1、章末综合测评(一)导数及其应用(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列求导运算正确的是()A(cos x)sin xBcos CDDA错误，(cos x)sin x；B错误；0；C错误；D正确2如果物体的运动方程为s2t(t1)，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在2秒末的瞬时速度是() 【导学号：31062115】A.米/秒 B.米/秒C.米/秒 D.米/秒Ass(t)2t，s(t)2.故物体在2秒末的瞬时速度s(2)2.3曲线y在点(1，1)处的切线方程为()Ay2x1By2x1C
2、y2x3Dy2x2Ay，ky|x12，切线方程为：y12(x1)，即y2x1.4若函数f(x)x3f(1)x2x，则f(1)的值为()A0B2C1D1Af(x)x3f(1)x2x，f(x)x22f(1)x1，f(1)12f(1)1，f(1)0.5函数f(x)xex的一个单调递增区间是()A1,0B2,8C1,2D0,2Af(x)xex，则f(x)，令f(x)0，得x1，故增区间为(，1)，又因为1,0(，1)，故选A.6函数f(x)exsin x在区间上的值域为()A0，eB(0，e)C0，e)D(0，eAf(x)ex(sin xcos x)x，f(x)0.f(x)在上是单调增函数，f(x)m
3、inf(0)0，f(x)maxfe.7一物体以速度v3t22t(单位：m/s)做直线运动，则它在t0 s到t3 s时间段内的位移是()A31 mB36 mC38 mD40 mBS(3t22t)dt(t3t2)|333236(m)8函数f(x)x33x23xa的极值点的个数是() 【导学号：31062116】A2B1C0D由a确定Cf(x)3x26x33(x22x1)3(x1)20，函数f(x)在R上单调递增，无极值故选C.9已知f(x)ax3bx2x(a、bR且ab0)的图象如图1所示，若|x1|x2|，则有()图1Aa0，b0Ba0，b0Ca0，b0Da0，b0Bf(x)3ax22bx1有两
4、个零点x1，x2，且|x1|x2|，由图可知x1x20，且x1是极小值点，a0，b0.10若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x)的极小值为()A1B2e3C5e3D1Af(x)x2(a2)xa1ex1，则f(2)42(a2)a1e30a1，则f(x)(x2x1)ex1，f(x)(x2x2)ex1，令f(x)0，得x2或x1，当x2或x1时，f(x)0，当2x1时，f(x)0，则f(x)极小值为f(1)1.11设函数f(x)xln x(x0)，则yf(x)()A在区间，(1，e)内均有零点B在区间，(1，e)内均无零点C在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点D在区间内无零
5、点，在区间(1，e)内有零点Df(x)，令f(x)0，得x3，当0x3时，f(x)0，所以函数f(x)在区间(0,3)上为减函数又f(1)0，f(e)10，f10，所以yf(x)在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点12设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x0时，xf(x)f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是() 【导学号：31062117】A(，1)(0,1)B(1,0)(1，)C(，1)(1,0)D(0,1)(1，)A当x0时，令F(x)，则F(x)0，当x0时，F(x)为减函数f(x)为奇函数，且由f(1)0，得f(1)0，故F(1)0.在区间(0
6、,1)上，F(x)0；在(1，)上，F(x)0.即当0x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0.又f(x)为奇函数，当x(，1)时，f(x)0；当x(1,0)时，f(x)0.综上可知，f(x)0的解集为(，1)(0,1)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13 (3xsin x)dx_.解析 (0cos 0)1.答案114若曲线yex上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是_解析设P(x0，y0)，yex，yex，点P处的切线斜率为kex02，x0ln 2，x0ln 2，y0eln 22，点P的坐标为(ln 2,2)答案(ln 2,2)15直线y
7、a与函数f(x)x33x的图象有三个相异的公共点，则a的取值范围是_解析令f(x)3x230，得x1，可求得f(x)的极大值为f(1)2，极小值为f(1)2，如图所示，2a2时，恰有三个不同公共点答案(2,2)16用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为21，则该长方体的长、宽、高分别为_时，其体积最大. 【导学号：31062118】解析设长、宽、高分别2x，x，h，则4(2xxh)18，h3x，V2xxh2x26x39x2，由V0得x1或x0(舍去)x1是函数V在(0，)上唯一的极大值点，也是最大值点，故长、宽、高分别为2 cm,1 cm， cm时，体积最大答
8、案21三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知函数yf(x)的图象是折线段ABC，其中A(0,0)，B，C(1,0)，求函数yxf(x)(0x1)的图象与x轴围成的图形的面积解根据题意，得到f(x)，从而得到yxf(x)所以围成的面积为S (2x22x)dx.18(本小题满分12分)设函数f(x)2x33(a1)x26ax8，其中aR.已知f(x)在x3处取得极值(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在点A(1,16)处的切线方程解(1)f(x)6x26(a1)x6a.f(x)在x3处取得极值，f(3)696(a1)36a0，
9、解得a3.f(x)2x312x218x8.(2)A点在f(x)上，由(1)可知f(x)6x224x18，f(1)624180，切线方程为y16.19(本小题满分12分)已知函数f(x)(x2)exa(x1)2.讨论f(x)的单调性. 【导学号：31062119】解f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a)(1)设a0，则当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0.所以f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增(2)设a0，由f(x)0得x1或xln(2a)若a，则f(x)(x1)(exe)，所以f(x)在(，)上单调递增若a，则ln(2a)1，故当x(，ln(2a
10、)(1，)时，f(x)0；当x(ln(2a)，1)时，f(x)0.所以f(x)在(，ln(2a)，(1，)上单调递增，在(ln(2a)，1)上单调递减若a，则ln(2a)1，故当x(，1)(ln(2a)，)时，f(x)0；当x(1，ln(2a)时，f(x)0.所以f(x)在(，1)，(ln(2a)，)上单调递增，在(1，ln(2a)上单调递减20(本小题满分12分)设函数f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2时取得极值(1)求a，b的值；(2)若对任意的x0,3，都有f(x)0；当x1,2时，f(x)0.所以当x1时，f(x)取得极大值f(1)58c，当x2时，f(x)取得极小值f(2)
11、48c，又f(0)8c，f(3)98c.所以当x0,3时，f(x)的最大值为f(3)98c.因为对于任意的x0,3，有f(x)c2恒成立，所以98cc2，解得c9.故c的取值范围为(，1)(9，)21(本小题满分12分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V m3.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/m2，底面的建造成本为160元/m2，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大解(1)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh(元)，底面的总成本为160r2元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元又根据题意200rh160r212 000，所以h(3004r2)，从而V(r)r2h(300r4r3)因为r0，又由h0可得r0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,5)时，V(r)0)，S(b)；令S(b)0，得b3，且当0b0；当b3时，S(b)0.故在b3时，S(b)取得极大值，也是最大值，即a1，b3时，S取得最大值，且Smax.
