1、考点突破练 20 利用导数研究函数的零点问题1.(2022江苏苏锡常镇二模)设函数 f(x)=aex+sin x-3x-2,e 为自然对数的底数,aR.(1)若 a0,求证:函数 f(x)有唯一的零点;(2)若函数 f(x)有唯一的零点,求 a 的取值范围.2.(2022山东日照三模)已知函数 f(x)=(x-2)ex-ax+aln x(aR).(1)当 a=-1 时,求函数 f(x)的单调区间;(2)当 ae 时,讨论 f(x)的零点个数.3.(2022全国乙文 20)已知函数 f(x)=ax-1-(a+1)ln x.(1)当 a=0 时,求 f(x)的最大值;(2)若 f(x)恰有一个零点
2、,求 a 的取值范围.4.(2022贵州贵阳模拟)已知函数 f(x)=ax3-3x2+a+b.(1)讨论 f(x)的单调性;(2)当 f(x)有三个零点时 a 的取值范围恰好是(-3,-2)(-2,0)(0,1),求 b 的值.5.设函数 f(x)=x3+ax2+bx+c.(1)求曲线 y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程;(2)设 a=b=4,若函数 f(x)有三个不同零点,求 c 的取值范围.考点突破练 20 利用导数研究函数的零点问题1.(1)证明 当 a0 时,f(x)=aex+cos x-30 恒成立,所以 f(x)单调递减,又 f(0)=a-2ae3-1-3(3-1)-3=a
3、e3-1-a0,所以存在唯一的 x03-1,0,使得 f(x0)=0,命题得证.(2)解 由(1)知,a0 符合题意.()当 a=2 时,由 f(x)=2ex+sin x-3x-2,得 f(x)=2ex+cos x-3.当 x0 时,f(x)2ex-20 时,设 h(x)=f(x),则 h(x)=2ex-sin x2ex-10,所以 f(x)在(0,+)上单调递增,从而,当 x0 时,f(x)f(0)=0,所以 f(x)单调递增,于是 f(x)f(0)=0,当且仅当 x=0 时取等号,故此时 f(x)有唯一的零点 x=0.()当 a2 时,f(x)2ex+sin x-3x-20,此时 f(x)
4、无零点;()当 0a22.设 g(x)=ex-22,x0,则 g(x)=ex-x,设 p(x)=g(x),则 p(x)=ex-10,所以 g(x)在0,+)上单调递增,故 g(x)g(0)=10,所以 g(x)在0,+)上单调递增,因此 g(x)g(0)=10,即当 x0 时,ex22.当 x0 时,f(x)aex-3x-32x2-3x-3,令2x2-3x-3=0,得 x=39+6.取 x0=3+9+60,则 f(x0)0.又 f(0)=a-20,因此,当 0a0 恒成立,所以当 x(0,1)时,f(x)0,f(x)单调递增,即 f(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+).(
5、2)由题意,函数 f(x)=(x-2)ex-ax+aln x=(x-2)ex-a(x-ln x),x0,设 m(x)=x-ln x,x0,则 m(x)=1-1=-1,当 x(0,1)时,m(x)0,m(x)单调递增,又由 m(1)=1,所以 m(x)1,令 f(x)=0,可得(x-2)ex-ax+aln x=0,所以 a=(-2)e-ln,其中 x0,令 g(x)=(-2)e-ln,可得 g(x)=e(-1)(-ln)2 x-ln x+2-1,令 h(x)=x-ln x+2-1,则 h(x)=1-1 22=2-22=(-2)(+1)2(x0),可得 0 x2 时,h(x)2 时,h(x)0,h
6、(x)单调递增;所以 h(x)min=h(2)=2-ln 20,即 x0 时,h(x)0 恒成立;故 0 x1 时,g(x)1 时,g(x)0,g(x)单调递增;所以 g(x)min=g(1)=-e又由 x0 时,g(x)0,当 x+时,g(x)+,画出函数 g(x)的图象如右图所示,结合图象可得,当 a-e 时,无零点;当 a=-e 或 0ae 时,一个零点;当-ea0,函数 f(x)单调递增;当 x(1,+)时,f(x)0,函数 f(x)单调递减.因此,当 x=1 时,f(x)有最大值 f(1)=-1.(2)函数 f(x)的定义域为(0,+).f(x)=a+12 +1=2-(+1)+12=
7、(-1)(-1)2.由(1)知,当 a=0 时,f(x)max=-10,故 f(x)无零点.当 a0 时,ax-10,f(x)f(1)=a-10 时,f(x)=2 x-1(x-1).当 0a1.f(x),f(x)的变化情况如下表所示.x(0,1)1 1,1a 1a 1a,+f(x)+0-0+f(x)单调递增 a-1 单调递减 1-a+(a+1)ln a 单调递增 x 0,1,f(x)f(1)=a-11 时,010.又当 x0 时,f(x)-,f(x)恰有一个零点.综上,若 f(x)恰有一个零点,则 a 的取值范围为(0,+).4.解(1)f(x)的定义域为 R,f(x)=3ax2-6x=3x(
8、ax-2),若 a=0,则 f(x)0-6x0 x0,f(x)0,f(x)在(-,0)内单调递增,在(0,+)内单调递减,若 a0,则 f(x)0 x2,f(x)00 x2,f(x)在(-,0)内单调递增,在(0,2)内单调递减,在(2,+)内单调递增,若 a02x0,f(x)0 x0,f(x)在(-,2)内单调递减,在(2,0)内单调递增,在(0,+)内单调递减.(2)可知 f(x)要有三个零点,则 a0,且 f(0)f(2)0,由题意,即 f(0)f(2)0 的解集就是(-3,-2)(-2,0)(0,1),也就是关于 a 的不等式(a+b)(+-42)0(+)(3+2-4)20 的解集就是
9、(-3,-2)(-2,0)(0,1),令h(a)=(+)(3+2-4)2,h(1)=(b+1)(1+b-4)=(b+1)(b-3)=0,所以有 b=-1 或 b=3,当 b=3 时,h(a)=(+3)(3+32-4)20(+3)(3-2+42-4)20,(+3)(-1)(2+4+4)20 的解是(-3,-2)(-2,0)(0,1),满足条件,当 b=-1 时,h(a)=(-1)(3-2-4)20,不满足条件,故 b-1,综合上述 b=3.5.解(1)由 f(x)=x3+ax2+bx+c,得 f(x)=3x2+2ax+b,切线斜率 k=f(0)=b,又 f(0)=c,所以切点坐标为(0,c),所以所求切线方程为 y-c=b(x-0),即 bx-y+c=0.(2)由 a=b=4 得 f(x)=x3+4x2+4x+c,f(x)=3x2+8x+4=(3x+2)(x+2).令 f(x)=0,得(3x+2)(x+2)=0,解得 x=-2 或 x=-23,f(x),f(x)随 x 的变化情况如下:x(-,-2)-2(-2,-23)-23(-23,+)f(x)+0-0+f(x)c c-3227 所以当 c0 且 c-32270 时,存在 x1(-,-2),x2(-2,-23),x3(-23,+),使得 f(x1)=f(x2)=f(x3)=0,故由 f(x)的单调性知,
