1、学业分层测评(十四)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.函数f(x)x33x(x0，当x(1，1)时，f(x)0.从而函数f(x)有最大值，无最小值，故选A.【答案】A2.一物体沿直线运动的方程为s(t)t4t32t2，那么速度为0的时刻为(s单位：m，t单位：s)()A.1 sB.0 sC.4 sD.0 s，1 s，4 s【解析】s(t)t35t24t，根据导数的意义可知vs(t)，令t35t24t0，解得t0或t1或t4.【答案】D3.函数f(x)x33axa在(0，1)内有最小值，则a的取值范围为()A.0a1B.0a1C.1a1D.0a【解析】f(x)3x23a，则f(x)0有
2、解，可得ax2.又x(0，1)，0aC.mD.m0)在1，)上的最大值为，则a的值为_.【解析】f(x)，当x时，f(x)0，f(x)单调递减，当x0，f(x)单调递增，当x时，f(x)，1，不合题意，f(x)maxf(1)，a1.【答案】18.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的体积是27，且用料最省，则水桶的底面半径为_.【解析】设圆柱形水桶的表面积为S，底面半径为r(r0)，则水桶的高为，所以Sr22rr2(r0)，求导数，得S2r，令S0，解得r3.当0r3时，S0；当r3时，S0，所以当r3时，圆柱形水桶的表面积最小，即用料最省.【答案】3三、解答题9.日常生活中的饮用水通常是通过净
3、化的，随着水纯净度的增加，所需净化费用不断增加，已知将1 t水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为c(x)(80x100)，求净化到下列(1)90%；(2)98%纯净度时，所需费用的瞬时变化率.【解】c(x)，c(90)52.84，c(98)1 321.故纯净度为90%时，净化费用的瞬时变化率为50.84元/t；纯净度为98%时，净化费用的瞬时变化率为1 321元/t.10.设函数f(x)ln(2x3)x2.(1)讨论f(x)的单调性；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.【解】易知f(x)的定义域为.(1)f(x)2x.当x0；当1x时，f(x)时，f(x)0，从而f(x)在区间，
4、上单调递增，在区间上单调递减.(2)由(1)知f(x)在区间上的最小值为fln 2.又因为fflnlnln0，右侧L(p)0).所以yx.令y0，解得x20.因为当x(0，20)时，y0，此时函数单调递增，所以当x20时，y取得最小值，即此轮船以20 km/h的速度行驶时，每千米的费用总和最小.【答案】204.设函数f(x)cos 2x(1)(cos x1)，其中0，记|f(x)|的最大值为A.(1)求f(x)；(2)求A；(3)证明：|f(x)|2A.【解】(1)f(x)2sin 2x(1)sin x.(2)当1时，|f(x)|cos 2x(1)(cos x1)|2(1)32f(0).故A3
5、2.当01时，将f(x)变形为f(x)2cos2x(1)cos x1.设tcos x，则t1，1令g(t)2at2(1)t1，则A是|g(t)|在1，1上的最大值，g(1)，g(1)32，且当t时，g(t)取得最小值，最小值为g1.令1.当0时，g(t)在(1，1)内无极值点，|g(1)|，|g(1)|23，|g(1)|g(1)|，所以A23.当0，知g(1)g(1)g.又|g(1)|0，所以A.综上，A(3)证明：由(1)得|f(x)|2sin 2x(1)sin x|2|1|.当0时，|f(x)|1242(23)2A.当1，所以|f(x)|12A.当1时，|f(x)|31642A.所以|f(x)|2A.
