1、第十二章 机械振动 机械波 光 第 1 课时 机械振动 用单摆测定重力加速度 课前考点自清一、简谐运动1概念：如果质点的位移与时间的关系遵从函数的规律，即它的振动图象(xt 图象)是一条曲线，这样的振动叫简谐振动2动力学表达式 F运动学表达式 xAsin(t)正弦正弦kx3描述简谐运动的物理量(1)位移 x：由指向的有向线段表示振动位移，是矢量(2)振幅 A：振动物体离开平衡位置的，是标量，表示振动的强弱(3)周期 T 和频率 f：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间叫周期，而频率则等于单位时间内完成全振动的次数；它们是表示振动快慢的物理量二者互为倒数关系平衡位置振动质点所在位置最大距离
2、一次全振动全振动的次数4简谐运动的图象(1)物理意义：表示振子的位移随时间变化的规律，为正弦(或余弦)曲线(2)从平衡位置开始计时，函数表达式为 xAsin t，图象如图 1 所示图 1从最大位移处开始计时，函数表达式为 xAcos t，图象如图 2 所示.图 25简谐运动的能量简谐运动过程中动能和势能相互转化，机械能守恒，振动能量与有关，越大，能量越大振幅振幅二、简谐运动的两种基本模型弹簧振子(水平)单摆模型示意图C1303.TIF；BPC1304.条件忽略弹簧质量、无摩擦等阻力细线不可伸长、质量忽略、无空气等阻力、摆角很小平衡位置弹簧处于原长处最低点弹簧处于原长处最低点回复力弹簧的 摆球重
3、力沿与摆线垂直(即切向)方向的分力周期公式T2 mk(不作要求)T能量转化弹性势能与动能的相互转化，机械能守恒重力势能与动能的相互转化，机械能守恒弹力2lg三、受迫振动和共振1受迫振动：物体在作用下的振动做受迫振动的物体，它的周期(或频率)等于的周期(或频率)，而与物体的固有周期(或频率)关TPC1305.TI图 32共振：做受迫振动的物体，它的固有频率与驱动力的频率越接近，其振幅就越大，当二者时，振幅达到最大，这就是共振现象共振曲线如图 3 所示周期性驱动力驱动力无相等四、实验：用单摆测定重力加速度方法一：计算法根据公式 T2lg，g.将测得的几次的周期T 和摆长 l 代入公式 g中算出重力
4、加速度 g 的值，再算出 g 的平均值，即为当地的重力加速度的值42lT242lT2方法二：图象法由单摆的周期公式 T2lg可得 l g42T2，因此以摆长l 为纵轴，以 T2 为横轴作出的 lT2 图象是一条过原点的直线，如图 4 所示，求出斜率 k，即可求出 g 值g42k，k lT2 lT2.TPC1306.T图 4核心考点突破考点一 简谐运动图象及运动规律1物理意义：表示振动物体的位移随时间变化的规律2应用(1)确定振动物体在任意时刻的位移如图 5 中，对应 t1、t2 时刻的位移分别为 x17 cm，x25 cm.TPC1307图 5(2)确定振动的振幅如图振幅是 10 cm.(3)
5、确定振动周期和频率振动图象上一个完整的正弦(余弦)图形在时间轴上拉开的“长度”表示周期由图可知，OD、AE、BF 的间隔都等于振动周期，T0.2 s，频率 f1T5 Hz.(4)确定各质点的振动方向例如图中的 t1时刻，质点正远离平衡位置向位移的正方向运动；在 t3时刻，质点正向着平衡位置运动(5)比较各时刻质点加速度的大小和方向例如在图中 t1时刻质点位移 x1 为正，则加速度 a1 为负；t2 时刻质点位移 x2 为负，则加速度 a2 为正，又因为|x1|x2|，所以|a1|a2|.3运动规律：公式 xAsin(t)(1)变化规律位移增大时回复力、加速度变大速度、动能减小势能增大机械能守恒
6、振幅、周期、频率保持不变(2)对称规律做简谐运动的物体，在关于平衡位置对称的两点，回复力、位移、加速度具有等大反向的关系另外速度的大小、动能具有对称性，速度的方向可能相同或相反图 6振动质点来回通过相同的两点间的时间相等，如 tBCtCB；质点经过关于平衡位置对称的等长的两线段时所用的时间相等，如 tBCtBC，如图 6 所示【高考佐证 1】(2009天津理综8)某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为 xAsin4t，则质点()A第 1 s 末与第 3 s 末的位移相同B第 1 s 末与第 3s 末的速度相同C3 s 末至 5 s 末的位移方向都相同D3 s 末至 5 s 末的速度方向都
