1、余弦定理一、教学分析对余弦定理的探究，同正弦定理类似课本在引入余弦定理内容时，首先提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其夹角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，教材通过向量知识给予证明，引起学生对向量知识的学习兴趣，同时感受向量法证明余弦定理的简便之处，发挥了向量方法在解决问题中的威力，另外还有坐标法在证明了余弦定理以后，还要启发引导学生注意余弦定理的各种变形式，
2、并总结余弦定理的适用题型的特点，在解题时正确选用余弦定理达到求解、求证的目的应用余弦定理并结合正弦定理，可以解决以下解三角形的问题：(1)已知两边和它们的夹角解三角形；(2)已知三角形的三边解三角形在已知两边及其夹角解三角形时，可以用余弦定理求出第三条边，这样就把问题转化成已知三边和一个角解三角形的问题在已知三边和一个角的情况下，求另一个角既可以应用余弦定理的变形公式，也可以用正弦定理用余弦定理的变形公式，可以根据角的余弦值直接判断角是锐角还是钝角，但计算比较复杂用正弦定理计算相对比较简单，但仍要根据已知条件中边的大小来确定角的大小二、教学目标1通过对余弦定理的探究与证明，熟悉利用平面几何法、
3、向量法、坐标法等方法证明余弦定理，借助计算器会利用余弦定理解决两类基本的解三角形问题了解余弦定理与勾股定理之间的联系知道解三角形的问题的几种情形及其基本解法2通过对三角形边角关系的探索，提高数学语言的表达能力，并进一步理解三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，加深对数学具有广泛应用的认识；同时通过正弦定理、余弦定理数学表达式的变换，认识数学中的对称美、简洁美、统一美3加深对数学思想的认识，本节的主要数学思想是量化的数学思想、分类讨论思想以及数形结合思想；这些数学思想是对于数学知识的理性的、本质的、高度抽象的、概括的认识，具有普遍的指导意义，它是我们学习数学的重要组成部分，有利于学生加
4、深对于具体数学知识的理解和掌握三、重点难点教学重点：通过对三角形边角关系的探索，发现和证明余弦定理(向量法等)，并能应用其解三角形教学难点：余弦定理的证明及其基本应用，以及结合正弦定理解三角形四、教学过程1.导入新课思路1.(类比导入)在探究正弦定理的证明过程中，从直角三角形的特殊情形入手，发现了正弦定理现在我们仍然从直角三角形的这种特殊情形入手，然后将锐角三角形转化为直角三角形，再适当运用勾股定理进行探索，如图1，这种导入比较自然流畅，易于学生接受图1思路2.(问题导入)如果已知一个三角形的两条边及其所夹的角，根据三角形全等的判断方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形，能否把这个边角关
5、系准确量化出来呢？也就是从已知的两边和它们的夹角能否计算出三角形的另一边和另两个角呢？根据我们掌握的数学方法，比如说向量法、坐标法、三角法、几何法等，类比正弦定理的证明，你能推导出余弦定理吗？2.在三角形中，若已知两边及其夹角，能否用平面几何方法、向量方法、坐标方法、三角方法等探究出计算第三边长的关系式或计算公式呢？余弦定理的内容是什么？你能用文字语言叙述它吗？余弦定理与以前学过的关于三角形的什么定理在形式上非常接近？余弦定理可以解决哪些类型的解三角形问题？怎样求解？正弦定理与余弦定理在应用上有哪些联系和区别？活动：根据学生的认知特点，教师可引导学生类比正弦定理的发现，仍从特殊情形入手，通过观
6、察、猜想、证明而推广到一般解决了在三角形已知两角一边和已知两边与其中一边对角这两类解三角形问题当时对于已知两边及其夹角求第三边问题未能解决如图1，在直角三角形中，根据两直角边及直角可表示斜边，即勾股定理，那么对于任意三角形，能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢？下面我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题如图1，在ABC中，设BCa，ACb，ABc，试利用b，c，A来表示a.教师引导学生进行探究由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构成直角三角形在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化，故作CDAB于D，那么在RtBDC中，边a可利用勾股定理通过CD，DB表示，
