1、第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法第29课时空间向量与垂直关系基础训练课时作业设计（45分钟）作业目标1能用向量语言表述线线、线面和面面垂直关系2能用向量方法判定并证明空间中的线、面垂直关系基础巩固一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)1已知三条直线l1，l2，l3的一个方向向量分别为a(4，1，0)，b(1,4,5)，c(3,12，9)，则()Al1l2，但l1与l3不垂直Bl1l3，但l1与l2不垂直Cl2l3，但l2与l1不垂直Dl1，l2，l3，两两互相垂直A解析：ab(4，1,0)(1,4,5)4400，ac(4，1,0)(3,12，9)12120240，
2、bc(1,4,5)(3,12，9)348450，ab，a与c不垂直，bc，l1l2，l2l3，但l1不垂直于l3.2设l1的方向向量a(1,2，2)，l2的方向向量为b(2,3，m)，若l1l2，则m等于()A1B2C.12D3B解析：由题意可得ab，ab0，1(2)23(2)m0，m2.3若平面与的法向量分别是a(4,0，2)，b(1,0,2)，则平面与的位置关系是()A平行B垂直C相交不垂直D无法判断B解析：ab0，ab，.4已知平面内有一个点A(2，1,2)，它的一个法向量为n(3,1,2)，则下列点P中，在平面内的是()A(1，1,1)B.1，3，32C.1，3，32 D.1，3，32
3、B解析：要判断点P是否在平面内，只需判断向量 PA 与平面的法向量n是否垂直，即 PA n是否为0即可，因此，要对各个选项进行逐个检验对于选项A，PA(1,0,1)，则PA n(1,0,1)(3,1,2)50，故排除A；对于选项B，PA(1，4，12)，则 PA n(1，4，12)(3,1,2)0.故选B.5在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于()AACBBDCA1DDA1AB解析：建立如图所示的空间直角坐标系设正方体的棱长为1.则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，E(12，1
4、2，1)，CE(12，12，1)，AC(1,1,0)，BD(1，1,0)，A1D(1,0，1)，A1A(0,0，1)CE BD(1)(12)(1)(12)010，CEBD.6在菱形ABCD中，若 PA 是平面ABCD的法向量，则以下等式中可能不成立的是()A.PAAB0 B.PCBD 0C.PC AB0 D.PACD 0C解析：PA平面ABCD，BDPA.又ACBD，PCBD.故选项B正确，选项A和D显然成立故选C.7如图，设a为正方体ABCD-A1B1C1D1的三个顶点确定的平面A1BD的一个法向量，则()AaAC1BaAC1Ca与AC1 相交但不垂直Da与AC1 不共面A解析：由于AC1平
5、面A1BD，即 AC1 也是平面A1BD的一个法向量，因此必有aAC1.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)8已知a(0,1,1)，b(1,1,0)，c(1,0,1)分别是平面，的法向量，则，三个平面中互相垂直的有_对0解析：ab(0,1,1)(1,1,0)10，ac(0,1,1)(1,0,1)10，bc(1,1,0)(1,0,1)10，a，b，c中任意两个都不垂直，即，中任意两个都不垂直9已知点A，B，C的坐标分别为(0,1,0)，(1,0,1)，(2,1,1)，点P的坐标为(x,0，z)，若PAAB，PAAC，则点P的坐标为_.13，0，23解析：PA(x,1，z)，AB(1
6、，1,1)，AC(2,0,1)，PAAB0，PAAC 0，x1z0，2xz0，x13，z23.10平面与平面的法向量分别是m，n，直线l的方向向量是a，给出下列论断：mn；mn；aml；aml.其中正确的论断为_(把你认为正确论断的序号填在横线上)解析：中与还有可能重合；正确；中l有可能在内11若正三棱锥P-ABC侧面互相垂直，则棱锥的高与底面边长之比为_.66解析：设高为h，底边长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则点P(0,0，h)，A33，0，0，B 36，12，0，C 36，12，0，PA33，0，h，PB 36，12，h，PC 36，12，h，得平面PAB，PAC的法向量分别为3，
7、3，1h，3，3，1h，则39 1h20，解得h 66.三、解答题(本大题共2小题，共25分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12(12分)如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在平面互相垂直，CEAC，EFAC，AB 2，CEEF1.求证：(1)AF平面BDE；(2)CF平面BDE.证明：(1)设AC与BD交于点G.EFAG，且EF1，AG12AC1，四边形AGEF为平行四边形，AFEG.EG平面BDE，AF平面BDE，AF平面BDE.(2)连接FG.正方形ABCD和四边形ACEF所在平面互相垂直，且CEAC，CE平面ABCD.如图，以C为原点，CD，CB，CE所在直线为x轴、y轴、z
8、轴，建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(2，2，0)，B(0，2，0)，D(2，0,0)，E(0,0,1)，F22，22，1，CF 22，22，1，BE(0，2，1)，DE(2，0,1)，CF BE0110，CF DE 1010.CF BE，CF DE，CFBE，CFDE.又BEDEE，CF平面BDE.13(13分)如图，在三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PAPBPC3，G是PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BEECPFFB12.(1)求证：平面GEF平面PBC；(2)求证：EG与直线PG与BC都垂直证明：(1)如图，以三棱锥的顶点P为坐标原点，以P
9、A，PB，PC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系P-xyz.则A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,3)，E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)，P(0,0,0)于是EF(0，1，1)，EG(1，1，1)设平面GEF的法向量是n(x，y，z)，则nEFnEG，yz0 xyz0，可取n(0,1，1)显然PA(3,0,0)是平面PBC的一个法向量又nPA0，nPA，即平面PBC的法向量与平面GEF的法向量垂直，平面GEF平面PBC.(2)由(1)，知EG(1，1，1)，PG(1,1,0)，BC(0，3,3)，EG PG 0，EG BC 0，EGPG，EGBC
10、，EG与直线PG与BC都垂直能力提升14(5分)如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA，QAAB12 PD，则平面PQC与平面DCQ的位置关系为()A平行B垂直C相交但不垂直D位置关系不确定B解析：由已知可得PDDC，PDDA，DCDA，如图，以D为原点，建立空间直角坐标系，设QA1，则D(0,0,0)，C(0,0,1)，Q(1,1,0)，P(0,2,0)故DQ(1,1,0)，DC(0,0,1)，PQ(1，1,0)故DQ PQ 0，DC PQ 0，即PQ DQ，PQ DC，故PQ平面DCQ，平面PQC平面DCQ.15(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD底面ABCD，底
11、面ABCD为正方形，PDDC，E，F分别是AB，PB的中点(1)求证：EFCD；(2)在平面PAD内求一点G，使GF平面PCB，并证明你的结论解：(1)证明：以DA，DC，DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)，设ADa，则D(0,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，Ea，a2，0，P(0,0，a)，Fa2，a2，a2，EFa2，0，a2，DC(0，a,0)，EFDC a2，0，a2(0，a,0)0，EFDC.(2)G平面PAD，设G(x,0，z)，FG xa2，a2，za2.由(1)，知CB(a,0,0)，CP(0，a，a)由题意，要使GF平面PCB，只需FG CB xa2，a2，za2(a,0,0)axa2 0，FG CPxa2，a2，za2(0，a，a)a22 a(za2)0，xa2，z0.点G的坐标为a2，0，0，即点G为AD的中点谢谢观赏！Thanks!
