1、2015年福建省宁德市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1若向量=（3，m），=（2，1），则实数m的值为（）ABC2D62若集合A=x|2x1，集合B=x|lgx0，则“xA”是“xB”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3已知等比数列an的第5项是二项式（x+）4展开式的常数项，则a3a7（）A5B18C24D364若函数f（x）=ax2+bx+1是定义在1a，2a上的偶函数，则该函数的最大值为（）A5B4C3D25阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入的整数i的最大值为（）A
2、3B4C5D66已知某市两次数学测试的成绩1和2分别服从正态分布1：N1（90，86）和2：N2（93，79），则以下结论正确的是（）A第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，也比第二次成绩稳定B第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，但不如第二次成绩稳定C第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，也比第一次成绩稳定D第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，但不如第一次成绩稳定7已知双曲线C：=1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作直线lx轴交双曲线C的渐近线于点A，B若以AB为直径的圆恰过点F2，则该双曲线的离心率为（）ABC2D8某单位安排甲、乙、丙三人在某
3、月1日至12日值班，每人4天甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等据此可判断丙必定值班的日期是（）A2日和5日B5日和6日C6日和11日D2日和11日9若关于x的方程x3x2x+a=0（aR）有三个实根x1，x2，x3，且满足x1x2x3，则a的取值范围为（）AaBa1Ca1Da110如图所示为某几何体的正视图和侧视图，则该几何体体积的所有可能取值的集合是（）A， B， CV|VDV|0V二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11复数z=（i虚数单位）在复平面上对应的点到原点的距离为12设a抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x2+a
4、x+a=0有两个不等实数根的概率为13若关于x，y的不等式组（k是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，则k=14若在圆C：x2+（ya）2=4上有且仅有两个点到原点O距离为1，则实数a的取值范围是15已知面积为的ABC中，A=若点D为BC边上的一点，且满足=，则当AD取最小时，BD的长为三、解答题（共5小题，满分66分）16将射线y=x（x0）绕着原点逆时针旋转后所得的射线经过点A=（cos，sin）（）求点A的坐标；（）若向量=（sin2x，2cos），=（3sin，2cos2x），求函数f（x）=，x0，的值域17某校为选拔参加“央视猜灯谜大赛”的队员，在校内组织猜灯谜竞赛规定：
5、第一阶段知识测试成绩不小于160分的学生进入第二阶段比赛现有200名学生参加知识测试，并将所有测试成绩绘制成如下所示的频率分布直方图（）估算这200名学生测试成绩的中位数，并求进入第二阶段比赛的学生人数；（）将进入第二阶段的学生分成若干队进行比赛现甲、乙两队在比赛中均已获得120分，进入最后抢答阶段抢答规则：抢到的队每次需猜3条谜语，猜对1条得20分，猜错1条扣20分根据经验，甲队猜对每条谜语的概率均为，乙队猜对前两条的概率均为，猜对第3条的概率为若这两队抢到答题的机会均等，您做为场外观众想支持这两队中的优胜队，会把支持票投给哪队？18如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是矩
6、形，且AD=2CD=2，AA1=2，A1AD=若O为AD的中点，且CDA1O（）求证：A1O平面ABCD；（）线段BC上是否存在一点P，使得二面角DA1AP为？若存在，求出BP的长；不存在，说明理由19已知点F（0，1），直线l1：y=1，直线l1l2于P，连结PF，作线段PF的垂直平分线交直线l2于点H设点H的轨迹为曲线r（）求曲线r的方程；（）过点P作曲线r的两条切线，切点分别为C，D，（）求证：直线CD过定点；（）若P（1，1），过点O作动直线L交曲线R于点A，B，直线CD交L于点Q，试探究+是否为定值？若是，求出该定值；不是，说明理由阿啊阿20（14分）已知函数f（x）=ex（x2+a