7、相同解析 将 t1 s和 t3 s代入关系式，可得 x都等于 22 A，A 项正确第 1 s 末和第 3 s 末，质点的运动方向相反，速度不同，B 项错误将 t3 s 和 t5 s 代入关系式，可得位移一正一负，方向不同，C 项错误第 3 s 末和第 5 s 末，质点的速度大小和方向都相同，D 项正确AD考点二 单摆的理解1单摆及成立条件(如图 7 所示)(1)细线不可伸长，质量忽略(2)小球可视为质点，空气阻力不计2受力特征：重力和细线的拉力图 7(1)回复力：摆球重力沿切向方向上的分力，F 回mgsin mgl xkx.(2)向心力：细线的拉力和重力沿细线方向的分力充当向心力，F 向Fmg
8、cos.注意：当摆球在最高点时，F 向mv2R 0，Fmgcos.当摆球在最低点时，F 向mv2R，F 向最大，Fmgmv2R.3周期公式：T2 lg，f 12gl(1)测重力加速度 g，只要测出单摆的摆长 l，周期 T，就可以根据 g42 lT2，求出当地的重力加速度 g.(2)l 为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离，要区分摆长和摆线长，悬点实质为摆球摆动所在圆弧的圆心(3)g 为当地重力加速度4摆球在摆动过程中，动能与重力势能相互转化，机械能守恒，振动能量大小的标志为单摆的振幅.【高考佐证 2】(2009上海单科4)做简谐运动的单摆摆长不变，若摆球质量增加为原来的 4 倍，摆球经过平衡
9、位置时速度减小为原来的 1/2，则单摆振动的()A频率、振幅都不变B频率、振幅都改变C频率不变、振幅改变D频率改变、振幅不变解析 由单摆周期公式 T2 lg知周期只与 l、g 有关，与 m 和 v 无关，周期不变其频率不变又因为没改变质量前，设单摆最低点与最高点高度差为 h，最低点速度为 v，mgh 12mv2.质 量 改 变 后：4mgh 12 4m(v2)2，可 知hh，振幅改变答案 C考点三 用单摆测定重力加速度1实验原理单摆在摆角很小(小于 5)时，其摆动可以看作简谐运动，其振动周期 T2 lg，其中 l 为摆长，g 为当地重力加速度，由此可得 g42lT2，据此，只要测出摆长 l 和
10、周期 T，就可计算出当地重力加速度 g 的数值2实验器材铁架台、中心有小孔的金属小球、长约 1 m 的细线、秒表、刻度尺、游标卡尺3实验步骤(1)让线的一端穿过金属球的小孔，然后打一个线结，做成单摆TPC131图 8(2)把线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自由下垂，在单摆平衡位置处作上标记，如图 8 所示(3)用刻度尺量出摆线长度 l，精确到毫米，用游标卡尺测出摆球的直径 d，即得出小球的半径为d2，计算出摆长 lld2.(4)把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度(不超过 5)，然后放开小球，让小球摆动，待摆动平稳后测出单摆完成N(一般为 3050
11、)次全振动所用的时间 t，计算出小球完成1 次全振动所用的时间，这个时间就是单摆的振动周期，即 T tN(N 为全振动的次数)，反复测 3 次，再算出周期 T的平均值(5)根据单摆振动周期公式 T2lg，计算出当地的重力加速度 g42lT2.(6)改变摆长，重做几次实验，计算出每次实验的重力加速度值，求出它们的平均值，即为当地的重力加速度值4注意事项(1)为减小计时误差，开始计时的位置应选在平衡位置(2)要测多次全振动的时间来计算周期，如在摆球过平衡位置时启动秒表同时数零，以后摆球每过一次平衡位置记一个数最后秒表计时为 t，记数为 n，则周期 Ttn22tn.(3)构成单摆的条件：细线的质量要
