1、12应用举例第1课时解三角形的实际应用举例学习目标：1.能将实际问题转化为解三角形问题(难点).2.能够用正、余弦定理求解与距离、高度有关的实际应用问题(重点)自 主 预 习探 新 知1基线的概念与选择原则 (1)定义在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线(2)性质在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度一般来说，基线越长，测量的精确度越高思考：在本章“解三角形”引言中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？提示：利用正弦定理和余弦定理2测量中的
2、有关角的概念(1)仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图121所示)图121(2)方向角从指定方向线到目标方向线所成的水平角如南偏西60，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60. (如图122所示)图122思考：李尧出校向南前进了200米，再向东走了200米，回到自己家中，你认为李尧的家在学校的哪个方向？提示：东南方向基础自测1思考辨析(1)已知三角形的三个角，能够求其三条边()(2)两个不可到达的点之间的距离无法求得()(3)东偏北45的方向就是东北方向()(4)仰角与俯角所在的平面是铅垂面()
3、答案(1)(2)(3)(4)提示：已知三角形中至少知道一条边才能解三角形，故(1)错两个不可到达的点之间的距离可以用解三角形的方法求出，故(2)错2如图123，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应选用数据() 【导学号：91432044】图123A，a，bB，aCa，b， D，bC选择a，b，可直接利用余弦定理AB求解3小强站在地面上观察一个建在山顶上的建筑物，测得其视角为，同时测得观察该建筑物顶部的仰角为，则小强观测山顶的仰角为()A B C DC如图所示，设小强观测山顶的仰角为，则，因此，故选C项4某人先向正东方向走了x km，然后他向右转150，向新的方向走了3 km，结
4、果他离出发点恰好为 km，那么x的值为() 【导学号：91432045】A. B2C2或 D3C如图，在ABC中由余弦定理得39x26xcos 30，即x23x60，解之得x2或.合 作 探 究攻 重 难测量距离问题海上A，B两个小岛相距10 海里，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，则B，C间的距离是() 【导学号：91432046】A10 海里B.海里C5海里 D5海里D根据题意，可得右图在ABC中，A60，B75，AB10，C45.由正弦定理可得，即，BC5(海里)规律方法三角形中与距离有关的问题的求解策略：(1)解决与距离有关的问题，若所求的线段在一个三角形
5、中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解.(2)解决与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决.跟踪训练1如图124所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C，测得CAB30，CBA75，AB120 m，则河的宽度为_ m.图124 60由题意知，ACB180307575，ABC为等腰三角形河宽即AB边上的高，这与AC边上的高相等，过B作BDAC于D，河宽BD120sin 3060(m)测量高度问题(1)如图125，从山顶
6、望地面上C，D两点，测得它们的俯角分别为45和30，已知CD100米，点C位于BD上，则山高AB等于()图125A100米B50米C50米 D50(1)米(2)在一幢20 m高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60，塔基的俯角为45，那么这座塔吊的高是() 【导学号：91432047】A20 m B20(1)mC10()m D20()m思路探究：(1)解决本题关键是求AB时确定在哪一个三角形中求解，该三角形是否可解(2)解决本题关键是画出示意图(1)D(2)B(1)设山高为h，则由题意知CBh，DBh，hh100，即h50(1)(2)如图，由条件知四边形ABCD为正方形，ABCD20 m，BCAD
7、20 m.在DCE中，EDC60，DCE90，CD20 m，ECCDtan 6020 m，BEBCCE(2020)m.选B.规律方法解决测量高度问题的一般步骤：(1)画图：根据已知条件画出示意图.(2)分析三角形：分析与问题有关的三角形.(3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解.在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用. 跟踪训练2.某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)如图126所示，竖直放置的标杆BC的高度h4 m，仰角ABE，ADE.该小组已测得一组，的值，算出了tan 1.24，tan 1.20，请据此算出H的值图126解 由AB，
8、BD，AD及ABBDAD，得，解得H124.因此电视塔的高度H是124 m.与立体几何有关的测量问题探究问题1已知A，B是海平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45，BAD120，又在B点测得ABD45，其中D是点C到水平面的垂足试画出符合题意的示意图提示：用线段CD表示山，用DAB表示海平面结合题中相应的距离及角度，画出立体图形，如图所示2在探究1中若要求山高CD怎样求解？提示：由探究1知CD平面ABD，首先在ABD中利用正弦定理求出AD的长，然后在RtACD中求出CD.如图127，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和
9、D，测得CD200米，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45和30，且CBD30，求塔高AB. 【导学号：91432048】图127思路探究：利用方程的思想，设ABh.表示出BCh，BDh，然后在BCD中利用余弦定理求解解在RtABC中，ACB45，若设ABh，则BCh.在RtABD中，ADB30，则BDh.在BCD中，由余弦定理可得CD2BC2BD22BCBDcosCBD，即2002h2(h)22hh，所以h22002，解得h200(h200舍去)，即塔高AB200米母题探究：(变条件)若将例题中的条件“CD200米，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45和30，且CBD30”改为“CD80
10、0米，在D点测得塔顶A的仰角为45，CDB120，又在C点测得DCB45.”求塔高AB.解在BCD中，CBD1801204515，CD800 m，BCD45，由正弦定理，BD800(1)m，又ADB45，ABBD.AB800(1)m.即山的高度为800(1) m.规律方法测量高度问题的两个关注点(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题.(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路.当 堂 达 标固 双 基1甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20 m高的旗杆，甲观测的仰角为50
11、，乙观测的仰角为40，用d1，d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么有() 【导学号：91432049】Ad1d2Bd120 m Dd2tan 40，所以d1d2.2如图128，D，C，B三点在地面同一直线上，DC100米，从C，D两点测得A点仰角分别是60，30，则A点离地面的高度AB等于()图128A50米 B100米C50米 D100米A因为DACACBD603030，所以ADC为等腰三角形，所以ACDC100米，在RtABC中，ABACsin 6050米3一艘船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30的方向，且与它相距8海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处
12、，此时又测得灯塔S在它的北偏东75的方向，此船的航速是()海里/小时. 【导学号：91432050】A8() B8()C16() D16()D由题意得在三角形SAB中，BAS30，SBA18075105，BSA45.由正弦定理得，即，得AB8()，因此此船的航速为16()(海里/小时)4在高出海平面200 m的小岛顶上A处，测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是45与30，此时两船间的距离为_m.200(1)过点A作AHBC于点H，由图易知BAH45，CAH60，AH200 m，则BHAH200 m，CHAHtan 60200 m.故两船距离BCBHCH200(1)m.5海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75，距离为12海里；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30，距离为8海里；货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B在北偏东120，求：(1)A处与D处之间的距离；(2)灯塔C与D处之间的距离.【导学号：91432051】解由题意，画出示意图(1)在ABD中，由已知ADB60，B45，AB12.由正弦定理得ADsin 4524(海里)(2)在ADC中，由余弦定理得CD2AD2AC22ADACcos 30242(8)22248(8)2，CD8(海里)即A处与D处之间的距离为24海里，C、D之间的距离为8海里
