1、课堂导学三点剖析1.公式sin2+cos2=1与=tan的推导及应用【例1】 已知sin、cos是关于x的方程x2-ax+a=0的两根.(1)求sin3+cos3的值；(2)求tan+的值.思路分析：(1)利用韦达定理，用a的代数式表示sin+cos与sincos.(2)利用同角三角函数关系式sin2+cos2=1，结合(1)构造关于a的方程.(3)求a值，注意检验a是否满足题意.(4)利用前面推导的结果及同角三角函数关系式求值.解：由韦达定理得所以a2=(sin+cos)2=1+2sincos=1+2a,即a2-2a-1=0.所以a=1.又方程有两根，则=(-a)2-4a0，即a0或a4，所
2、以a=1-,即sin+cos=sincos=1-.(1)sin3+cos3=(sin+cos)(sin2-sincos+cos2)=-2.(2)tan+=-1.各个击破类题演练 1已知sin-cos=,则sin3-cos3=_.解析:sin-cos=,(sin-cos)2=.1-2sincos=.sincos=.sin3-cos3=(sin-cos)(sin2+sincos+cos2)=(1+)=.答案：变式提升 1已知:求sincos的值.解析:由,得,tan=2.sincos=.2.公式的变式应用【例2】 已知sin=t且|t|1,求角的余弦值和正切值.思路分析:由于已知sin=t中含有参
3、数,因而无法确定所在的象限,这时应对参数角进行分类讨论.解:sin=t且|t|1,角可能为四个象限和x轴上的轴线角.(1)当为第一、四象限和x轴非负半轴上的角时,有cos=,tan=.(2)当为第二、三象限和x轴非正半轴上的角时,有cos=,tan=.友情提示 若已知正弦、余弦、正切中的某一个三角函数值是用字母表示的,且角所在象限也没有指定时,这个角可能在四个象限(也可能是轴线角),此时,不必按四个象限讨论,只需将四个象限角(可能含轴线角)的三角函数值分成两组讨论.【例3】 化简下列各式：(1)；(2).解析:(1)=cos2400=|cos400|=|cos(40+360)|=|cos40|
4、=cos40.(2)=-1.友情提示 化简题目的目的:使项数尽可能地少,次数尽可能地低,函数的种类尽可能地少,分母中尽量不含三角函数符号,能求值的一定求值,尽可能地将根号中的因式移到根号外面.类题演练 2若sin=且是第二象限角,则tan的值等于（ ）A. B. C. D.解析:是第二象限角,cos=.tan=.答案：A变式提升 2已知tan为非零实数,用tan表示sin,cos.解析:sin2+cos2=1,sin2=1-cos2.tan2=-1.于是cos2=. 由于tan为非零实数,可知角的终边不在坐标轴上.从而cos=sin=costan= 类题演练 3已知-1=-1,求的值.解析:由
5、已知,得tan=,所以.变式提升 3证明恒等式:.证明:左边=右边所以原等式成立.3.公式应用中“”的变换【例4】 已知tan=3,求sin2+2sincos+1的值.思路分析:对形如asin2+bcossin+ccos2的值，可将分母1化为sin2+cos2,再分子分母同除以cos2.解:sin2+2sincos+1=.友情提示 若考虑不到将1变换，则式子不是同次的三角函数式，无法把弦全部化为切.类题演练 4的值为（ ）A.sin+cos B.sin-cosC.cos-sin D.|sin+cos|解析:1+2sincos=sin2+2sincos+cos2=.原式=（sin+cos）2=|sin+cos|.答案：D变式提升 4如果是第三象限角，且满足=cos+sin，那么是（ ）A.第四象限角 B.第三象限角C.第二象限角 D.第一象限角解析:是第三象限角,是第二或第四象限角.cos+sin=0,cos+sin0.如右图,在第二象限的区域内(阴影部分),有|sin|cos|,所以是第二象限角.答案:C