7、x）在点（0，f（0）处的切线斜率为2（）求实数a的值；（）设g（x）=x（xt）（tR），若g（x）f（x）对x0，1恒成立，求t的取值范围；（）已知数列an满足a1=1，an+1=（1+）an，求证：当n2，nN时 f（）+f（）+L+f（）n（）（e为自然对数的底数，e2.71828）选修42:矩阵与变换21在平面直角坐标系中，矩阵M对应的变换将平面上任意一点P（x，y）变换为点P（2x+y，3x）（）求矩阵M的逆矩阵M1；（）求曲线4x+y1=0在矩阵M的变换作用后得到的曲线C的方程选修4-4：坐标系与参数方程22啊啊已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，直线l
8、的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程为p2+2psin（+）+1=r2（r0）（）求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（）若圆C上的点到直线l的最大距离为3，求r值选修45：不等式选讲23已知函数f（x）=|x5|+|x3|（）求函数f（x）的最小值m；（）若正实数a，b足+=，求证： +m2015年福建省宁德市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1若向量=（3，m），=（2，1），则实数m的值为（）ABC2D6【考点】平面向量的坐标运算；平行向量与共线向量【专题】平面向量及应用【分析】利用向量共线，向量的坐标运算求解即可【解答】
9、解：因为向量=（3，m），=（2，1），所以3=2m，解得m=故选：A【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用，基本知识的考查2若集合A=x|2x1，集合B=x|lgx0，则“xA”是“xB”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】根据条件求出A，B，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可【解答】解：A=x|2x1=x|x0，B=x|lgx0=x|x1，则BA，即“xA”是“xB”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的关系的应用，比较基础3已知等比数列an的第5项是二项
10、式（x+）4展开式的常数项，则a3a7（）A5B18C24D36【考点】二项式定理的应用【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值，即得a5的值，再利用等比数列的性质求得a3a7的值【解答】解：二项式（x+）4展开式的通项公式为Tr+1=x42r，令42r=0，解得r=2，展开式的常数项为6=a5，a3a7=a52=36，故选：D【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题4若函数f（x）=ax2+bx+1是定义在1a，2a上的偶函数，则该函数的最大值为
11、（）A5B4C3D2【考点】二次函数的性质【专题】函数的性质及应用【分析】直接利用二次函数的性质，判断求解即可【解答】解：函数f（x）=ax2+bx+1是定义在1a，2a上的偶函数，可得b=0，并且1+a=2a，解得a=1，所以函数为：f（x）=x2+1，x2，2，函数的最大值为：5故选：A【点评】本题考查函数的最大值的求法，二次函数的性质，考查计算能力5阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入的整数i的最大值为（）A3B4C5D6【考点】程序框图【专题】图表型；算法和程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，n的值，当n=4时，不满足
12、条件ni，退出循环，输出s的值为19，输入的整数i的最大值为4【解答】解：模拟执行程序框图，可得s=0，n=0满足条件ni，s=2，n=1满足条件ni，s=5，n=2满足条件ni，s=10，n=3满足条件ni，s=19，n=4满足条件ni，s=36，n=5所以，若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入的整数i的最大值为4，有n=4时，不满足条件ni，退出循环，输出s的值为19故选：B【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题6已知某市两次数学测试的成绩1和2分别服从正态分布1：N1（90，86）和2：N2（93，79），则以下结论正确的是（）A第一次测试的平均分比第二次测试的平均分
13、要高，也比第二次成绩稳定B第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，但不如第二次成绩稳定C第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，也比第一次成绩稳定D第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，但不如第一次成绩稳定【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【专题】应用题；概率与统计【分析】确定1=90，1=86，2=93，2=79，即可得出结论【解答】解：某市两次数学测试的成绩1和2分别服从正态分布1：N1（90，86）和2：N2（93，79），1=90，1=86，2=93，2=79，第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，也比第一次成绩稳定，故选：C【点评】本题考查正态分布曲线的
