1、2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1 平面向量基本定理学习目标：1.了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量(重点)2.掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义(难点)3.两个向量的夹角与两条直线所成的角(易混点)自 主 预 习探 新 知1平面向量基本定理条件e1，e2 是同一平面内的两个不共线的向量结论对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 1，2，使 a1e12e2基底不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底思考：(1)0 能与另外一个向量 a 构成基底吗？(2)平面向量的基底是唯一的吗？提示(1)不能基向量是不共线的
2、，而 0 与任意向量是共线的(2)不是平面内任何不共线的两个向量都可以作为基底，基底一旦确定，平面内任何一向量都可以用这一基底唯一表示2向量的夹角条件两个非零向量 a 和 b产生过程作向量OA a，OB b，则AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角范围0，特殊情况0a 与 b 同向90a 与 b 垂直，记作 ab180a 与 b 反向 基础自测1思考辨析(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底()(2)若 e1，e2 是同一平面内两个不共线向量，则 1e12e2(1，2 为实数)可以表示该平面内所有向量()(3)若 ae1be2ce1de2(a，b，c，dR)，则 a
3、c，bd.()解析(1)错误根据基底的概念可知，平面内不共线的向量都可以作为该平面内向量的基底(2)正确根据平面向量基本定理知对平面内任意向量都可以由向量 e1，e2线性表示(3)错误当 e1 与 e2 共线时，结论不一定成立答案(1)(2)(3)2若ABC 是等边三角形，则AB与BC的夹角的大小为_120 由向量夹角的定义知AB与BC的夹角与B 互补，大小为 120.3如图 2-3-1 所示，向量OA 可用向量 e1，e2 表示为_图 2-3-14e13e2 由图可知，OA 4e13e2.合 作 探 究攻 重 难用基底表示向量(1)D，E，F 分别为ABC 的边 BC，CA，AB 上的中点，
4、且BCa，CAb，给出下列结论：AD 12ab；BEa12b；CF12a12b；EF12a.其中正确的结论的序号为_(2)如图 2-3-2，已知梯形 ABCD 中，ABCD，AB2CD，E，F 分别是 DC，AB 的中点，设AD a，ABb，试用 a，b 表示DC，EF，FC.图 2-3-2思路探究 用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则(1)(1)如图，AD ACCD b12CBb12a，正确；BEBCCEa12b，正确；ABACCBba，CFCA12ABb12(ba)12b12a，正确；EF12CB12a，不正确(2)因为 DCAB，AB2DC，E，F 分
5、别是 DC，AB 的中点，所以FCAD a，DC AF12AB12b.EFED DA AF12DC AD 12AB1212ba12b14ba.规律方法 用基底表示向量的三个依据和两个“模型”(1)依据：向量加法的三角形法则和平行四边形法则；向量减法的几何意义；数乘向量的几何意义(2)模型：跟踪训练1在ABC 中，AE15AB，EFBC，EF 交 AC 于 F，设ABa，ACb，则BF等于()【导学号：84352209】图 2-3-3Aa15b Ba15bC23a13bD13a23bA AE15AB，BE45AB.又EFBC，EF15BC15(ACAB)，BFBEEF45AB15(ACAB)15
6、ACABa15b.向量的夹角(1)已知向量 a，b，c 满足|a|1，|b|2，cab，ca，则 a，b的夹角等于_(2)若 a0，b0，且|a|b|ab|，求 a 与 ab 的夹角.【导学号：84352210】思路探究 可作出平面图形利用向量夹角定义及平面几何知识来解决(1)120 作BCa，CAb，则 cabBA(如图所示)，则 a，b 夹角为 180C.|a|1，|b|2，ca，C60，a，b 的夹角为 120.(2)解 由向量运算的几何意义知 ab，ab 是以 a，b为邻边的平行四边形两条对角线如图，|a|b|ab|，BOA60.又OC ab，且在菱形 OACB 中，对角线 OC 平分