7、而CD可在RtADC中利用边的关系表示，DB可利用ABAD表示，进而在RtADC内求解探究过程如下：过C作CDAB，垂足为D，则在RtCDB中，根据勾股定理，可得a2CD2BD2.在RtADC中，CD2b2AD2，又BD2(cAD)2c22cADAD2，a2b2AD2c22cADAD2b2c22cAD.又在RtADC中，ADbcos A，a2b2c22bccos A.类似地可以证明b2c2a22cacos B.c2a2b22abcos C.另外，当C为钝角时也可证得上述结论，当C为直角时，a2b2c2也符合上述结论这就是解三角形中的另一个重要定理余弦定理下面类比正弦定理的证明，用向量的方法探究
8、余弦定理，进一步体会向量知识的工具性作用教师与学生一起探究余弦定理中的角是以余弦的形式出现的，又涉及边长问题，学生很容易想到向量的数量积的定义式：ab|a|b|cos ，其中为a，b的夹角用向量法探究余弦定理的具体过程如下：如图2所示，根据向量的数量积，可以得到图2a2()()22222|cos A2b22bccos Ac2，即a2b2c22bccos A.同理可证b2c2a22cacos B，c2a2b22abcos C.这是教材上的证明方法这个定理用坐标法证明也比较容易，为了拓展学生的思路，教师可引导学生用坐标法证明，过程如下：如图3，以C为原点，边CB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，
9、设点B的坐标为(a,0)，点A的坐标为(bcos C，bsin C)，根据两点间距离公式图3AB，c2b2cos 2C2abcos Ca2b2sin 2C.整理，得c2a2b22abcos C.同理可以证明a2b2c22bccos A，b2c2a22cacos B.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，就可以求得第四个量从而由三角形的三边可确定三角形的三个角，这就是余弦定理的变形公式，也可以说是余弦定理的第二
10、种形式：cos A，cos B，cos C.对一个数学关系式作某种变形，从而得到解决其他类型的数学问题，这是一种基本的研究问题的方法教师引导学生进一步观察、分析余弦定理的结构特征，发现余弦定理与以前的关于三角形的勾股定理在形式上非常接近，让学生比较并讨论它们之间的关系学生容易看出，若ABC中，C90，则cos C0，这时余弦定理变为c2a2b2，由此可知，余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例另外，从余弦定理和余弦函数的性质可知，在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果两边的平方和大
11、于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角从以上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推广应用余弦定理，可以解决以下两类有关解三角形的问题：(1)已知三角形的三边解三角形，这类问题是三边确定，故三角也确定，有唯一解；(2)已知两边和它们的夹角解三角形，这类问题是第三边确定，因而其他两个角也唯一确定，故解唯一不会产生利用正弦定理解三角形所产生的判断解的取舍的问题把正弦定理和余弦定理结合起来应用，就能很好地解决解三角形的问题教师引导学生观察两个定理可解决的问题类型会发现：如果已知的是三角形的三边和一个角的情况，而求另两角中的某个角时，既可以用余弦定理也可以用正弦定理，那么这两种方法哪个会更好些呢？教师与
12、学生一起探究得到：若用余弦定理的推论，可以根据余弦值直接判断角是锐角还是钝角，但计算比较复杂用正弦定理计算相对比较简单，但仍要根据已知条件中边的大小来确定角的大小，所以一般应该选择用正弦定理去计算比较小的边所对的角，以避免进一步的讨论教师要点拨学生注意总结这种优化解题的技巧，经常地在解题后进行反思，做到优中选优，长此以往，学习轻松愉快，即我们平时常说的找到了学习“窍门”讨论结果：略3. 例题讲解例1.在ABC中，(1)已知a2，c，B45，求b及A；(2)已知b3，c3，B30，求角A，C和边a. (1)由余弦定理，得b2a2c22accos B(2)2()22()2cos 458，b2.由c
