三角形,设ABC的内切圆半径为r,由等面积法SABC=12ac=12(a+b+c)r,即12223=12(2+23+4)r,解得r=3-1.22.解 (1)AB2+BC2+ABBC=AC2,cos B=AB2+BC2-AC22ABBC=-ABBC2ABBC=-12,又0B180,B=120,SABC=12ABBCsin 120=123132=334.(2)设ACB=,由(1)知B=120,则BAC=60-,ACD=120-,ADC=30+,在ACD中,由ACsin(30+)=CDsin30,得CD=AC2sin(30+),在ABC中,由ACsin120=BCsin(60-),得BC=ACsin(60-)32,由CD=3BC,得AC2sin(30+)=32ACsin(60-)3,即4sin(30+)sin(60-)=1,整理得sin(60+2)=12,060,60+2(60,180),