12、小，弹性要小；要选用体积小、密度大的小球，摆角不能超过 5.TPC1311图 9(4)摆长是悬点到球心的距离，即摆线长加上小球半径，为使摆长测量准确，可以用刻度尺进行如图 9 所示的测量，利用 ll1l22求得摆长摆线上端要固定好，以免摆动过程中摆长发生变化【高考佐证 3】(2009浙江理综22)(1)在“探究单摆周期与摆长的关系”实验中，两位同学用游标卡尺测量小球的直径如图 10 甲、乙所示测量方法正确的是_(选填“甲”或“乙”)图 10(2)实验时，若摆球在垂直纸面的平面内摆动，为了将人工记录振动次数改为自动记录振动次数，在摆球运动最低点的左、右两侧分别放置一激光光源与光敏电阻，如图 11
13、甲所示光敏电阻与某一自动记录仪相连，该仪器显示的光敏电阻阻值 R 随时间 t 的变化图线如图乙所示，则该单摆的振动周期为_若保持悬点到小球顶点的绳长不变，改用直径是原小球直径 2 倍的另一小球进行实验，则该单摆的周期将_(填“变大”、“不变”或“变小”)，图乙中的 t 将_(填“变大”、“不变”或“变小”)图 11甲乙解析(1)游标卡尺两外测量爪对齐时，甲图放小球的地方并不对齐，正确的是乙图(2)一个周期内小球应该两次经过最低点，使光敏电阻的阻值发生变化，故周期为 t12t0t12t0；小球的直径变大后，摆长变长，周期变大；使得每次经过最低点的时间变长答案(1)乙(2)2t0 变大 变大题型互
14、动探究题型一 简谐运动的描述和图象的应用例 1图 12如图 12 为一弹簧振子的振动图象，试完成以下要求：(1)写出该振子简谐运动的表达式(2)在第 2 s 末到第 3 s 末这段时间内弹簧振子的加速度、速度、动能和弹性势能各是怎样变化的？(3)该振子在前 100 s 的总位移是多少？路程是多少？解析(1)由振动图象可得A5 cm，T4 s，0则 2T 2 rad/s故该振子简谐运动的表达式为x5sin 2t cm(2)由图可知，在 t2 s 时，振子恰好通过平衡位置，此时加速度为零，随着时间的延续，位移值不断加大，加速度的值也不断变大，速度值不断变小，动能不断减小，弹性势能逐渐增大当 t3
15、s 时，加速度的值达到最大，速度等于零，动能等于零，弹性势能达到最大值(3)振子经一周期位移为零，路程为 54 cm20 cm，前100 s 刚好经过了 25 个周期，所以前 100 s 振子位移 x0，振子路程 x2025 cm500 cm5 m.答案(1)x5sin 2t cm(2)见解析(3)0 5 m即学即练 1 一弹簧振子做简谐运动，周期为 T，则()A若 t 时刻和(tt)时刻振子运动的位移的大小相等、方向相同，则 t 一定等于 T 的整数倍B若 t 时刻和(tt)时刻振子运动的速度的大小相等、方向相反，则 t 一定等于 T/2 的整数倍C若 tT，则在 t 时刻和(tt)时刻振子
16、运动的加速度一定相等D若 tT/2，则在 t 时刻和(tt)时刻弹簧的长度一定相等解析 TPC1315.此题若用图象来解决会更直观、方便设弹簧振子的振动图象如图所示B，C 两点的位移大小相等、方向相同，但 B，C 两点的时间间隔 tT，A 错误；B，C 两点的速度大小相等、方向相反，但 tT2，B 错误；A，D 两点的时间间隔 tT，A，D 两点的位移大小和方向均相同，所以 A，D 两点的加速度一定相等，C 正确；A，C 两点的时间间隔 tT2，A 点与 C 点位移大小相等、方向相反，在 A 点弹簧是伸长的，在 C 点弹簧是压缩的，所以在 A，C 两点弹簧的形变量大小相同，而弹簧的长度不相等，
17、D 错误故正确答案为 C.答案 C题型二“单摆模型”的应用例 2 如图 13 所示，TPC1316.图 13ACB 为光滑弧形槽，弧形槽半径为 R，R.甲球从弧形槽的球心处自由落下，乙球从 A 点由静止释放，问：(1)两球第 1 次到达 C 点的时间之比(2)若在圆弧的最低点 C 的正上方 h 处由静止释放小球甲，让其自由下落，同时乙球从圆弧左侧由静止释放，欲使甲、乙两球在圆弧最低点 C 处相遇，则甲球下落的高度 h 是多少？AB（解析(1)甲球做自由落体运动R12gt 21，所以 t12Rg乙球沿圆弧做简谐运动(由于R，可认为摆角 5)此振动与一个摆长为 R 的单摆振动模型相同，故此等效摆长
