1、2016-2017学年福建省福州市八县（市）一中联考高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1数列，的一个通项公式可能是（）ABCD2已知ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a=，b=，B=60，那么A等于（）A135B45C135或45D603设ab，则下列不等式中恒成立的是（）ABa3b3CDa2b24若等差数列an的前n项和为Sn，且S6=3，a4=2，则a5等于（）A5B6C7D85已知变量x，y满足约束条件，则的取值范围是（）A2，5B（，25，+）C（，35，+）D3，56在ABC
2、中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a2=b2+c2bc，则角A是（）ABCD7设等比数列an的前n项和记为Sn，若S4=2，S8=6，则S12等于（）A8B10C12D148在ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则ABC的形状是（）A等腰三角形B钝角三角形C直角三角形D等腰三角形或直角三角形9若两个等差数列an、bn的前n项和分别为Sn、Tn，且，则等于（）A2BCD10某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（） 甲乙 原料限
3、额 A（吨） 3 212 B（吨） 12 8A12万元B16万元C17万元D18万元11若等差数列an的公差为2，且a5是a2与a6的等比中项，则该数列的前n项和Sn取最小值时，n的值等于（）A4B5C6D712定义算式：xy=x（1y），若不等式（xa）（x+a）1对任意x都成立，则实数a的取值范围是（）A1a1B0a2CD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13不等式x2+x20的解集为14在数列an中，若a1=1，an+1=2an（n1），则该数列的通项an=15已知ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，a=1，c=，A=30，则b等于16下列命题中：在ABC中，
4、sinAsinB，则AB；若a0，b0，a+b=4，则的最大值为3；已知函数f（x）是一次函数，若数列an的通项公式为an=f（n），则该数列是等差数列；数列bn的通项公式为bn=qn，则数列bn的前n项和Sn=正确的命题的序号是三、解答题（本大题6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17如图，平面四边形ABCD中，AB=，AD=2，CD=，CBD=30，BCD=120（1）求BD的长；（2）求ADC的度数18已知等差数列an中，a1+a4=10，a3=6（）求数列an的通项公式；（）若，求数列bn的前n项和Sn19连江一中第49届田径运动会提出了“我运动、我阳光、我健康、我
5、快乐”的口号，某同学要设计一张如图所示的竖向张贴的长方形海报进行宣传，要求版心面积为162dm2（版心是指图中的长方形阴影部分，dm为长度单位分米），上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm（1）若设版心的高为xdm，求海报四周空白面积关于x的函数S（x）的解析式；（2）要使海报四周空白面积最小，版心的高和宽该如何设计？20在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosA+a=2b（）求角C的值；（）若a+b=4，当c取最小值时，求ABC的面积21已知f（x）=x2+ax+b，a，bR，若f（x）0的解集为x|x0或x2（）求a，b的值；（）解不等式f（x）m2122已知数
6、列an的前n项和为Sn=（）求数列an的通项公式；（）设Tn为数列bn的前n项和，其中bn=，求Tn；（）若存在nN*，使得Tnan3成立，求出实数的取值范围2016-2017学年福建省福州市八县（市）一中联考高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1数列，的一个通项公式可能是（）ABCD【考点】数列的函数特性【分析】利用符号为（1）n与绝对值为即可得出【解答】解：数列，的一个通项公式可能是an=（1）n故选：D【点评】本题考查了数列的通项公式，参考老头老娘了与计算能力，属于基础题2已
7、知ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a=，b=，B=60，那么A等于（）A135B45C135或45D60【考点】正弦定理【分析】结合已知条件a=，b=，B=60，由正弦定理可得，可求出sinA，结合大边对大角可求得A【解答】解：a=，b=，B=60，由正弦定理可得，ab AB=60A=45故选B【点评】本题考查正弦定理和大边对大角定理解三角形，属于容易题3设ab，则下列不等式中恒成立的是（）ABa3b3CDa2b2【考点】不等式比较大小【分析】A取a=2，b=1时不成立；B利用函数y=x3在R上单调递增即可判断出正误C取a=2，b=1时不成立；D取a=1，b=2时不成立【解答】解