14、特点，考查学生分析解决问题的能力，比较基础7已知双曲线C：=1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作直线lx轴交双曲线C的渐近线于点A，B若以AB为直径的圆恰过点F2，则该双曲线的离心率为（）ABC2D【考点】双曲线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先设两个焦点坐标，由于直线lx轴，则可表示出l的方程，进而表示出AB点坐标，根据圆的半径相等，求出a与b的关系，容易得到离心率的答案【解答】解：设F1（c，0），F2（c，0），则l的方程为x=c，双曲线的渐近线方程为y=x，所以A（c， c）B（c， c）AB为直径的圆恰过点F2F1是这个圆的圆心AF1=F1F2
15、=2cc=2c，解得b=2a离心率为=故选D【点评】本题考查了双曲线的性质，如焦点坐标、离心率公式8某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等据此可判断丙必定值班的日期是（）A2日和5日B5日和6日C6日和11日D2日和11日【考点】进行简单的合情推理；分析法和综合法【专题】综合题；推理和证明【分析】确定三人各自值班的日期之和为26，根据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，即可确定丙必定值班的
16、日期【解答】解：由题意，1至12的和为78，因为三人各自值班的日期之和相等，所以三人各自值班的日期之和为26，根据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，据此可判断丙必定值班的日期是6日和11日，故选：C【点评】本题考查分析法，考查学生分析解决问题的能力，比较基础9若关于x的方程x3x2x+a=0（aR）有三个实根x1，x2，x3，且满足x1x2x3，则a的取值范围为（）AaBa1Ca1Da1【考点】利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】由x3x2
17、x+a=0得a=x3x2x，构造函数f（x）=x3x2x，利用导数求出函数f（x）的极值，即可得到结论【解答】解：由x3x2x+a=0得a=x3x2x，设f（x）=x3x2x，则函数的导数f（x）=3x22x1，由f（x）0得x1或x，此时函数单调递增，由f（x）0得x1，此时函数单调递减，即函数在x=1时，取得极小值f（1）=111=1，在x=时，函数取得极大值f（）=（）3（）2（）=，要使方程x3x2x+a=0（aR）有三个实根x1，x2，x3，则1a，即a1，故选：B【点评】本题主要考查导数的应用，构造函数，求函数的导数，利用导数求出函数的极值是解决本题的关键10如图所示为某几何体的正
18、视图和侧视图，则该几何体体积的所有可能取值的集合是（）A， B， CV|VDV|0V【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】根据题意，得出该几何体的俯视图为正方形时其体积最大，俯视图为一线段时，不表示几何体；从而求出几何体的体积可能取值范围【解答】解：根据几何体的正视图和侧视图，得；当该几何体的俯视图是边长为1的正方形时，它是高为2的四棱锥，其体积最大，为122=；当该几何体的俯视图为一线段时，它的底面积为0，此时不表示几何体；所以，该几何体体积的所有可能取值集合是V|0V故选：D【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的结
19、构特征是什么，是基础题目二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11复数z=（i虚数单位）在复平面上对应的点到原点的距离为【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义【专题】数系的扩充和复数【分析】直接利用复数的乘除运算法则化简目的地复数的对应点，然后利用两点间距离公式求解即可【解答】解：复数z=i（1+i）=1i，复数z=（i虚数单位）在复平面上对应的点（1，1）到原点的距离为：故答案为：【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，考查计算能力12设a抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x2+ax+a=0有两个不等实数根的概率为【考点】列举法计算基本事件数及事件
