1、考点突破练5数列求和及其综合应用1.(2022全国甲理17)设Sn为数列an的前n项和.已知2Snn+n=2an+1.(1)证明:an是等差数列;(2)若a4,a7,a9成等比数列,求Sn的最小值.2.(2022河北石家庄一模)已知等差数列an的各项均为正数,公差d3,若分别从下表第一、二、三行中各取一个数,依次作为a3,a4,a5,且a3,a4,a5中任何两个数都不在同一列.项目第一列第二列第三列第一行356第二行748第三行11129(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=8(an+1)(an+1+3),数列bn的前n项和为Tn,求证:Tn0,an2+2an=4Sn+3(nN*).数列b
2、n满足b1=2,b2=4,bn+12=bnbn+2(nN*).(1)求数列an和bn的通项公式;(2)设cn=1Sn(n=2k-1,kN*),bn(n=2k,kN*),求数列cn的前2n项的和T2n.考点突破练5数列求和及其综合应用1.(1)证明 由2Snn+n=2an+1,变形为2Sn=2nan+n-n2,记为式,又当n2时,有2Sn-1=2(n-1)an-1+n-1-(n-1)2,记为式,-并整理可得(2n-2)an-(2n-2)an-1=2n-2,n2,nN*.即an-an-1=1,n2,nN*,所以an是等差数列.(2)解 由题意可知a72=a4a9,即(a1+6)2=(a1+3)(a
3、1+8),解得a1=-12,所以an=-12+(n-1)1=n-13,其中a1a2a120,a13=0,则Sn的最小值为S12=S13=-78.2.(1)解 由题意可知,数列an为递增数列,又公差d3,所以a3=5,a4=7,a5=9,则可求出a1=1,d=2,所以an=2n-1.(2)证明 bn=8(an+1)(an+1+3)=2n(n+2)=1n-1n+2,Tn=1-13+12-14+13-15+14-16+1n-1-1n+1+1n-1n+2=1+12-1n+1-1n+2=32-1n+1-1n+2,故Tn0,an2+2an=4Sn+3,当n=1时,a12-2a1-3=0,解得a1=3或a1=-1(负值舍去);当n2时,an-12+2an-1=4Sn-1+3,-得(an+an-1)(an-an-1)=2(an+an-1),所以an-an-1=2.所以数列an是以3为首项,2为公差的等差数列.所以an=2n+1(nN*).因为数列bn满足b1=2,b2=4,bn+12=bnbn+2,所以数列bn是首项为2,公比为2的等比数列,所以bn=2n.