8、：A取a=2，b=1时不成立；B由于函数y=x3在R上单调递增，ab，a3b3，成立C取a=2，b=1时不成立；D取a=1，b=2时不成立故选：B【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4若等差数列an的前n项和为Sn，且S6=3，a4=2，则a5等于（）A5B6C7D8【考点】等差数列的前n项和【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出【解答】解：设等差数列an的公差为d，S6=3，a4=2，6a1+d=3，a1+3d=2，解得a1=7，d=3则a5=7+34=5，故选：A【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力
9、，属于中档题5已知变量x，y满足约束条件，则的取值范围是（）A2，5B（，25，+）C（，35，+）D3，5【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义是区域内的点到原点的斜率，利用数形结合进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，则的几何意义是区域内的点到原点的斜率，由图象知OC的斜率最小，OA的斜率最大，由得，即A（1，5），此时OA的斜率k=5，由得，即C（2，4），此时OC的斜率k=2，即25，则的取值范围是2，5，故选：A【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用的几何意义是区域内的点到原点的斜率是解决本题的关键6在ABC中，内角A、B、C的对边
10、分别是a、b、c，若a2=b2+c2bc，则角A是（）ABCD【考点】余弦定理【分析】直接利用余弦定理化简求解即可【解答】解：在ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a2=b2+c2bc，由余弦定理可得：cosA=，解得A=故选：A【点评】本题考查余弦定理的应用，考查计算能力7设等比数列an的前n项和记为Sn，若S4=2，S8=6，则S12等于（）A8B10C12D14【考点】等比数列的前n项和【分析】直接利用等比数列的性质，化简求解即可【解答】解：等比数列an的前n项和记为Sn，若S4=2，S8=6，可得S4，S8S4，S12S8，也是等比数列，S12S8=8S12=14故选：D
11、【点评】本题考查等比数列的简单性质的应用，考查计算能力8在ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则ABC的形状是（）A等腰三角形B钝角三角形C直角三角形D等腰三角形或直角三角形【考点】三角形的形状判断【分析】利用正弦定理转化求解三角形的角的关系，判断三角形的形状即可【解答】解：在ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，可得，可得sin2A=sin2B可得2A=2B或2A+2B=，即：A=B或A+B=；故选：D【点评】本题考查正弦定理的应用，三角形的形状的判断，考查计算能力9若两个等差数列an、bn的前n项和分别为Sn、Tn，且，则等于（）A2BCD【考点】等差数列的性
12、质【分析】利用=，即可得出结论【解答】解： =，故选C【点评】本题考查等差数列通项的性质，考查等差数列的求和公式，比较基础10某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（） 甲乙 原料限额 A（吨） 3 212 B（吨） 12 8A12万元B16万元C17万元D18万元【考点】简单线性规划的应用【分析】设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值【解答】
13、解：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，则，目标函数为 z=3x+4y作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域由z=3x+4y得y=x+，平移直线y=x+由图象可知当直线y=x+经过点B时，直线y=x+的截距最大，此时z最大，解方程组，解得，即B的坐标为x=2，y=3，zmax=3x+4y=6+12=18即每天生产甲乙两种产品分别为2，3吨，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元，故选：D【点评】本题主要考查线性规划的应用，建立约束条件和目标函数，利用数形结合是解决本题的关键11若等差数列an的公差为2，且a5是a2与a6的等比中项，则该数列的前n项和Sn取最小
14、值时，n的值等于（）A4B5C6D7【考点】等差数列与等比数列的综合【分析】由题意可得，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项的性质，解方程可得a1，结合已知公差，代入等差数列的通项可求，判断数列的单调性和正负，即可得到所求和的最小值时n的值【解答】解：由a5是a2与a6的等比中项，可得a52=a2a6，由等差数列an的公差d为2，即（a1+8）2=（a1+2）（a1+10），解得a1=11，an=a1+（n1）d=11+2（n1）=2n13，由a10，a20，a60，a70，可得该数列的前n项和Sn取最小值时，n=6故选：C【点评】等差数列与等比数列是高考考查的基本类型，本题考查等差数列的通