20、发生的概率【专题】概率与统计【分析】本题可以按照等可能事件的概率来考虑，可以先列举出试验发生包含的事件数，再求出满足条件的事件数，从而根据概率计算公式写出概率【解答】解：a是甲抛掷一枚骰子得到的点数，试验发生包含的事件数6，方程x2+ax+a=0 有两个不等实根，a24a0，解得a4，a是正整数，a=5，6，即满足条件的事件有2种结果，所求的概率是=，故答案为：【点评】本题考查等可能事件的概率，在解题过程中应用列举法来列举出所有的满足条件的事件数，是解题的关键13若关于x，y的不等式组（k是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，则k=1或0【考点】二元一次不等式（组）与平面区域【专题】
21、不等式的解法及应用【分析】先画出满足约束条件的可行域，结合kxy+10表示地（0，1）点的直线kxy+1=0下方的所有点（包括直线上的点）和已知可得：直线kxy+1=0与y轴垂直或与y=x垂直，进而求出满足条件的k值【解答】解：满足约束条件的可行域如下图阴影部分所示：kxy+10表示地（0，1）点的直线kxy+1=0下方的所有点（包括直线上的点）由关于x，y的不等式组（k是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，可得直线kxy+1=0与y轴垂直，此时k=0或直线kxy+1=0与y=x垂直，此时k=1综上k=1或0故答案为：1或0【点评】本题考查的知识点是二元一次不等式（组）与平面区域，其
22、中根据已知分析出直线kxy+1=0与y轴垂直或与y=x垂直，是解答的关键14若在圆C：x2+（ya）2=4上有且仅有两个点到原点O距离为1，则实数a的取值范围是3a1或1a3【考点】直线与圆的位置关系【专题】计算题；直线与圆【分析】根据题意知：圆x2+（ya）2=4和以原点为圆心，1为半径的圆x2+y2=1相交，因此两圆圆心距大于两圆半径之差、小于两圆半径之和，列出不等式，解此不等式即可【解答】解：根据题意知：圆x2+（ya）2=4和以原点为圆心，1为半径的圆x2+y2=1相交，两圆圆心距d=|a|，21|a|2+1，3a1或1a3故答案为：3a1或1a3【点评】本题体现了转化的数学思想，解题
23、的关键在于将问题转化为：圆x2+（ya）2=4和以原点为圆心，1为半径的圆x2+y2=1相交，属中档题15已知面积为的ABC中，A=若点D为BC边上的一点，且满足=，则当AD取最小时，BD的长为【考点】三角形中的几何计算【专题】解三角形【分析】先建立合适的平面直角坐标系，借助平面向量根据两种不同的面积公式进行求解【解答】解：AD取最小时即ADBC时，根据题意建立如图的平面直角坐标系，根据题意，设A（0，y），C（2x，0），B（x，0）（其中x0），则=（2x，y），=（x，y），ABC的面积为，=18，=cos=9，2x2+y2=9，ADBC，S=xy=3，由得：x=，故答案为：【点评】本题
24、考查了三角形的面积公式、利用平面向量来解三角形的知识三、解答题（共5小题，满分66分）16将射线y=x（x0）绕着原点逆时针旋转后所得的射线经过点A=（cos，sin）（）求点A的坐标；（）若向量=（sin2x，2cos），=（3sin，2cos2x），求函数f（x）=，x0，的值域【考点】两角和与差的正弦函数；平面向量数量积的运算【专题】三角函数的图像与性质；平面向量及应用【分析】（）设射线y=x（x0）的倾斜角为，则tan=，（0，）再由两角和的正切公式和同角的基本关系式，计算即可得到；（）运用向量的数量积的坐标表示和两角和的正弦公式，结合正弦函数的图象和性质，即可计算得到值域【解答】解：
25、（）设射线y=x（x0）的倾斜角为，则tan=，（0，）tan=tan（+）=，由解得，点A的坐标为（，）（）f（x）=3sinsin2x+2cos2cos2x=sin2x+cos2x=sin（2x+）由x0，可得2x+，sin（2x+），1，函数f（x）的值域为，【点评】本题考查三角函数、平面向量等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程的思想，属于中档题17某校为选拔参加“央视猜灯谜大赛”的队员，在校内组织猜灯谜竞赛规定：第一阶段知识测试成绩不小于160分的学生进入第二阶段比赛现有200名学生参加知识测试，并将所有测试成绩绘制成如下所示的频率分布直方图（）估算这200名学生测试成绩的中位
26、数，并求进入第二阶段比赛的学生人数；（）将进入第二阶段的学生分成若干队进行比赛现甲、乙两队在比赛中均已获得120分，进入最后抢答阶段抢答规则：抢到的队每次需猜3条谜语，猜对1条得20分，猜错1条扣20分根据经验，甲队猜对每条谜语的概率均为，乙队猜对前两条的概率均为，猜对第3条的概率为若这两队抢到答题的机会均等，您做为场外观众想支持这两队中的优胜队，会把支持票投给哪队？【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式【专题】概率与统计【分析】（）设测试成绩的中位数为x，由频率分布直方图中x两侧的矩形的面积相等列式求得x值，则中位数可求，再由200（0.003+0.0015）20求得进
27、入第二阶段的学生人数；（）设最后抢答阶段甲、乙两队猜对灯谜的条数分别为、，则服从B（3，）分布，由此求得E，进一步求得最后抢答阶段甲队得分的期望，然后求出E，再求出最后抢答阶段乙队得分的期望，比较期望后得答案【解答】解：（）设测试成绩的中位数为x，由频率分布直方图得，（0.0015+0.019）20+（x140）0.025=0.5，解得：x=143.6测试成绩中位数为143.6进入第二阶段的学生人数为200（0.003+0.0015）20=18人（）设最后抢答阶段甲、乙两队猜对灯谜的条数分别为、，则B（3，），E（）=最后抢答阶段甲队得分的期望为20=30，P（=0）=，P（=1）=，P（=2
