1、加练课1 空间向量的运算及其应用基础达标练1.（2020山东潍坊一中高二期末）已知向量a=(2,3,4)，b=(1,-m,2)，若ab，则m=( )A.32 B.-32 C. 103 D.-103答案：B2.（2021辽宁葫芦岛第八高级中学高二月考）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M为A1C1的中点，若AB=a,AA1=c,BC=b，则下列向量与BM相等的是( )A. -12a+12b+cB. 12a+12b+cC. -12a-12b+cD. 12a-12b+c答案：A3.（2020浙江宁波诺丁汉附中高二月考）与向量(-3,-4,5)共线的单位向量是( )A.(3210,225,-22)
2、和(-3210,-225,22)B. (3210,225,-22)C. (3210,225,22)和(-3210,-225,-22)D. (-3210,-225,22)答案：A4.（2021山东师范大学附中高二月考）若向量a=(x,-4,-5)，b=(1,-2,2)，且a与b的夹角的余弦值为-26，则实数x的值为( )A.-3B.11C.3D.-3或11答案：A5.（多选）（2020山东师范大学附中高二月考）已知空间三点A(-1,0,1)，B(-1,2,2)，C(-3,0,4)，则下列说法正确的是( )A.ABAC=3 B.AB/ACC.|BC|=23 D.cosAB,AC=365答案：A;
3、C6.（多选）已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，且MG=2GN，现用基底OA,OB,OC表示向量OG，有OG=xOA+yOB+zOC，则( )A.x=16 B.y=13C.z=13 D.x+y+z=1答案：A; B; C素养提升练7.（2021北京平谷第五中学高二期中）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N分别是棱AB,BB1的中点，点P在体对角线CA1上运动.当PMN的面积取得最小值时，点P的位置是( )A.线段CA1的三等分点，且靠近点A1B.线段CA1的中点C.线段CA1的三等分点，且靠近点CD.线段CA1的四等
4、分点，且靠近点C答案：B解析：设正方体的棱长为1，以A为原点，AB,AD,AA1所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，取MN的中点为Q，连接PQ，如图所示：则M(12,0,0)，N(1,0,12)，A1(0,0,1)，C(1,1,0)，Q(34,0,14)，A1C=(1,1,-1)，设P(t,t,z)，则PC=(1-t,1-t,-z)，由A1C与PC共线，可得1-t1=1-t1=-z-1，所以t=1-z，所以P(1-z,1-z,z)，其中0z1，因为|PM|=(1-z-12)2+(1-z-0)2+(z-0)2=3z2-3z+54，|PN|=(1-z-1)2+(1-z-0)2+(z-1
5、2)2=3z2-3z+54，所以|PM|=|PN|，所以PQMN，即|PQ|是动点P到直线MN的距离，由空间两点间的距离公式可得PQ=(1-z-34)2+(1-z-0)2+(z-14)2=3z2-3z+98=3(z-12)2+38，所以当z=12时，|PQ|取得最小值64，此时P为线段CA1因为|MN|=24为定值，所以当PMN的面积取得最小值时，P为线段CA1的中点.8.如图，已知边长为6的正方形ABCD和正方形ADEF所在平面互相垂直，O是BE的中点，FM=12MA，则线段OM的长为答案：19解析：由题意可建立以D为坐标原点，DA,DC,DE所在直线分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系（
6、图略），则E(0,0,6)，A(6,0,0)，F(6,0,6)，B(6,6,0)，则O(3,3,3)，设M(x,y,z)，则FM=(x-6,y,z-6)，MA=(6-x,-y,-z)，因为FM=12MA，所以x-6=12(6-x),y=12(-y),z-6=12(-z),解得x=6，y=0，z=4，所以M(6,0,4)，所以|OM|=(6-3)2+(0-3)2+(4-3)2=19，即线段OM的长为19 .9.已知空间中三点A(2,0,-2)，B(1,-1,-2)，C(3,0,-4)，设a=AB，b=AC .（1）若|c|=3，且cBC，求向量c；（2）已知向量ka+b与b互相垂直，求k的值.答
7、案：（1）BC=(2,1,-2)，由于cBC，故可设c=(2n,n,-2n)，故|c|=4n2+n2+4n2=3|n|=3，解得n=1，故c为(2,1,-2)或(-2,-1,2)（2）a=AB=(-1,-1,0)，b=AC=(1,0,-2)，ka+b=(1-k,-k,-2)由于ka+b与b垂直，故(1-k,-k,-2)(1,0,-2)=1-k+4=0，解得k=5 .创新拓展练10.已知向量a=(1,-3,2)，b=(-2,1,1)，点A(-3,-1,4)，B(-2,-2,2)（1）求|2a+b|；（2）请问在直线AB上是否存在一点E，使得OEb（O为原点），并说明理由.解析：命题分析本题考查向
8、量的坐标运算、向量的模的计算以及向量垂直的充要条件的应用.答题要领（1）根据向量的模的计算公式求解.（2）假设在直线AB上存在一点E，设出点E的坐标，根据OEb（O为原点）列出方程求解并作出判断.答案：（1）a=(1,-3,2)，b=(-2,1,1)，2a+b=(0,-5,5)，|2a+b|=02+(-5)2+52=52（2）存在.理由：假设存在点E，设E(x,y,z)，则AE=AB，即(x+3,y+1,z-4)=(1,-1,-2)，x=-3,y=-1,z=-2+4,E(-3,-1,-2+4)，OE=(-3,-1,-2+4)，又b=(-2,1,1),OEb，OEb=-2(-3)+(-1)+(-2+4)=-5+9=0，=95，E(-65,-145,25)，在直线AB上存在点E(-65,-145,25)，使OEb .方法感悟在向量的运算中设直线上的点时，一般借助于共线向量定理，如本题由点E在直线AB上可得向量AE和向量AB共线，则AE=AB，从而可求出点E的坐标.