15、项公式的运用，同时考查等比数列的中项的性质，以及等差数列的单调性和前n项和的最小值，属于中档题12定义算式：xy=x（1y），若不等式（xa）（x+a）1对任意x都成立，则实数a的取值范围是（）A1a1B0a2CD【考点】二次函数的性质【分析】由已知中算式：xy=x（1y），我们可得不等式（xa）（x+a）1对任意x都成立，转化为一个关于x的二次不等式恒成立，进而根据二次不等式恒成立的充要条件，构造一个关于a的不等式，解不等式求出实数a的取值范围【解答】解：xy=x（1y），若不等式（xa）（x+a）1对任意x都成立，则（xa）（1xa）10恒成立即x2+x+a2a10恒成立则=1+4（a2a
16、1）=4a24a30恒成立解得故选D【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质，其中根据二次不等式ax2+bx+c0恒成立充要条件是a0，0构造一个关于a的不等式，是解答本题的关键二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13不等式x2+x20的解集为x|x2或x1【考点】一元二次不等式的解法【分析】不等式x2+x20化为：（x+2）（x1）0，解出即可得出【解答】解：不等式x2+x20化为：（x+2）（x1）0，解得x1或x2不等式x2+x20的解集为x|x2或x1故答案为：x|x2或x1【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题14在数列an中，若a
17、1=1，an+1=2an（n1），则该数列的通项an=2n1【考点】等比数列的通项公式【分析】由题意可得，该数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，由此求得它的通项公式【解答】解：由于在数列an中，若a1=1，an+1=2an（n1），则该数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，故它的通项公式为 an=12n1=2n1，故答案为 2n1【点评】本题主要考查等比数列的定义和通项公式，属于基础题15已知ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，a=1，c=，A=30，则b等于1或2【考点】正弦定理【分析】由已知及余弦定理可得b23b+2=0，进而可解得b的值【解答】解：a=1，c=，A=30
18、，由余弦定理a2=b2+c22bccosA，可得：1=b2+32b，整理可得：b23b+2=0，解得：b=1或2故答案为：1或2【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题16下列命题中：在ABC中，sinAsinB，则AB；若a0，b0，a+b=4，则的最大值为3；已知函数f（x）是一次函数，若数列an的通项公式为an=f（n），则该数列是等差数列；数列bn的通项公式为bn=qn，则数列bn的前n项和Sn=正确的命题的序号是【考点】命题的真假判断与应用；基本不等式；数列的函数特性；正弦定理【分析】逐项判断利用正弦定理易得；先平方在利用基本不等式即可；由等差数列的函数特征易得；
19、易知当q=1时，结论不正确【解答】解：由正弦定理，当sinAsinB时，由 ab，故有AB，所以为真；9+（a+3）+（b+2）=18，所以 “=”当且仅当“”成立，故为真；由等差数列的通项公式的函数特征知正确；易知，当q=1时结论不正确总上可得正确故答案为：【点评】本题考查了正弦定理，基本不等式，等差数列的通项以及等比数列的前n项和问题其中第2个命题的判断是本题难点属于中档题三、解答题（本大题6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17如图，平面四边形ABCD中，AB=，AD=2，CD=，CBD=30，BCD=120（1）求BD的长；（2）求ADC的度数【考点】余弦定理；正弦
20、定理【分析】（1）方法一：在BCD中，由题意和正弦定理求出BD；方法二：由BDC=30求出BC，利用条件和余弦定理列出方程，求出BD；（2）在ABD中，利用条件和余弦定理求出cosADB的值，结合图象求出ADC的度数【解答】解：（1）方法一：在BCD中，由正弦定理得：，即解得BD=3方法二：由已知得BDC=30，故由余弦定理得：BD2=CD2+BC22CDBCcosBCD= BD=3（2）在ABD中，由余弦定理得：ADB=45 由已知BDC=30ADC=ADB+BDC=45+30=75【点评】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查一题多解，化简、计算能力18已知等差数列an中，a1+a