28、）=，P（=3）=，E=最后抢答阶段乙队得分的期望为20=24120+30120+24，支持票投给甲队【点评】本小题主要考查概率、概率与统计等基础知识，考查推理论证能力、数据处理能力、运算求解能力及应用意识，考查或然与必然的思想，属中档题18如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，且AD=2CD=2，AA1=2，A1AD=若O为AD的中点，且CDA1O（）求证：A1O平面ABCD；（）线段BC上是否存在一点P，使得二面角DA1AP为？若存在，求出BP的长；不存在，说明理由【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【专题】空间位置关系与距离；空间角【分析】（）证明A
29、1OAD，A1OCD，利用直线与平面垂直的判定定理证明A1O平面ABCD（）过O作OxAB，以O为原点，建立空间直角坐标系Oxyz，设P（1，m，0）m1，1，求出平面A1AP的法向量，平面A1ADD1的法向量，利用二面角与向量的数量积求解m即可【解答】满分（13分）（）证明：A1AD=，且AA1=2，AO=1，A1O=，（2分）+AD2=AA12，A1OAD（3分）又A1OCD，且CDAD=D，A1O平面ABCD（5分）（）解：过O作OxAB，以O为原点，建立空间直角坐标系Oxyz（如图），则A（0，1，0），A1（0，0，），（6分）设P（1，m，0）m1，1，平面A1AP的法向量为=（x
30、，y，z），=， =（1，m+1，0），且取z=1，得=（8分）又A1O平面ABCD，A1O平面A1ADD1平面A1ADD1平面ABCD又CDAD，且平面A1ADD1平面ABCD=AD，CD平面A1ADD1不妨设平面A1ADD1的法向量为=（1，0，0）（10分）由题意得=，（12分）解得m=1或m=3（舍去）当BP的长为2时，二面角DA1AP的值为（13分）【点评】本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想19已知点F（0，1），直线l1：y=1，直线l1l2于P，连结PF，作线段
31、PF的垂直平分线交直线l2于点H设点H的轨迹为曲线r（）求曲线r的方程；（）过点P作曲线r的两条切线，切点分别为C，D，（）求证：直线CD过定点；（）若P（1，1），过点O作动直线L交曲线R于点A，B，直线CD交L于点Q，试探究+是否为定值？若是，求出该定值；不是，说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）由题意推出|HF|=|HP|，利用抛物线定义，求解点H的轨迹方程（）（）证明：设P（x1，1），切点C（xC，yC），D（xD，yD）求出函数的导数，推出切线方程，然后求出直线CD的方程，说明直线CD过定点（）求出直线CD的方程为
32、设l：y+1=k（x1），求得xQ=，设A（xA，yA），B（xB，yB）联立y+1=k（x1）与x2=4y，利用韦达定理，化简+推出定值【解答】满分（13分）解：（）由题意可知，|HF|=|HP|，点H到点F（0，1）的距离与到直线l1：y=1的距离相等，（2分）点H的轨迹是以点F（0，1）为焦点，直线l1：y=1为准线的抛物线，（3分）点H的轨迹方程为x2=4y（4分）（）（）证明：设P（x1，1），切点C（xC，yC），D（xD，yD）由y=，得直线PC：y+1=xC（xx1），（5分）又PC过点C，yC=，yC+1=xC（xx1）=xCx1，yC+1=，即（6分）同理，直线CD的方程为
33、，（7分）直线CD过定点（0，1）（8分）（）由（）（）P（1，1）在直线CD的方程为，得x1=1，直线CD的方程为设l：y+1=k（x1），与方程联立，求得xQ=（9分）设A（xA，yA），B（xB，yB）联立y+1=k（x1）与x2=4y，得x24kx+4k+4=0，由根与系数的关系，得xA+xB=4kxAxB=4k+4（10分）xQ1，xA1，xB1同号，+=|PQ|=（11分）=，+为定值，定值为2（13分）【点评】本题主要考查直线、抛物线、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力20（14分
34、）已知函数f（x）=ex（x2+ax）在点（0，f（0）处的切线斜率为2（）求实数a的值；（）设g（x）=x（xt）（tR），若g（x）f（x）对x0，1恒成立，求t的取值范围；（）已知数列an满足a1=1，an+1=（1+）an，求证：当n2，nN时 f（）+f（）+L+f（）n（）（e为自然对数的底数，e2.71828）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】计算题；压轴题；函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】（）求导f（x）=ex（x2+ax）+ex（2x+a）=ex（x2+ax2xa）；从而可得f（0）=（a）=2，从而解得；（）由（）知，f（x