18、为 R，因此第 1 次到达 C 处的时间为t214T142 Rg2Rg所以 t1t22 2AC（(2)设甲球从离弧形槽最低点 h 高处开始自由下落t 甲2hg由于乙球运动的周期性，所以乙球到达最低点时间为t 乙T4nT22Rg(2n1)n0,1,2，由于甲、乙相遇 t 甲t 乙解得 h(2n1)22R8(n0,1,2，)答案(1)2 2(2)(2n1)22R8(n0,1,2，)建模感悟:1.小球在光滑圆弧内的小幅运动可看作是单摆模型，周期公式同样是 T2lg，其中 l 是这个圆弧的半径2解题时，应注意单摆的往返运动导致的多解性即学即练 2TPC1317.图 14细长轻绳下端拴一小球构成单摆，在
19、悬挂点正下方12摆长处有一个能挡住摆线的钉子 A，如图 14 所示现将单摆向左方拉开一个小角度然后无初速度释放对于单摆的运动，下列说法中正确的是()A摆球往返运动一次的周期比无钉子时的单摆周期小B摆球在左、右两侧上升的最大高度一样C摆球在平衡位置左右两侧走过的最大弧长相等D摆球在平衡位置右侧的最大摆角是左侧的 2 倍解析 向左方拉开一小角度可以认为单摆做简谐运动，TPC1318无钉子的周期 T12lg；有钉子的周期 T2T左2 T右2 122lg122l2glgl2gT1，A 正确根据机械能守恒定律可知摆球左右两侧上升的高度相同，B 正确如图所示B，C 为单摆左右两侧的最高位置，令BOA，CA
20、D，B，C 两点等高，由几何关系：l(1cos)l2(1cos)，所以 cos 12cos.令 2，则 cos 1 或 0，即 0或 90.这不符合题意，即 2，D 错误又 l BDl，l CDl2，由于 2，所以 l BDl CD，所以 C 也错误故正确答案为 A、B.答案 AB（题型三 受迫振动和共振的应用例 3 一砝码和一轻弹簧构成弹簧振子，如图 15 甲所示，该装置可用于研究弹簧振子的受迫振动匀速转动把手时，曲杆给弹簧振子以驱动力，使振子做受迫振动把手匀速转动的周期就是驱动力的周期，改变把手匀速转动的速度就可以改变驱动力的周期若保持把手不动，给砝码一向下的初速度，砝码便做简谐运动，振动
21、图线如图乙所示当把手以某一速度匀速运动，受迫振动达到稳定时，砝码的振动图象如图丙所示若用 T0 表示弹簧振子的固有周期，T 表示驱动力的周期，Y 表示受迫振动达到稳定后砝码振动的振幅，则图 15(1)稳定后，物体振动的频率 f_Hz.(2)欲使物体的振动能量最大，需满足什么条件？答：_.(3)利用上述所涉及的知识，请分析某同学所提问题的物理道理“某同学考虑，我国火车第六次大提速时，需尽可能的增加铁轨单节长度，或者是铁轨无接头”答：_.解析(1)由丙图可知，f1T14 Hz0.25 Hz.(2)物体的振动能量最大时，即振幅最大，故应发生共振，所以应有 TT04 s.(3)若单节车轨非常长，或无接
22、头，则驱动力周期非常大，从而远离火车的固有周期，即火车的振幅较小以便来提高火车的车速答案(1)0.25(2)、(3)见解析即学即练 3图 16图 16 所示是一个单摆做受迫振动时的共振曲线，表示振幅 A 与驱动力的频率 f 的关系，下列说法正确的()A摆长约为 10 cmB摆长约为 1 mC若增大摆长，共振曲线的“峰”将向右移动D若增大摆长，共振曲线的“峰”将向左移动解析 由题图知 f 固0.5 HzT 固 1f固2 s由 T 固2lg可求得 l1 m；当 l 变大时，T 固变大，f 固变小曲线的“峰”向左移，选项 B、D 正确答案 BD题型四 用单摆测定重力加速度例 4 某同学想在家里做“用
23、单摆测定重力加速度”的实验，但没有合适的摆球，他只好找到一块大小为 3 cm左右，外形不规则的大理石块代替小球实验步骤是A石块用细尼龙线系好，结点为 M，将尼龙线的上端固定于 O 点B用刻度尺测量 OM 间尼龙线的长度 L 作为摆长C将石块拉开一个大约 30的角度，然后由静止释放D从摆球摆到最高点时开始计时，测出 30 次全振动的总时间 t，由 T t30得出周期E改变 OM 间尼龙线的长度，再做几次实验，记下相应的 L 和 TF求出多次实验中测得的 L 和 T 的平均值作计算时使用的数据，带入公式 g(2T)2L 求出重力加速度 g.(1)你认为该同学在以上实验中有重大错误的是哪些步骤？为什
