1、133 空间图形的表面积和体积133.1 空间图形的表面积基础认知自主学习【概念认知】1几种特殊的多面体(1)直棱柱：侧棱和底面_的棱柱叫作直棱柱(2)正棱柱：底面为_的直棱柱叫作正棱柱(3)正棱锥：一个棱锥的底面是_，并且顶点在底面的射影是_，那么称这样的棱锥为正棱锥正棱锥的_都相等，侧面均为全等的等腰三角形(4)正棱台：_被平行于底面的平面所截，_和_之间的部分叫作正棱台垂直正多边形正多边形底面中心侧棱长正棱锥截面底面2几种简单几何体的侧面展开图与侧面积几何体直观图侧面展开图侧面积直棱柱S 直棱柱侧_正棱锥S 正棱锥侧_ch1 ch2几何体直观图侧面展开图侧面积正棱台S 正棱台侧_圆柱S
2、圆柱侧_1(c+c)h2cl2rl几何体直观图侧面展开图侧面积圆锥S 圆锥侧_圆台S 圆台侧_1 c2 lrl1(c+c)2l(rr)l1矩形的边长分别为 1 和 2，分别以这两边所在直线为轴旋转，所形成几何体的侧面积之比为()A12 B11 C14 D13【解析】选 B.以边长为 1 的边所在直线为轴旋转形成的几何体的侧面积 S12214，以边长为 2 的边所在直线为轴旋转形成的几何体的侧面积 S22124，故 S1S211.2将边长为 1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是()A4 B3 C2 D【解析】选 C.底面圆半径为 1，高为 1，侧面积 S2rh211
3、2.3已知正四棱锥底面边长为 6，侧棱长为 5，则此棱锥的侧面积为_【解析】正四棱锥的斜高 h5232 4，S 侧412 6448.答案：484(教材练习改编)侧面是直角三角形的正三棱锥，底面边长为 a，该三棱锥的表面积为_【解析】底面边长为 a，则斜高为a2，故 S 侧312 a12 a34 a2.而 S 底 34a2，故S 表3 34a2.答案：3 34a25一个圆柱的底面面积是 S，其侧面积展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为_【解析】设圆柱的底面半径为 R，则 SR2，RS，底面周长 c2R.故圆柱的侧面积为 S 圆柱侧c2(2R)242S 4S.答案：4S6一座仓库的屋顶呈正四棱锥形
4、，底面的边长为 2.7 m，侧棱长为 2.3 m，如果要在屋顶上铺一层油毡纸，则需多少油毡纸？(精确到 0.1 m2)【解析】如图所示，设 SE 是侧面三角形 ABS 的高，则 SE 就是正四棱锥的斜高在 Rt SAE 中，SA2.3 m，AE1.35 m，所以 SE2.321.352(m)，而底面周长42.710.8(m)，所以 S 棱锥侧12 10.82.321.352 10.1(m2).故需要油毡纸约 10.1 m2.学情诊断课时测评一、单选题1一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积之比为()A122 B144C12 D142【解析】选 A.设圆柱的底面半径为 r，
5、高为 h，则有 h2r，所以表面积与侧面积的比为 2(r2rh)2rh(rh)h(21)2.2圆台 OO的母线长为 6，两底面半径分别为 2，7，则圆台 OO的侧面积是()A54 B8C4 D16【解析】选 A.S 圆台侧(rr)l(72)654.3已知直三棱柱 ABCABC中，底面为等边三角形，D 为 BC 的中点，平面 AAD截该三棱柱所得的截面是面积为 9 的正方形，则该三棱柱的侧面积是()A6 3 B9 3 C18 3 D30 3【解析】选 C.由题得截面正方形的边长为 3，所以直三棱柱的侧棱为 3，底面三角形的高为 3，所以底面正三角形的边长为 2 3，所以该三棱柱的侧面积是 32
6、3 318 3.4已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为 3 cm，侧面的对角线长是3 5 cm，则这个正四棱柱的表面积为()A90 cm2 B36 5 cm2C72 cm2 D54 cm2【解析】选 A.由题意侧棱长为（3 5）232 6(cm).所以表面积为：S43623290(cm2).5(2021烟台高一检测)一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为 a 的正方形和正三角形，则他们的表面积之比为()A11 B21C12 D31【解析】选 B.圆柱的表面积 S1aa2a2232 a2；圆锥的表面积 S2a2 aa2234 a2，故S1S2 21.6若某正四棱台的上、下底面边长分