7、BOA，a 与 ab 的夹角是 30.规律方法 两向量夹角的实质与求解方法：1两向量夹角的实质：从同一起点出发的两个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识加以解决.2求解方法：利用平移的方法使两个向量起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.提醒：寻找两个向量的夹角时要紧扣定义中“共起点”这一特征，避免出现错误.跟踪训练2在ABC 中，若A120，ABAC，则AB与BC夹角的大小为_150 如图所示，因为A120，ABAC，所以B30，所以AB与BC的夹角为 180B150.平面向量基本定理的唯一性及其应用探究问题若存在实数 1，2，1，2 及不共线的向量 e1，e
8、2，使向量 a1e12e2，a1e12e2，则 1，2，1，2 有怎样的大小关系？提示：由题意 1e12e21e12e2，即(11)e1(22)e2，由于 e1，e2不共线，故 11，22.如图 2-3-4 所示，在OAB 中，OA a，OB b，点 M 是 AB 上靠近B 的一个三等分点，点 N 是 OA 上靠近 A 的一个四等分点若 OM 与 BN 相交于点 P，求OP.【导学号：84352211】图 2-3-4思路探究 可利用OP tOM 及OP ON NP ON sNB 两种形式来表示OP，并都转化为以 a，b 为基底的表达式根据任一向量基底表示的唯一性求得s，t，进而得OP.解 OM
9、 OA AMOA 23ABOA 23(OB OA)13a23b.因为OP 与OM 共线，故可设OP tOM t3a2t3b.又NP与NB共线，可设NPsNB，OP ON sNB34OA s(OB ON)34(1s)asb，所以341st3，s23t，解得t 910，s35，所以OP 310a35b.母题探究：1.将本例中“M 是 AB 上靠近 B 的一个三等分点”改为“M 是AB 上靠近 A 的一个三等分点”，“点 N 是 OA 上靠近 A 的一个四分点”改为“N为 OA 的中点”，求 BPPN 的值图 2-3-5解 BNON OB 12ab，OM OA AM OA 13ABOA 13(OB
10、OA)23OA 13OB 23a13b，因为 O，P，M 和 B，P，N 分别共线，所以存在实数，使BPBN2ab，OP OM 23 a3b，所以OB OP PBOP BP23 2 a3 b，又OB b，所以23 20，31，解得45，35，所以BP45BN，即 BPPN41.2将本例中点 M，N 的位置改为“OM 12MB，N 为 OA 中点”，其他条件不变，试用 a，b 表示OP.图 2-3-6解 AM OM OA 13OB OA 13ba，BNON OB 12OA OB 12ab，因为 A，P，M 三点共线，所以存在实数 使得APAM 3ba，所以OP OA AP(1)a3b.因为 B，
11、P，N 三点共线，所以存在实数 使得BPBN2ab，所以OP OB BP2a(1)b.即12，31，解得35，45，所以OP 25a15b.规律方法 1.任意一向量基底表示的唯一性的理解：条件一平面内任一向量 a 和同一平面内两个不共线向量 e1，e2条件二a1e11e2 且 a2e12e2结论12，122.任意一向量基底表示的唯一性的应用：平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量 e1，e2 的线性组合 1e12e2.在具体求 1，2 时有两种方法：(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理(2)利用待定系数法，即利用定理中 1，2 的唯一性列方程
12、组求解当 堂 达 标固 双 基1已知平行四边形 ABCD，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是()A.AB，DC B.AD，BCC.BC，CBD.AB，DAD 由于AB，DA 不共线，所以是一组基底2已知ABCD 中DAB30，则AD 与CD 的夹角为()A30 B60C120D150D AD 与CD 的夹角与DAB 互补，其大小为 18030150.3设 D 为ABC 所在平面内一点，若BC3CD，则()【导学号：84352212】A.AD 13AB43ACB.AD 13AB43ACC.AD 43AB13ACD.AD 43AB13ACA 因为BC3CD，所以ACAB3(AD AC)3
13、AD 3AC，所以 3AD 4ACAB，所以AD 43AC13AB13AB43AC.4已知向量 a，b 是一组基底，实数 x，y 满足(3x4y)a(2x3y)b6a3b，则 xy 的值为_3 因为 a，b 是一组基底，所以 a 与 b 不共线，因为(3x4y)a(2x3y)b6a3b，所以3x4y6，2x3y3，解得x6，y3，所以 xy3.5已知ABC 中，D 为 BC 的中点，E，F 为 BC 的三等分点，若ABa，ACb，用 a，b 表示AD，AE，AF.【导学号：84352213】图 2-3-7解 AD ABBD AB12BCa12(ba)12a12b；AEABBEAB13BCa13(ba)23a13b；AFABBFAB23BCa23(ba)13a23b.