24、么？(2)该同学用 OM 的长作为摆长，这样做引起的系统误差将使重力加速度的测量值比真实值偏大还是偏小？你认为用什么方法可以解决摆长无法准确测量的困难？解析(1)实验步骤中有重大错误的是：B：大理石重心到悬挂点间的距离才是摆长C：最大偏角不能超过 5D：应在摆球经过平衡位置时计时F：应该用各组的 L、T 求出各组的 g 后，再取平均值(2)用 OM 作为摆长，则忽略了大理石块的大小，没有考虑从结点 M 到石块重心的距离，故摆长 L 偏小根据单摆的周期公式得 T2 Lg，g42LT2.故测量值比真实值偏小可以用改变摆长的方法如 T2 Lg，T2 Llg，测出 l.则 g 42lT2T2.答案 见
25、解析即学即练 4 在做“用单摆测定重力加速度”的实验中，有人提出以下几点建议：A适当加长摆线B质量相同、体积不同的摆球，应选用体积较大的C单摆偏离平衡位置的角度不能太大D当摆球经过平衡位置时开始计时，经过一次全振动后停止计时，用此时间间隔作为单摆振动的周期其中对提高测量结果精确度有利的是_解析 单摆实验的精确度取决于实验装置的理想化程度及相关物理量的测量精度适当加大摆线长度，有利于把摆球看成质点，在摆角小于 5的条件下，摆球的空间位置变化较大，便于观察，A 对摆球体积越大，所受空气阻力越大，对质量相同的摆球其影响越大，B 错摆角应小于 5，C 对本实验采用累积法测量周期，若仅测量一次全振动，由
26、于球过平衡位置时速度较大，难以准确记录，且一次全振动的时间太短，偶然误差较大，D 错答案 AC随堂巩固训练1TPC1321.图 17一质点做简谐运动的振动图象如图 17 所示，质点的速度与加速度方向相同的时间段是()A00.3 sB0.3 s0.6 sC0.6 s0.9 sD0.9 s1.2 sBD2如图 18 所示，TPC1322.图 18一单摆悬于 O 点，摆长为 L，若在 O 点的竖直线上的 O点钉一个钉子，使 OOL2，将单摆拉至 A 处释放，小球将在 A、B、C 间来回振动，若振动中摆线与竖直方向夹角小于 5，则此摆的周期是()A2LgB2L2gC2(LgL2g)D(LgL2g)D3
27、(2009宁夏高考)某振动系统的固有频率为 f0，在周期性驱动力的作用下做受迫振动，驱动力的频率为 f.若驱动力的振幅保持不变，下列说法正确的是()A当 ff0 时，该振动系统的振幅随 f 减小而增大C该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于 f0D该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于 f解析 系统振动稳定时，振动频率等于驱动力的频率，选项 B、D 正确BD4在“用单摆测定重力加速度”的实验中，测得单摆摆角小于 5，完成 n 次全振动的时间为 t，用毫米刻度尺测得摆线长为 L，用螺旋测微器测得摆球直径为 d.TPC1324.TIF；Z*2，Y图 19(1)用上述物理量的符号写出重力加速度的一般
28、表达式 g_.(2)从图 19 可知，摆球直径 d 的读数为_mm.(3)实验中有个同学发现他测得的重力加速度的值偏大，其原因可能是()A悬点未固定紧，振动中出现松动，使摆线增长了B单摆所用摆球质量太大C把 n 次全振动时间误当成(n1)次全振动时间D以摆线长作为摆长来计算解析 单摆的摆长为 lLd/2，完成 n 次全振动的时间为 t，振动的周期 Tt/n，代入单摆的周期公式 T2 lg中，整理可得 g42n2(Ld2)t2；读出螺旋测微器的示数为5.980 mm(0.002 均可)；由推导出的公式 g42n2(Ld2)t2可知，(3)中只有 C 正确答案(1)42n2(Ld2)t2(2)5.980(3)C返回