35、）=ex（x2+2x），从而化简g（x）f（x）得x（xt）ex（x2+2x），x0，1；从而分x=0与x（0，1讨论，再化恒成立问题为最值问题求解即可（）由an+1=（1+）an，及a1=1可得an=n；再由当x（0，1时，f（x）=ex（x22）0知f（x）在0，1上单调递增，且f（x）f（0）=0；故f（）f（x）dx，（1in1，iN），从而化简 f（）+f（）+f（）= f（）+f（）+f（）f（x）dx；再由f（x）g（x）=x2+（1+）x得f（x）dxg（x）dx=+，从而证明【解答】解：（）f（x）=ex（x2+ax），f（x）=ex（x2+ax）+ex（2x+a）=ex（x
36、2+ax2xa）；则由题意得f（0）=（a）=2，故a=2（）由（）知，f（x）=ex（x2+2x），由g（x）f（x）得，x（xt）ex（x2+2x），x0，1；当x=0时，该不等式成立；当x（0，1时，不等式x+t+ex（x+2）在（0，1上恒成立，即tex（x+2）+xmax设h（x）=ex（x+2）+x，x（0，1，h（x）=ex（x+1）+1，h（x）=xex0，h（x）在（0，1单调递增，h（x）h（0）=0，h（x）在（0，1单调递增，h（x）max=h（1）=1，t1（）证明：an+1=（1+）an，=，又a1=1，n2时，an=a1=1=n；对n=1也成立，an=n当x（0，
37、1时，f（x）=ex（x22）0，f（x）在0，1上单调递增，且f（x）f（0）=0又f（）（1in1，iN）表示长为f（），宽为的小矩形的面积，f（）f（x）dx，（1in1，iN）， f（）+f（）+f（）= f（）+f（）+f（）f（x）dx又由（），取t=1得f（x）g（x）=x2+（1+）x，f（x）dxg（x）dx=+， f（）+f（）+f（）+，f（）+f（）+f（）n（+）【点评】本题考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合的思想，考查运用数学知识分析和解决问题的能力选修42:矩阵与变换21在平面直角坐标系中，矩
38、阵M对应的变换将平面上任意一点P（x，y）变换为点P（2x+y，3x）（）求矩阵M的逆矩阵M1；（）求曲线4x+y1=0在矩阵M的变换作用后得到的曲线C的方程【考点】几种特殊的矩阵变换【专题】矩阵和变换【分析】（）设点P（x，y）在矩阵M对应的变换作用下所得的点为P（x，y），通过可得M=，进而可得结论；（）设点A（x，y）在矩阵M对应的变换作用下所得的点为A（x，y），通过=M1可得，代入曲线4x+y1=0，计算即可【解答】解：（）设点P（x，y）在矩阵M对应的变换作用下所得的点为P（x，y），则即=，M=又det（M）=3，M1=；（）设点A（x，y）在矩阵M对应的变换作用下所得的点为A（
39、x，y），则=M1=，即，代入4x+y1=0，得，即变换后的曲线方程为x+2y+1=0【点评】本题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力及化归与转化思想，属于中档题选修4-4：坐标系与参数方程22已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程为p2+2psin（+）+1=r2（r0）（）求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（）若圆C上的点到直线l的最大距离为3，求r值【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【专题】坐标系和参数方程【分析】（）直接根据互化公式消去相应的参数即可；（）结合点到直线的距离公式求解即
40、可【解答】解：（）根据直线l的参数方程为（t为参数），消去参数，得x+y=0，直线l的直角坐标方程为x+y=0，圆C的极坐标方程为p2+2psin（+）+1=r2（r0）（x+）2+（y+）2=r2（r0）圆C的直角坐标方程为（x+）2+（y+）2=r2（r0）（）圆心C（，），半径为r，（5分）圆心C到直线x+y=0的距离为d=2，又圆C上的点到直线l的最大距离为3，即d+r=3，r=32=1【点评】本题重点考查了曲线的参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和直角坐标方程的互化等知识选修45：不等式选讲23已知函数f（x）=|x5|+|x3|（）求函数f（x）的最小值m；（）若正实数a，b足+=，求证： +m【考点】不等式的证明；基本不等式【专题】选作题；不等式【分析】（）利用f（x）=|x5|+|x3|x5+3x|=2求函数f（x）的最小值m；（）利用柯西不等式，即可证明【解答】（）解：f（x）=|x5|+|x3|x5+3x|=2，（2分）当且仅当x3，5时取最小值2，（3分）m=2（4分）（）证明：（ +）（）2=3，（+）（）2，+2（7分）【点评】本题主要考查绝对值不等式和均值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想
