1、第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法第28课时空间向量与平行关系基础训练课时作业设计（45分钟）作业目标1理解直线的方向向量和平面的法向量2掌握运用方向向量和平面的法向量证明平行问题的方法3能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系基础巩固一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)1若A(1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为()A(1,2,3)B(1,3,2)C(2,1,3)D(3,2,1)A解析：AB(2,4,6)，且(2,4,6)2(1,2,3)，直线l的一个方向向量是(1,2,3)2已知平面上的两个向量a(2,3,1)
2、，b(5,6,4)，则平面的一个法向量为()A(1，1,1)B(2，1,1)C(2,1,1)D(1,1，1)C解析：显然a与b不平行，设平面的一个法向量为n(x，y，z)，则an0，bn0，2x3yz0，5x6y4z0.令z1，得x2，y1，n(2,1,1)3设直线l的方向向量为a，平面的法向量为b，若ab0，则()AlBlClDl或lD解析：ab0，ab，故选D.4已知平面的法向量是(2,3，1)，平面的法向量是(4，2)，若，则的值是()A103B6C6 D.103B解析：，平面的法向量与平面的法向量也互相平行，24312，6.5若平面、的法向量分别为u(2，3,5)，v(3,1，4)，则
3、()ABC、相交但不垂直 D以上均不正确C解析：32 1345 且uv0，、相交但不垂直6已知 AB(3,1,2)，平面的一个法向量为n(2，2，4)，点A不在平面内，则直线AB与平面的位置关系为()AABBABCAB与相交但不垂直 DABD解析：因为n AB 2(3)(2)1420.所以nAB.又点A不在平面内，n为平面的一个法向量，所以AB，故选D.7直线l的方向向量为a，平面内两共点向量OA，OB，下列关系中能表示l的是()AaOABakOBCapOA OBD以上均不能D解析：A、B、C均表示l或l.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)8已知l，且l的方向向量为(2，m,1
4、)，平面的法向量为(2,1,4)，则m_.8解析：l，22m1140.m8.9已知直线l的方向向量为v(1，1,2)，平面的法向量为n(2,4,1)，且l，则l与的位置关系是_.l解析：因为vn2420，所以vn.又l，所以l.10设平面的法向量为(1,2，2)，平面的法向量为(2，4，k)，若，则k_.4解析：由，得 12 242k，解得k4.11已知A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，D(1,1，x)，若AD平面ABC，则实数x的值是_.0解析：易求得平面ABC的法向量u(0,0,1)，而 AD(1,1，x)，故当AD平面ABC时，AD u0.故1010 x0，即x0.三
5、、解答题(本大题共2小题，共25分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12(12分)如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱A1A底面ABCD，ABAC，AB1，ACAA12，ADCD5，且点M和N分别为B1C和D1D的中点求证：MN平面ABCD.证明：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得A(0,0,0)，C(2,0,0)，D(1，2,0)，B1(0,1,2)，D1(1，2,2)因为M，N分别为B1C，D1D的中点，所以M1，12，1，N(1，2,1)依题意，可得n(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量，又MN 0，52，0，则 MN n0，又直线MN平面ABCD，所以
6、MN平面ABCD.13(13分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是正方体六个表面的中心，证明：平面EFG平面HMN.证明：如图，建立空间直角坐标系不妨设正方体的棱长为2，则E(1,1,0)，F(1,0,1)，G(2,1,1)，H(1,1,2)，M(1,2,1)，N(0,1,1)，所以EF(0，1,1)，EG(1,0,1)，HM(0,1，1)，HN(1,0，1)设m(x1，y1，z1)，n(x2，y2，z2)分别是平面EFG和平面HMN的一个法向量由 mEF0，mEG 0，得y1z10，x1z10.令x11，得m(1，1，1)由nHM 0，nHN 0，得y2z20
7、，x2z20.令x21，得n(1，1，1)于是有mn，所以mn.故平面EFG平面HMN.能力提升14(5分)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则A1MD1P；A1MB1Q；A1M平面DCC1D1；A1M平面D1PQB1.以上正确的说法是_.解析：A1M A1A AM A1A 12AB，D1P D1D DP A1A 12AB，A1M D1P，从而A1MD1P.正确15(15分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是AB的中点，点F是AA1上靠近点A的三等分点，在线段DD1上是否存在一点G，使CGEF？若存在，求出点G的位置，若不存在，说明理由解：存在如图，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则E1，12，0，F1，0，13，C(0,1,0)，假设在DD1上存在一点G，使CGEF，则CG EF，由于点G在z轴上，设G(0,0，z)，则EF0，12，13，CG(0，1，z)CG EF，CG EF，即(0，1，z)0，12，13.00，112，z13，解得2，z23.z230,1，点G在线段DD1上，其坐标为0，0，23.故在线段DD1上存在一点G，使CGEF，点G是DD1上靠近点D1的三等分点谢谢观赏！Thanks!