21、4=10，a3=6（）求数列an的通项公式；（）若，求数列bn的前n项和Sn【考点】数列递推式；数列的求和【分析】（I）利用等差数列的通项公式即可得出（II）利用“裂项求和”方法即可得出【解答】解：（）设公差为d，a1+a4=10，a3=6，解得，数列an的通项公式为an=2n（）由（）知，从而，【点评】本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19连江一中第49届田径运动会提出了“我运动、我阳光、我健康、我快乐”的口号，某同学要设计一张如图所示的竖向张贴的长方形海报进行宣传，要求版心面积为162dm2（版心是指图中的长方形阴影部分，dm为长度单位分米
22、），上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm（1）若设版心的高为xdm，求海报四周空白面积关于x的函数S（x）的解析式；（2）要使海报四周空白面积最小，版心的高和宽该如何设计？【考点】函数模型的选择与应用【分析】（1）由已知版心的高为xdm，则版心的宽为dm，求出海报四周空白面积（2）利用基本不等式求解即可【解答】（本小题满分12分）解：（1）由已知版心的高为xdm，则版心的宽为dm故海报四周空白面积为，即S（x）=2x+8，x0（2）由基本不等式得：当且仅当时取等号 要使海报四周空白面积最小，版心的高应该为18 dm、宽为9 dm【点评】本题考查实际问题选择函数的模型，基本不等式的应用，考
23、查计算能力20在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosA+a=2b（）求角C的值；（）若a+b=4，当c取最小值时，求ABC的面积【考点】余弦定理；正弦定理【分析】方法一：（）利用正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式化简已知的式子，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角C；（）利用余弦定理列出方程，由条件和完全平方公式化简后，利用基本不等式求出c的最小值，由面积公式求出ABC的面积；方法二：（）利用余弦定理化简已知的式子得到边的关系，由余弦定理求出cosC的值，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角C；（）利用余弦定理列出方程，结合条件消元后，利用一元二次函数的性质求出
24、c的最小值，由面积公式求出ABC的面积【解答】解：方法一：（）2ccosA+a=2b，2sinCcosA+sinA=2sinB，A+B+C=，2sinCcosA+sinA=2sin（A+C），即 2sinCcosA+sinA=2sinAcosC+2cosAsinC，sinA=2sinAcosC，sinA0，cosC=，又C是三角形的内角，C= （）由余弦定理得：c2=a2+b22abcosC=a2+b2ab，a+b=4，故c2=a2+b2ab=（a+b）23ab=163ab，（当且仅当a=b=2时等号成立），c的最小值为2，故方法二：（）2ccosA+a=2b，b2+c2a2+ab=2b2，即
25、 c2=a2+b2ab，又C是三角形的内角，c= （）由已知，a+b=4，即b=4a，由余弦定理得，c2=a2+b2ab=（a+b）23ab，c2=163a（4a）=3（a2）2+4，当a=2时，c的最小值为2，故 【点评】本题考查正弦、余弦定理，三角恒等变换中的公式，以及求最值的方法：基本不等式、一元二次函数的性质，考查一题多解，化简、变形能力21已知f（x）=x2+ax+b，a，bR，若f（x）0的解集为x|x0或x2（）求a，b的值；（）解不等式f（x）m21【考点】二次函数的性质【分析】（）利用方程的根，列出方程组，即可求解a，b的值；（）化简不等式为乘积的形式，通过因式的根的大小对m
26、讨论，求解不等式的解集即可【解答】（本小题满分12分）解：（）根据题意可知，方程x2+ax+b=0两根分别为0，2，将两根代入方程得（）由（）可知不等式f（x）m21为x22xm21，即x（1m）x（1+m）0，当m=0时，1m=1+m，不等式的解集为；当m0时，1m1+m，不等式的解集为x|1mx1+m； 当m0时，1+m1m，不等式的解集为x|1+mx1m（如上，没有“综上所述”，不扣分）【点评】本题考查二次函数的简单性质的应用，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力22已知数列an的前n项和为Sn=（）求数列an的通项公式；（）设Tn为数列bn的前n项和，其中bn=，求Tn；（
27、）若存在nN*，使得Tnan3成立，求出实数的取值范围【考点】数列递推式；数列的求和【分析】（）由已知数列的前n项和，利用an=SnSn1（n2）求数列的通项公式；（）把bn=变形，利用裂项相消法化简，代入Sn=得答案；（）把an、Tn代入Tnan3，分离参数，利用不等式求得最值得答案【解答】解：（）当n2时，an=SnSn1=n，当n=1时，a1=S1=1也符合上式，an=n；（），=；（）存在nN*，使得Tnan3成立，存在nN*，使得成立，即有解，而，当n=1或n=2时取等号，的取值范围为【点评】本题考查数列递推式，训练了裂项相消法求数列的前n项和，训练了利用分离参数法求解数列恒成立问题，是中档题