13、os A，得cos A.0A180，A60.(2)由余弦定理b2a2c22accos B，得32a2(3)223acos 30，即a29a180，所以a6或a3.当a6时，由正弦定理，得sin A1，所以A90，C60，当a3时，同理得A30，C120.点评：解决本例的关键是找到与已知量有关的三角形，用余弦定理解之.变式训练1例2. 在ABC中，已知a2，b62，c4，求角A、B、C.解：由余弦定理得cos A，A30.cos C，C45.ABC180，B1804530105.变式训练2在ABC中，如果abc2(1)，求这个三角形的最小角小结：1已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求角，再用
14、正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解2若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边解三角形探究1在ABC中，三边长度分别为a，b，c(abc)，若三角形为直角三角形，则a、b、c之间的关系如何？钝角和锐角三角形呢？【提示】在直角三角形中a2b2c2；在钝角三角形中a2b2c2；在锐角三角形中a2b2c2.探究2判断三角形形状的基本思路是什么？【提示】思路一：从角的关系判定；思路二：从边的关系判定；思路三：从边与角的关系判定探究3在ABC中，sin Asin B一定有AB吗？【提示】在三角形中sin Asin BAB.例3.
15、在ABC中，已知cos2，判断ABC的形状解：在ABC中，由已知cos2，得，cos A.根据余弦定理，得，b2c2a22b2，即a2b2c2，ABC是直角三角形变式训练3在ABC中，acosAbcosB，试确定此三角形的形状解法1：由acosAbcosB以及余弦定理得ab，得a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，a2b2a2c2a4a2b2b2c2b40，即(a2b2)(c2a2b2)0.a2b2或c2a2b2，ab或c2a2b2.当ab时，ABC为等腰三角形；当c2a2b2时，ABC为直角三角形ABC为等腰三角形或直角三角形解法2：由acosAbcosB以及正弦定理得2RsinAcos
16、A2RsinBcosB，即sin2Asin2B.又A、B(0，)，2A、2B(0,2)，故有2A2B或2A2B，即AB或AB.ABC为等腰三角形或直角三角形4.课堂小结1教师先让学生回顾本节课的探究过程，然后再让学生用文字语言叙述余弦定理，准确理解其实质，并由学生回顾可用余弦定理解决哪些类解三角形的问题2.从方程的观点来分析，余弦定理的每一个等式都包含了四个不同的量，知道其中三个量，便可求得第四个量要通过课下作业，从方程的角度进行各种变形，达到辨明余弦定理作用的目的3体会本节运用的思想方法：特殊到一般、类比、方程思想等5.课堂作业1. 在ABC中, 已知b4, c10, B,解这个三角形。2.
17、 设x、x1、x2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范围.3. 在ABC中, A60o, a1, bc2, 判断ABC的形状.6.教学反思本教案的设计充分体现了“民主教学思想”，让学生充分发现问题，合作探究，使学生真正成为学习的主体，这样能够不同程度地开发学生的潜能，且使教学内容得以巩固和延伸“发现法”是常用的一种教学方法，本教案设计是从直角三角形出发，以归纳猜想证明应用为线索，用恰当的问题通过启发和点拨，使学生把规律和方法在愉快的气氛中探究出来，而展现的过程入情入理，自然流畅，学生的主体地位得到了充分的发挥纵观本教学设计流程，引入自然，学生探究到位，体现新课程理念，能较好地完成教学目标，课程内容及重点难点也把握得恰到好处环环相扣的设计流程会强烈地感染着学生积极主动地获取知识，使学生的探究欲望及精神状态始终处于最佳状态在整个教案设计中学生的思维活动量大，这是贯穿整个教案始终的一条主线，也应是实际课堂教学中的一条主线