7、别为 3，9，侧棱长是 6，则它的表面积为()A9072 3 B9027 3C9072 5 D9027 5【解析】选 A.由题意可得，上底面的面积为 9，下底面的面积为 81，侧面的高为6232 3 3，所以该正四棱台的表面积为 9814（39）3 329072 3.二、多选题7若圆柱的侧面展开图是边长为 2 和 4 的矩形，则该圆柱体的表面积可以是()A1 8 B2 8C4 8 D8 8【解析】选 BD.由题知圆柱的侧面展开图是边长为 2 和 4 的矩形，则分两种情况：当母线长为 4 时，圆柱的底面半径是1，此时圆柱的表面积是2 8；当母线长为 2 时圆柱的底面半径是2，此时圆柱的表面积是8
8、 8.8下列说法正确的有()A多面体的表面积等于各个面的面积之和B棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的C沿不同的棱将多面体展开，得到的展开图相同，表面积相等D多面体的侧面积等于各个侧面的面积之和【解析】选 AD.A 正确多面体的表面积等于侧面积与底面积之和B 错误棱台的侧面展开图是由若干个梯形组成的，不一定是等腰梯形C 错误由于剪开的棱不同，同一个几何体的表面展开图可能不是全等形但是，不论怎么剪，同一个多面体表面展开图的面积是一样的D 正确多面体的侧面积等于各个侧面的面积之和三、填空题9棱长都是 3 的三棱锥的表面积 S 为_【解析】因为三棱锥的四个面是全等的正三角形，所以 S4 3432
9、9 3.答案：9 310若一个圆柱的侧面展开图是一个边长为 2 的正方形，则这个圆柱的表面积是_【解析】由题意可知，2rh2，则 r1，所以圆柱的表面积 S2r22rh242.答案：242四、解答题11圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，轴截面的面积为 392 cm2，母线与轴的夹角为 45，求这个圆台的高、母线长和底面半径【解析】方法一：圆台的轴截面如图所示，根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为 x cm 和 3x cm.即 AOx cm，AO3x cm(O，O 分别为上、下底面圆心)，过 A作 AB 的垂线，垂足为点 D.在 Rt AAD 中，AAD45，ADAOAO2x cm
10、，所以 ADAD2x cm，又 S 轴截面12(ABAB)AD12(2x6x)2x392(cm2)，所以 x7.综上，圆台的高 OO14 cm，母线长 AA 2 OO14 2 cm，上、下底面的半径分别为 7 cm 和 21 cm.方法二：圆台的轴截面如图所示，根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为 x cm和 3x cm，延长 AA，BB交 OO的延长线于点 S(O，O 分别为上、下底面圆心).在 Rt SOA 中，ASO45，所以 SOAO3x cm，又 SOAOx cm，所以OO2x cm.又 S 轴截面12(2x6x)2x392(cm2)，所以 x7.综上，圆台的高 OO14 cm，母
11、线长 AA 2 OO14 2 cm，上、下底面的半径分别为 7 cm，21 cm.12如图，在 ABC 中，ABC45，BAC90，AD 是 BC 上的高，沿 AD 把 ABD 折起，使BDC90.(1)证明：平面 ADB平面 BDC；(2)若 BD1，求三棱锥 D-ABC 的表面积【思路导引】(1)利用面面垂直的判定定理证明；(2)平面 ABC 为等边三角形，其余各面均是直角三角形【解析】(1)因为折起前 AD 是 BC 边上的高，所以当 ABD 折起后，ADDC，ADDB，又 DBDCD，所以 AD平面 BDC，因为 AD平面 ABD，所以平面 ABD平面 BDC.(2)由(1)知，DAD
12、B，DBDC，DCDA，因为 DBDADC1，所以 ABBCCA 2，从而 S DABS DBCS DCA12 1112，S ABC12 2（2）2222 32，故三棱锥 D-ABC 的表面积 S12 3 323 32.一、选择题1正三棱锥底面边长为 a，高为 66a，则此正三棱锥的侧面积为()A34 a2 B32 a2C3 34a2 D3 32a2【解析】选 A.因为底面正三角形中高为 32a，其重心到顶点距离为 32a23 33a，且棱锥高 66a，所以利用直角三角形勾股定理可得侧棱长为66 a 233 a 2 22a，斜高为22 a 212a 2 a2，所以侧面积为 S312 a12 a
13、34 a2.2一个正四棱锥的底面边长为 2，高为 3，则该正四棱锥的全面积为()A8 B12 C16 D20【解析】选 B.由题意得侧面三角形底边上的高为（3）212 2，所以该正四棱锥的全面积为 22412 2212.3(2021新高考 I 卷)已知圆锥的底面半径为 2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()A2 B2 2 C4 D4 2【解析】选 B.设母线长为 l，则底面周长为 2 2，其侧面展开图半周长为 l，故 l2 2，所以 l2 2.4(多选)等腰直角三角形直角边长为 1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为()A 2 B(1 2)C2 2 D(
14、2 2)【解析】选 AB.如果是绕直角边旋转，形成圆锥，圆锥底面半径为 1，高为 1，母线就是直角三角形的斜边 2，所以所形成的几何体的表面积是 Srlr21 2 12(2 1).如果绕斜边旋转，形成的是上下两个圆锥，圆锥的半径是直角三角形斜边的高 22，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是 1，所以写成的几何体的表面积 S2rl2 221 2.综上可知，形成几何体的表面积是(2 1)或 2.二、填空题5一个长方体的长、宽、高分别为 9，8，3，若在上面钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，则孔的半径为_【解析】由题意知，圆柱侧面积等于圆柱上、下底面积和，即 2r32r2，所以 r3.答
15、案：36已知正四棱锥(底面为正方形，顶点在底面的正投影为正方形的中心)底面正方形的边长为 4 cm，高与斜高夹角为 30，则斜高为_；侧面积为_；全面积为_【解析】如图，正四棱锥的高 PO，斜高 PE，底面边心距 OE 组成直角 POE.因为 OE2 cm，OPE30，所以斜高 PE OEsin 30 20.5 4(cm)，所以 S 正四棱锥侧12 44432(cm2)，S 正四棱锥全423248(cm2).答案：4 cm 32 cm2 48 cm27一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为 8 cm 和 18 cm，侧棱长为13 cm，则其表面积为_【解析】由已知可得正四棱台侧面梯形
16、的高为 h1321882212(cm)，所以 S 侧412(818)12624(cm2)，S 上底8864(cm2)，S 下底1818324(cm2)，于是表面积为 S624643241 012(cm2).答案：1 012 cm28已知正方体的 8 个顶点中，其中有 4 个顶点为各侧面均为等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为_.【解析】三棱锥 BACD为适合条件的三棱锥，四个面为全等的等边三角形，设正方体的棱长为 1，则 BC 2，S BAC 32.三棱锥的表面积 S 锥4 322 3，又正方体的表面积 S 正6.因此 S 锥S 正2 3 61 3.答案：1 3三、解答
17、题9圆台的上、下底面半径分别是 10 cm 和 20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是 180，那么圆台的表面积是多少？【解析】如图所示，设圆台的上底面周长为 c，因为扇环的圆心角是 180，故 cSA210，所以 SA20，同理可得 SB40，所以 ABSBSA20，所以 S 表面积S 侧S 上S 下(r1r2)ABr21 r22(1020)201022021 100(cm2).故圆台的表面积为 1 100 cm2.10如图所示，在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB3，AA14，M 为 AA1 中点，P是 BC 上一点，且由 P 沿棱柱侧面经过棱 CC1 到 M 的最短距离为 29
18、，设这条最短路线与 CC1 的交点为 N，求：(1)该正三棱柱的侧面展开图的对角线长；(2)PC 与 NC 的长；(3)此棱柱的表面积【解析】(1)正三棱柱 ABC-A1B1C1 侧面展开图是一个长为 9，宽为 4 的矩形其对角线长为9242 97.(2)如图，将侧面 BB1C1C 绕棱 CC1 旋转 120使其与侧面 AA1C1C 在同一平面上，点 P移动到点 P1 的位置，连接 MP1，则 MP1 就是由点 P 沿棱柱侧面经过棱 CC1 到点 M 的最短路线设 PCx，即 P1Cx，在 Rt MAP1 中，由勾股定理得(3x)22229 求得 x2(负值舍去)，所以 PCP1C2.因为NCMA P1CP1A 25，所以 NC45.(3)棱柱的表面积：SS 侧2S 底94212 3232729 32.
